平面解析幾何中的坐標轉換及應用

陳 英 楊 華 趙浩彥

(北京林業大學 省部共建森林培育與保護教育部重點實驗室，北京 100083)

在平面解析幾何中，有直角坐標的平移和旋轉，還有極坐標與直角坐標之間的相互轉換。直角坐標系中，坐標的平移，講究的是一個相對坐標和絕對坐標。坐標的平移，是由坐標軸的平移和轉動造成的。如果能弄清楚原坐標的移動距離、移動方向、轉過的角度(相對于原坐標移動之前)，那么所要求的坐標，也做原坐標同樣的變換就可以在新坐標中找到對應的位置。以下筆者就坐標旋轉來討論新坐標在原坐標中的位置。

1 坐標換算原理

假設旋轉前的坐標為X、Y，旋轉后的坐標為Xi、Yi，坐標原點均為O，旋轉角度為θ(如圖1所示)，原坐標系中存在一點P(x、y)，經過θ角度的旋轉后，P點在新坐標系中的坐標值P1(x1、y1)能用相應的換算公式計算出來。而P點與現坐標軸Xi之間的角度為α。

由于原坐標所在新坐標的象限有所不同，故可以導致x1、y1的換算公式不同，下面我們分象限依次討論：

1.1 原坐標Y在新坐標的第二象限

1.1.1 點P1在第一象限，且界于X與Yi之間(如圖2所示)

1.1.2 點P1在第一象限，且界于X與Xi之間(如圖3所示)

1.1.3 點P1在第二象限，且界于Y與Yi之間(如圖4所示)

1.1.4 點P1在第二象限，且界于Xi與Y之間(如圖5所示)

1.1.5 點P1在第三象限，且界于X與Xi之間(如圖6所示)

1.1.6 點P1在第三象限，且界于X與Yi之間(如圖7所示)

1.1.7 點P1在第四象限，且界于Y與Yi之間(如圖8所示)

1.1.8 點P1在第四象限，且界于Y與Xi之間(如圖8所示)

由以上結果可知：原坐標Y在新坐標的第二象限時，新坐標系中的坐標值P1(x1、y1)相應的換算公式有(1)和(2)兩種：

按照相同的方法，我們能得出X、Y在其他象限時候，P1(x1、y1)相應的換算公式。

1.2 原坐標Y別在新坐標的第一象限時，換算公式有(3)和(4)兩種

1.3 原坐標Y在新坐標的第四象限時，換算公式有(5)和(6)兩種

1.4 原坐標Y在新坐標的第三象限時，換算公式有(7)和(8)兩種

2 總結

由以上(1)-(8)換算公式可知，無論怎么旋轉，旋轉后的新坐標所對應的換算公式都只有(Ⅰ)和(Ⅱ)兩種：

根據三角函數公式sin(2kπ+δ)=sinδ,cos(2kπ+δ)=cosδ和sin(-δ)=-sinδ，cos(-δ)=cosδ[1]可知：公式(Ⅰ)和(Ⅱ)相等，即：

由此可知，平面直角坐標系中，存在一點P(x、y)，無論經過什么角度旋轉，P點在新坐標系中的坐標值P1(x1、y1)都可以表示為：

3 坐標換算的應用

假設林業做標準地調查時，以正北方向為原坐標的Y軸方向，應用全站儀將樣地里的每棵樹都定位，后將全站儀順時針旋轉45°后，即原坐標Y在新坐標的第二象限時，應用上述計算公式可得到原來每棵樹相應的新坐標，表1為原坐標中樹木點坐標轉換后的換算情況。

表1 樹木點坐標旋轉后換算情況

續表

樹號原坐標(X)原坐標(Y)轉換后坐標(X)轉換后坐標(Y)106.9040.1554.7724.991116.9020.4244.5815.180126.481-0.6755.0604.105135.829-1.6155.2642.980148.433-3.8358.6753.251155.613-5.8048.073-0.135

4 結論

本文推導的計算公式可用一般的函數計算器計算，其運算過程直觀、明了，具有較強的實用性和可操作性，適用于野外作業[2]。

參考文獻：

[1]虞濤.高中課本中的數學基本解題方法(上冊)[M].上海：華東師范大學出版社,2008.

[2]李明貴.最小二乘法在平面直角坐標換算中的應用[J].四川林勘設計,2009,9(3):83～85.