可逆可對角化矩陣最小多項(xiàng)式的行列式表示法

龔和林,舒情

(上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西 上饒 334001)

0 引言

最小多項(xiàng)式在向量空間的分解,矩陣的對角化,矩陣方程,微分方程組等方面均有一定的應(yīng)用[2-4], 它的計(jì)算常常是對A∈n×n的特征多項(xiàng)式fA(λ)作標(biāo)準(zhǔn)分解,找到A的全部不同特征值λ1,λ2,…,λs,再對fA(λ)的標(biāo)準(zhǔn)分解中含有的因式按次數(shù)從低到高的順序進(jìn)行檢測, 第一個零化A的多項(xiàng)式就是最小多項(xiàng)式; 此外,還有利用A的最后一個不變因子或Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求解方法. 這些方法往往要作標(biāo)準(zhǔn)分解, 對實(shí)際求解的過程而言這決非易事. 最近,楊繼明[5]利用向量的最小多項(xiàng)式得到了矩陣的最小多項(xiàng)式一種求法:先選定一組基,用初等變換求得每一個基向量關(guān)于A的最小多項(xiàng)式,再確定這些向量最小多項(xiàng)式的公倍式(即矩陣的最小多項(xiàng)式).鄭大彬等[6]證明了對有限維向量空間n存在某個向量關(guān)于A的最小多項(xiàng)式等于A的最小多項(xiàng)式.這表明,文獻(xiàn)[5]中計(jì)算矩陣的最小多項(xiàng)式的方法是有效的.與常規(guī)方法相比,文獻(xiàn)[5]中方法雖避開了標(biāo)準(zhǔn)分解和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,且便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，但這種方法計(jì)算量隨矩陣規(guī)模擴(kuò)大而迅速增加.因此存在一定的局限性. 本文中目的就是改進(jìn)上述的初等變換法,充分利用線性空間的同構(gòu)概念及初等變換特點(diǎn),提出一種新的求矩陣最小多項(xiàng)式初等變換法. 特別地, 對可逆可對角化矩陣, 用行列式建立其最小多項(xiàng)式的顯式公式.

1 相關(guān)概念及基本引理

首先我們回顧線性代數(shù)的一些基本知識(參見文獻(xiàn)[7]).

引理1.1[7](Cauchy-Binet公式)設(shè)A∈m×n,B∈n×m,則

這里,求和遍歷A和B的最大m階主子式.

引理1.2[7](Cayley-Hamilton定理)設(shè)A∈n×n,則fA(A)=0.

令A(yù)∈n×n,k∈0,λ1,λ2,…,λn是A的全部特征值(重根重復(fù)計(jì)算). 定義且

注意:A0=I,μk=trAk.顯然,|V|=∏1≤i

引理1.4設(shè)A∈m×n,k∈+,Δk為Δ的第k階順序主子式,且A存在k個不同非零特征值, 則

引理1.5設(shè)映射σ:n×n→n2,且?則σ是n×n到n2上的同構(gòu)映射.

引理1.5的證明易知σ是雙射,又?a,b∈,A1,A2∈n×n, 有

即σ保持加法與數(shù)量乘法運(yùn)算, 故σ是同構(gòu)映射.

文獻(xiàn)[8]中證明了A∈n×n有k個不同特征值的充分必要條件為Δ的k階順序主子式Δk≠0,而階數(shù)大于k的順序主子式Δk+1=…=Δn=0.在其方法基礎(chǔ)上,得出一個改進(jìn)的結(jié)論是:

引理1.6對矩陣A∈n×n,A恰有k(k∈+)不同特征值的當(dāng)且僅當(dāng)Δk>0,但Δk+1=0.

引理1.6的證明眾所周知,矩陣為半正定矩陣的一個充分必要條件是它的一切主子式非負(fù).當(dāng)然,Δ=VVT(半正定)一切順序主子式非負(fù). 顯然,必要性由文獻(xiàn)[8]中的結(jié)論蘊(yùn)涵.

反過來,令N為A的不同特征值數(shù)目,一方面,Δk>0,則

2 主要結(jié)論及其證明

定理2.1設(shè)A∈n×n,k∈+,且n2×(n+1),M可經(jīng)適當(dāng)行初等變換化為且

定理2.1的證明在線性空間n×n中,令k是滿足Ak是I,A,…,Ak-1的線性組合的最小的正整數(shù). 由引理1.2知,這樣的“k”是存在的,且k≤n. 不妨設(shè)則事實(shí)上,令則deg(mA(λ))=k,否則,存在s∈+,s

定理2.2設(shè)A∈n×n是可逆的可對角化矩陣,Δk是Δ的第k階順序主子式,Δk+1[1,x]為Δk+1的第1行第x列元素的代數(shù)余子式. 若Δk>0, 且Δk+1=0, 則

(1)

μ0x1+μ1x2+…+μk-1xk=μk

(2)

也即向量等式(1)式的解X=(m0,m1,…,mk-1)也是下列方程組的解

(3)

[1] 藍(lán)以中.高等代數(shù)簡明教程(下冊)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2002.

[2] 胡瑞平.矩陣方程AX-XB=C的最小多項(xiàng)式解法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1993,16(3):295-301.

[3] 王子瑜,陳華如.矩陣最小多項(xiàng)式在微分方程組中的應(yīng)用[J].銅陵學(xué)院學(xué)報(bào),2004(3):69-70.

[4] 黃可滃.用最小多項(xiàng)式求線性微分方程組的基解矩陣[J].紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào),2006,26(7):31-33.

[5] 楊繼明,曹軍.求矩陣最小多項(xiàng)式的初等變換方法[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2004,34(10):174-176.

[6] 鄭大彬,劉合國.關(guān)于向量的最小多項(xiàng)式[J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,32(4):349-356.

[7] Horn R A, Johnson C R. Matrix analysis[M].Cambridge:Cambridge University Press,1985.

[8] 梅宏.n次代數(shù)多項(xiàng)式有m個不同根的充要條件[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2002,32(2):335-337.