一類時滯三維離散神經網絡模型的穩定性和分支

楊 慧

（安徽大學數學科學學院，合肥 230039）

一類時滯三維離散神經網絡模型的穩定性和分支

楊 慧

（安徽大學數學科學學院，合肥 230039）

討論了一類帶時滯的離散三維神經網絡模型.利用數學分析技巧，對線性化系統的特征根進行分析，獲得了平衡點的局部穩定性及分支點，并利用規范型和中心流形理論得出了決定分支方向和穩定性的公式.

離散系統；神經網絡；穩定性；分支

1 引 言

在文［1］中作者建立了如下的模型：

本文考慮更一般的系統

其中xi是第i個神經元的活動狀態，正常數τ和b分別表示兩個神經元之間的時滯和連接權值，fij→是C1類信號傳輸函數且fij（0）＝0，f′ij（0）＝1，i，j＝1，2，3.

在系統（2）中，令xi（τt）＝ui（t），i＝1，2，3，得

將系統（3）離散化，得

2 分支的存在性

顯然（0，0，0）點是系統（4）的平衡點，在此平衡點線性化系統（4），得

記φj（j＝0，1，2）為v（t）的3個零點，則可得φ0＝0，φ1＝arccos，φ2＝π，且u（φ0）＝1-β，u（φ2）＝1＋β.由文［2］的結論可得

定理3 （i）當且僅當（α，β）∈｛（α，β）｜X2∪X3且2α＝1-β，-α≠u（φ1）｝時，系統（4）在平凡解處存在Pitchfork分支；

（ii）當且僅當（α，β）∈｛（α，β）｜X2∪X3且2α＝1＋β，-α≠u（φ1）｝，系統（4）在平凡解處存在Flip分支；

（iii）當-α＝u（φ1），2α≠u（φ0），u（φ2）時，系統（4）在平凡解處存在Neimark-Sacher分支.

定理1 當（α，β）∈X1∩（X2∪X3）時，系統（4）的平凡解是局部漸進穩定的.

證可驗證當（α，β）∈X1∩（X2∪X3）時，｜λ｜＜1.

定理2 下列（i）-（iii）中的任一情形成立，系統（4）的平凡解是不穩定的.

則μ＝-α，2α時，P（λ）中對應的λ值為特征方程（6）的解.定義Σ曲線如下：

3 分支的方向和穩定性

本節主要采用文［5］中介紹的規范型理論和中心流形理論方法，來研究系統（4）分支的方向和穩定性.進一步作如下假設：

（H1）fij＝f∈C3），f（0）＝0，f?（0）≠0，i，j＝1，2，3.

首先考慮Neimark-Sacher分支，作如下的假設：

（H2）β2＜4α，-α＝u（φ1），2α≠u（φ0），u（φ2），記此時β＝β＊.

采用同文［2］中相同的記號u0＝u（φ1），λ0＝.設U是U（n）的第j個分量，F：6→6，

其中Fj（Un）是F（Un）的第j個分量，則系統（4）可重新改寫成

設A＝D F（0），B＝D2F（0），C＝D3F（0），易知det（λI d-A）＝λ3Δ（λ）.

由以上討論，有以下的結論.

定理4 在條件（H1）和（H2）下，系統（4）在β＝β＊處存在Neimark-Sacher分支，分支的方向和穩定性由sgn｛f?（0）｝來決定.進一步有：若f?（0）＞0（或＜0），則Neimark-Sacher分支是上臨界（或下臨界）的，也即當-α＞u（φ1）（或＜u（φ1））時，系統（4）出現閉的漸進穩定（或不穩定）的不變曲線分支.

證當-α＝u（φ1）時，有α＝1，則

接下來考慮Pitchfork分支的方向和穩定性，為此做如下假設：

（H3）（α，β）∈｛（α，β）｜X2∪X3且2α＝1-β，-α≠u（φ1），記此時β＝β＋＝1-2α.由定理3（i）知，當β＝β＋時，Δ（λ）有一根λ＝1，則此時A在單位圓周上也有一根λ＝1在上一段的討論中.用1代替λ0，可得相應的p，q的表達式.

對任意向量U∈R R6能唯一地表示成U＝z q（β）（對某個z∈R R），顯然z＝〈p（β），U〉，則系統（9）被重新改寫成

定理5 在條件（H1）和（H3）下，系統（4）在β＝β＋附近存在Pitchfork分支，分支的方向和穩定性由sgn｛f?（0）｝來決定.進一步有：若f?（0）＜0（或f?（0）＞0），系統（4）在2α＞1-β（或2α＜1-β）時有兩非平凡解存在；當2α穿過1-β時，這兩非平凡解在原點重合；當2α＜1-β（或2α＞1-β）時，系統（4）只剩下平凡解一個解，而且當-α＞u（φ1）時，這兩非平凡解是穩定（或不穩定）的.

證由于β∈（0，1），所以（14）式右邊的符號由f?（0）來決定，而

最后，利用類似上面的討論方法可得Flip分支的方向和穩定性，作假設如下：

（H4）（α，β）∈｛（α，β）｜X2∪X3且2α＝1＋β，-α≠u（φ1）｝，記此時β＝β-＝2α-1，則系統（4）在β＝β-處的三階規范型是

其中λ′（β-）＜0，g3（β-）＝6αf?（0）.

定理6 在條件（H1）和（H4）下，系統（4）在β＝β-附近存在Flip分支，分支的方向和穩定性由sgn｛f?（0）｝來決定.進一步有：若f?（0）＜0（或f?（0）＞0），系統（4）的Flip分支是上臨界（或下臨界）的，也即當2α＞1＋β（或2α＜1＋β）時系統（4）存在2—周期解，且當-α＞u（φ1）時該解是穩定（或不穩定）的.

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［6］ 楊慧，莫道宏，王良龍.一個離散神經網絡模型的分支［J］.合肥學院學報，2009，19（4）：16-19.

Stability and Bifurcation Analysis on a Three-unit Discrete-time Neural Network

YANG Hui
（School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei 230039，China）

We consider a discrete neural network model.By using the skill of mathematical analysis，we analysis the characteristic roots of corresponding linearization system and obtain local stability of the equilibrium point and bifurcation point.The calculating formula of direction and stability of the bifurcation are obtained by using the normal form theory and the center manifold theorem.

discrete system；neural network；stability；bifurcation

O175.12

A

1672-1454（2012）03-0037-05

2009-10-27；

2010-05-19

國家自然科學基金（10771001）；安徽省自然科學基金（070416225）；安徽省高校人才基金（05025104）；安徽省教育廳自然科學基金重點項目（KJ2009A49）；安徽省高校自然科學基金重點項目和安徽大學研究生部科技創新與重點課程建設項目資助