J-右（左）酉矩陣的性質與分解

賀 陽

（韓山師范學院數學與應用數學系，廣東潮州 521041）

1 引言與預備知識

本文所用的符號和所引用的結論均取自文獻[1-6]，用Cn×n表示復數域上n階方陣的全體；用Rn×n表示實數域上的n階方陣的全體；用In表示n階單位矩陣；用Jn表示n階次單位矩陣即次對角線上的元素都為1其余各位置的元素都為0的n階矩陣；記2n階矩陣用AL、AR、AT、AH、AST、ASH、det A分別表示復數矩陣A的左轉置矩陣、右轉置矩陣、轉置矩陣、共軛轉置矩陣、次轉置矩陣、次共軛轉置矩陣及行列式；如無特別說明，本文所提的數均為復數域上的數，本文所提的矩陣均為復數域上的矩陣.

定義1 設A∈C2n×2n，若A滿足：AAL=ALA=J（其中AL=JAH），則稱A為J-左酉矩陣.若A滿足：AAR=ARA=J（其中AR=AHJ），則稱A為J-右酉矩陣容易看出，若A為J-右（左）酉矩陣，則A為可逆矩陣；JA=AJ；且J,I為J-右（左）酉矩陣.

引理1[2]設A∈C2n×2n，則A=QR（Q R分解）,其中Q為2n階酉矩陣，R為2n階與矩陣A秩相同的矩陣.

引理2[2]設 A∈C2n×2n，則 A=UΛV（奇異值分解），其中U，V為酉矩陣，Λ=diag( )λ1,λ2,…,λ2n，其中 λ1≥λ2≥…λ2n≥0 ， λ1,λ2,…,λ2n為A的特征值.

性質1 設A∈C2n×2n，且A為J-右（左）酉矩陣，其中B,C為n階矩陣.

性質2 設A∈C2n×2n,且 A為J-右（左）酉矩陣，則為n階矩陣，則B,C滿足如下條件：BJnBH+CJnCH=0,BCH+CBH=In,BHB+JnCHCJn=0,BHC+JnCHBJn=In.

證明 由J-右酉矩陣的定義直接計算可得.

這 里 設 Λ1=diag(λ1,λ2,…,λn) 其 中 λ1,λ2,…,λn為 B 的 特 征 值 ， 且 λ1≥λ2≥…λn≥0,Λ2=diag(,,…,)其中,…為C的特征值，且≥≥…≥0.

2 J-右（左）酉矩陣的性質

定理1 設A∈C2n×2n，則以下三個命題等價.

（1） A為J-右酉矩陣；

（2） A為J-左酉矩陣；

（3） A為酉矩陣，且JA=AJ；

證明 (1)?(2)若 A為 J-右酉矩陣，得 AAHJ=AHJA=J,且 JA=AJ,則 AAH=AHA=I,JAHA=JAAH=AJAH=J,則A也為J-右酉矩陣.

(2)?(3)若A為J-左酉矩陣，則JAHA=AJAH=J，且JA=AJ,則AAH=AHA=I，即A為酉矩陣.

(3)?(1)AAH=AHA=I,且JA=AJ,則JAAH=AJAH=J,AHAJ=AHJA=J,即 A為J-右酉矩陣.

由定理1可得A為J-右酉矩陣，則A也為J-左酉矩陣的情況類似，所以A在J-右酉矩陣上所得的定理在J-左酉矩陣上也有相關定理，因此下文只介紹J-右酉矩陣的定理，J-左酉矩陣的定理用同樣的方法即可推出.

定理2 設A為J-右酉矩陣,則有以下結論成立

（1） A,AJ均為酉矩陣.

（2） A-1,AH,ASH均與J滿足交換律.

（3） AL,AR,AT,AST仍為J-右酉矩陣.

證明 （1）由 AAR=AAHJ=J,則 AAH=I,同理 ARA=AHJA=AHAJ=J，得 AHA=I，則 A為酉矩陣.AJ的證明方法類似.

（2） A為J-右酉矩陣，則AJ=JA,且A為可逆矩陣，則A-1J=JA-1.AH、ASH的證明方法類似.

（3） A為J-右酉矩陣，且AL=JAH，則AL(AL)R=JAHA=(AL)RAL=AJAH=J,則AL為J-右酉矩陣.AR、AT、AST的證明方法類似.

定理3 設A,B均為J-右酉矩陣，則BA-1、BAHB、BASHB均為J-右酉矩陣.

BAHB、BASHB的證明方法類似.

定理4 設A1,A2,A3,…,Am均為J-右酉矩陣，且A1,A2…An為n階矩陣，n1,n2,…nm為正整數，則為J-右酉矩陣.

3 J=右（左）酉矩陣的分解

定理5 設A∈C2n×2n，且A為J-右酉矩陣，則且B為不可逆矩陣，C為可逆矩陣，若C=V2Λ2U2（其中U2,V2為n階酉矩陣)則存在矩陣使得A=D01D02D03D04或存在矩陣使得 A=D05D06D07D08.

定理6 設A∈C2n×2n，且 A為J-右酉矩陣,則，且B為可逆矩陣，C為不可逆矩陣，若B=V1Λ1U1（其中U1,V1為n階酉矩陣)則存在矩陣使 得 A=D11D12D13D14或 存 在 矩 陣使得 A=D D D D.15161718

證明方法與定理5類似，不再證明.

致謝感謝韓山師范學院劉玉教授的悉心指導！

[1]劉玉，蔡增爍.全酉矩陣及其性質[J].韓山師范學院學報，2009，30（6）：1-3.

[2]戴華.矩陣論[M].北京：科學出版社，2001：131-132，140-141.

[3]袁暉坪，王行榮，李慶玉.行（列）反對稱矩陣的滿秩分解和廣義逆[J].數學雜志，2009，29（4）：515-516.

[4]黃允發.K-可逆矩陣與K-可換矩陣[J].韓山師范學院學報，2009，30（6）：21-25.

[5]劉玉，蔡烏芳，鄭則禮.K-次對稱矩陣及其性質[J].南通大學學報：自然科學版，2010，2（9）：86-87.

[6]許永平，石小平.正交矩陣的充要條件與O-正交矩陣的性質[J].南京林業大學學報：自然科學版，2005，29（2）：54-56.