利用計算機軟件演示簡諧振動的合成

黃賢群

（韓山師范學院物理與電子工程系，廣東潮州 521041）

簡諧振動是最簡單的振動形式，任何一個復雜的振動都可以看成是若干個或是無限多個諧振動的合成，簡諧振動的合成原理，在討論聲波、光波及電磁輻射的干涉和衍射時經常用到[1]，所以它在大學物理理論課程的教學中占有不可忽視的地位.在大學物理實驗中，利用示波器演示李薩如圖形和“拍”的形成，驗證相互垂直兩諧振動的合成也是比較重要的實驗內容之一，由于該內容比較抽象，學生很難理解和掌握.而計算機輔助教學能夠有效彌補現實實驗的不足，文獻[2]利用Visual Basic程序設計語言模擬簡諧振動的合成，但需要編寫大量的程序代碼且無法動態演示，教學效果不夠明顯.本文利用其它計算機應用軟件如Excel、LabVIEW、Matlab等分別演示了該實驗內容，起到了更好的教學效果.

1 簡諧振動的合成原理

1.1 同方向兩簡諧振動的合成

設質點同時參與兩個同方向的簡諧振動，對應的運動方程為

兩者合成后的合振動方程為

當 f1≠f2，A1=A2，φ1=φ2時，利用三角恒等式可求得

由（4）式可知，當 f1、 f2較大且接近時， f2-f1遠小于 f1或 f2，這時會產生“拍”的現象[3].

1.2 相互垂直兩諧振動的合成

設質點同時參與兩個振動方向相互垂直的簡諧振動，一個沿x軸方向振動，一個沿y軸方向振動，以平衡位置為坐標原點，則對應的運動方程為

當相互垂直兩分振動的頻率比為有理數時，合運動的軌跡就是穩定的閉合的曲線，這些穩定的閉合曲線稱為李薩如圖形（Lissajous figures）.

2 利用Excel辦公軟件演示簡諧振動的合成

啟動Excel應用軟件后，根據（1）、（2）式在“A2：C4”區域設置好振幅A、頻率 f、初相位φ等參數，在區域“A5：D5”分別輸入t、x(x1)、y(x2)、x1+x2作為標題欄，在數據列t輸入具體時間數值，根據諧振運動方程，分別在單元格B6、C6、D6中輸入運算公式“＝$B$2*COS(2*PI()*$B$3*A6+$B$4)”、“＝$C$2*COS(2*PI()*$C$3*A6+$C$4)”、“＝B6+C6”，按下Enter鍵確認輸入后,通過拖動鼠標的方式，計算出對應的繪圖數據.根據Excel插入圖表方法，以數據列t為x軸，分別以x1、x2、x1+x2為y軸，畫平滑線散點圖，可得同方向兩諧振動的合成圖如圖1所示.

圖1 基于Excel演示“拍”的現象

以數據列x1為x軸，以數據列x2為y軸，畫平滑線散點圖，可得相互垂直兩諧振動的合成圖如圖2所示.將繪制好的合成圖形編輯、修飾后，依次選擇“視圖”、“工具欄”、“窗體”，在“窗體”工具欄上，點擊“滾動條”按鈕，在圖表下面添加一滾動條并調整其位置和大小.選中滾動條后，按鼠標右鍵，在彈出的快捷菜單中選擇“設置控件格式”菜單項，隨即在彈出的“對象格式”對話框中切換到“控制”選項卡中，然后將“最大值”調整為10，在“單元格鏈接”文本框中輸入“$B$2”，確定輸入后，該滾動條即可控制參數A1的大小.以同樣的方法，分別添加并設置好可以控制參數A2、 f1、 f2、φ1、φ2的滾動條，拖動滾動條便可動態的演示簡諧振動的合成圖[4].

由圖1和圖2演示結果可知，利用Excel演示物理現象不需要編程、操作方便快捷，通過物理原理，進行數學建模，設置參數后計算繪圖數據，再通過數據繪圖，數據點清晰，合成過程直觀明了.

圖2 基于Excel演示的李薩如圖形

3 利用虛擬儀器開發語言LabVIEW設計簡諧振動合成儀

LabVIEW是圖形化編程語言，具有入門容易、人機交互界面清晰等優點.根據簡諧振動合成的原理，利用LabVIEW設計了在同一界面上，同時顯示兩個簡諧振動的波形圖和這兩路信號在同一方向上和相互垂直方向上的合成圖形.具體的設計步驟如下：

（1）從控制模板中的Graph Indicator子模板中選取三個波形圖控件和一個Express XY Graph對象，置于前面板的適當位置.

（2）切換到程序的后面板，從函數模板中的Analyze子模板中選取兩個正弦波形發生器（Sine Waveform.vi），并在frequency、amplitude、phase三個端口新建輸入控件，用于控制其頻率、幅值和相位.

（3）分別將兩個Sine Waveform.vi的Signalout輸出數據端口與其中的兩個波形圖相連接，將分開顯示兩個信號的波形.

（4）分別將兩個Sine Waveform.vi的Signalout輸出數據端口與Build XY Graph Express VI的X輸入以及Y輸入兩個數據端口相連.將產生的兩路正弦信號分別作為橫、縱坐標在Express XY Graph中繪圖.

（5）從函數模板中的Numeric子模板中，選擇ADD節點放置在適當的位置，分別將兩個Sine Waveform.vi的Signalout輸出數據端口與ADD節點的兩個輸入端相連，ADD節點的輸出端連接到第三個波形圖中[5].

（6）從函數模板中的Execution Control子模板中選取While Loop函數.并把整個程序框起來.編輯好的程序的后面板見圖3.

（7）切換到程序的前面板，合理調整、修飾前面板的對象，完成代碼的編輯.（8）運行程序，程序的運行效果見圖4.

4 利用Matlab軟件編程模擬簡諧振動的合成

Matlab是一種科學計算軟件，主要適用于矩陣運算和信息處理領域的分析設計，它使用方便、輸入簡捷、運算高效、內容豐富，具有強大而簡易的作圖功能，該軟件已成為大學教學和科學研究中必不可少的工具[6].用Matlab編程演示同方向兩諧振動的合成主程序如下：

a1=input('a1=')；w1=input('w1=')；

圖3 后面板程序框圖

圖4 基于LabVIEW的簡諧振動合成儀

a2=input('a2=')；w2=input('w2=')；

t=0:0.01:100

y1=a1*cos(w1*t+3.14)；

y2=a2*cos(w2*t)；

y=y1+y2；

subplot(3,1,1)，plot(t,y1)，ylabel('y1')

subplot(3,1,2)，plot(t,y2)，ylabel('y2')

subplot(3,1,3)，plot(t,y)，ylabel('y'),xlabel('t')

利用該程序，輸入適當的參數后，演示“拍”的現象如圖5所示.利用Matlab編程演示相互垂直兩諧振動的合成圖即頻率比為 fy:fx=3:2的李薩如圖形如圖6所示

圖5 基于Matlab演示的“拍”的現象

圖6 基于Matlab演示的李薩如圖形

5 結束語

利用Excel、LabVIEW、Matlab等計算機軟件動態演示簡諧振動的合成過程，操作方便快捷，學生如親臨實驗室實驗一樣.通過以上幾種計算機軟件的演示結果，驗證了簡諧振動的合成規律，使理論更加明朗、直觀，加深了學生對李薩如圖形和“拍”現象的理解，說明了巧用計算機軟件輔助物理實驗教學能夠提高教學效果.

[1]趙近芳.大學物理簡明教程[M].北京：北京郵電大學出版社，2008：219-221.

[2]阿合買提江·買買提，斯坎達爾·買提尼亞孜.用計算機模擬簡諧振動的合成過程[J].烏魯木齊成人教育學院學報，2006，14（1）：83-85.

[3]上海交通大學物理教研室.大學物理學教程[M].上海：上海交通大學出版社，2010：83.

[4]神龍工作室.Excel2003公式、函數與圖表應用大全[M].北京：人民郵電出版社，2007：550-554.

[5]王磊，陶梅.精通LabVIEW8.0[M].北京：電子工業出版社，2007：218.

[6]陳懷琛.MATLAB及其在理工課程中的應用指南[M].西安：西安電子科技大學出版社，2000：125.