具有矩陣伸縮的高維正交周期小波包

毛一波

(重慶文理學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 永川 402160)

1 引言及預(yù)備知識

由于小波包能夠解決單一正交小波基的頻域局部化較差的問題而成為小波分析的研究熱點，它在信號處理、圖象壓縮、編碼理論、通信工程等方面有諸多應(yīng)用[1-2].Coifman等首先引入了一元正交小波包的概念[3]，文獻(xiàn)[4]則將實直線上的小波包推廣到正交周期小波包，建立了其理論框架并研究了其性質(zhì).為了把小波方法應(yīng)用到數(shù)字圖像處理中，許多研究者把精力集中到高維小波濾波器的構(gòu)造上，最簡單通用的構(gòu)造方法是一維小波濾波器的張量積的形式，但這種構(gòu)造對處理二維圖像中的水平和垂直方向的信息是困難的.在最近十幾年里，不可分小波濾波器的構(gòu)造引起了相當(dāng)多人的注意[5-6].崔麗鴻等[7]研究了高維不可分正交多小波包，邱進(jìn)凌等[8]給出了一類擴(kuò)展矩陣伸縮的緊支撐多元向量值雙正交小波包的構(gòu)造并討論了它們的性質(zhì).本文中在上述理論的基礎(chǔ)上將小波包進(jìn)行推廣，引入對應(yīng)于高維正交周期尺度函數(shù)的小波包，給出具有任意矩陣伸縮的高維不可分正交周期小波包的構(gòu)造方法，并對其性質(zhì)進(jìn)行了研究，得到高維正交周期小波包的分解公式及其Fourier變換表示.

為行文方便，全文約定以下記號：d為正整數(shù)，Zd={(z1，…，zd)|zj為整數(shù)，1≤j≤d}為d維整數(shù)集，Z+為非負(fù)整數(shù)集，A為d×d伸縮矩陣，即它的元素是整數(shù)，且它的所有特征值的模大于1，約定|detA|=a，a>1為正整數(shù).對k∈Z+，Ωk表示Zd/AkZd的不同代表元所組成的集合.考慮周期為Zd的空間

2 矩陣伸縮的高維周期多分辨分析

(1)

(2)

(3)

成立(l∈Ωj).

命題2.1的證明當(dāng)λ=λ′=0時，因為{φj(t-A-jl)，l∈Ωj} 為Vj空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以

δ(0，l)=<φj(·)，φj(·-A-jl)>=

對λ，λ′不全為0時，利用尺度函數(shù)和小波函數(shù)的正交性可類似進(jìn)行證明，茲從略.

3 具有矩陣伸縮的高維正交周期小波包

定義3.1記

(4)

(5)

由定義可以看出，當(dāng)d=1及a=2時，上述定義的小波包即為文獻(xiàn)[4]中的周期小波包.

4 主要結(jié)果

推論4.2

m0=am1+λ1，m1=am2+λ2，…，mr-1=amr+λr，…，

(6)

5 例子

6 結(jié)論

在引入對應(yīng)于高維正交周期尺度函數(shù)的小波包的基礎(chǔ)上，給出了具有任意矩陣伸縮的高維不可分正交周期小波包的構(gòu)造方法.通過具有矩陣伸縮的高維周期小波包的構(gòu)造，可以期望對高維正交周期小波子空間Wj進(jìn)行正交分解，最終可以分解為(a-1)aj個一維小波子空間的正交直和.通過對高維正交周期尺度函數(shù)的小波包的性質(zhì)進(jìn)行研究，得到了高維正交周期小波包的分解公式及其Fourier變換表示，對一元正交周期小波包的結(jié)果進(jìn)行了推廣.

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