一類具常數放養的非線性密度制約和功能反應的捕-食系統的定性分析

馮光庭

(湖北第二師范學院數學與數量經濟學院，湖北 武漢 430205)

0 引言

(1)

其中a，b，c，d，μ，H>0，0<α<1，H為食餌種群的放養率.根據問題的生物學意義，只在D=x，yx>0，y>0內研究.

1 系統(1)的性質及其生物學意義

先證明幾個引理.

引理1.1系統(1)有唯一邊界平衡點M1x1，0，并且

(Ⅰ)當0

h′(x)=a-bxα+(-bxα-1)x=a-bxα-bαxα=a-bxα(1+α)，

則當00;當x>x*時，h′x<0.

故hx=0有唯一正實根x1，即系統(1)有唯一邊界平衡點M1x1，0，且0

又系統(1)在點M1處所對應的線性近似系統的矩陣的特征值為

所以，當0

(Ⅱ)當引理1.1中的條件成立時，食餌種群將持久生存并保持一定的穩定狀態，但捕食者種群將滅絕.

引理1.2當y0>0時，系統(1)有唯一正平衡點M0x0，y0， 并且

(Ⅰ)當p0>0時，M0是不穩定的焦點或結點；

(Ⅱ)當p0<0時，M0是穩定的焦點或結點；

(Ⅲ)當p0=0時，M0是一階穩定的細焦點.

引理1.2的證明當y0>0，系統(1)有唯一正平衡點M0x0，y0.

因系統(1)在M0處對應的線性近似系統的矩陣的特征值為

所以，當p0>0時，M0是不穩定的焦點或結點,即證(I)；當p0<0時，M0是穩定的焦點或結點,即證(II).

當p0=0時，作變換x=ξ+x0，y=y0eη，并令dτ=-cy0ξ+x0αdt，仍用t表示時間變量，則有-x0<ξ<+∞，-∞<η<+∞，且系統(1)可化為

(2)

并且

(iii)φ0=0，η·φη=ηeη-1>0η≠0，φ′η=eη，φ′0=1>0.

即系統(2)滿足文獻[4]中定理的條件.

再由系統(1)與系統(2)中時間變量的關系知，M0是一階穩定的細焦點,即證(III).

引理1.3當p0≤0時，系統(1)在D=x，yx>0，y>0內沒有極限環.

從而有px0=p0，且當00;當x>x0時，p′x<0;

故對x>0，有px≤px0，即當p0≤0時，對任意x>0，y>0有

因此系統(1)在D=x，yx>0，y>0內沒有極限環.

引理1.4當p0>0時，系統(1)在D=x，yx>0，y>0內至少有一個極限環.

引理1.4的證明構造Bendixson環域Ω：外境界線為x軸的正半軸，射線L1:x=x1y>0，L2:x=0y>0，線段L3:μ·x+y-k=00≤x≤x1，k待定；內境界線為正平衡點M0x0，y0.

又x軸正半軸為軌線，且當p0>0時，M0是不穩定的焦點或結點.故由Bendixson環域定理知，結論成立.

定理1.1當y0>0時，系統(1)的唯一正平衡點M0x0，y0在D內全局漸進穩定的充分必要條件是p0≤0

(3)

此即表明，當定理中的條件成立時，食餌和捕食者種群將處于一種持久共存的穩定狀態.

定理1.1的證明充分性:若(3)式成立.由y0>0知，系統(1)只有唯一的邊界平衡點M1和唯一的正平衡點M0；而由引理1.1知，M1為鞍點；由引理1.2知，M0為局部穩定的焦點或結點；又由引理1.3知，系統(1)在D=x，yx>0，y>0內沒有極限環.

故M0在D=x，yx>0，y>0內全局漸進穩定.

必要性：若M0在D內全局漸進穩定，則D局部穩定，所以由引理1.2得p0≤0.

定理1.2系統(1)存在唯一穩定的極限環的充分必要條件是p0>0.

此即表明，當定理中的條件成立時，食餌和捕食者種群將處于一種持久震蕩共存的狀態.

定理1.2的證明充分性:若p0>0.由引理1.4知，存在性成立；下面只證明唯一性.

對于系統(2)，由前面的討論知，φ0=0，ηφη=ηeη-1>0η≠0,

故由文獻[5]中的唯一性定理知，系統(3)在-x0<ξ<+∞，-∞<η<+∞內圍繞原點至多只有一個極限環，從而系統(1)在D內至多只有一個極限環.

必要性:若系統(1)在D內有唯一穩定極限環.則由引理1.3知，必有p0>0.

[1] 顏向平，張存華.一類具功能反應的食餌-捕食者兩種群模型的定性分析[J].生物數學學報，2004，19(3)：323-327.

[2] 王政.具有非線性飽和功能反應的捕食者-食餌系統的定性分析[J].生物數學學報，2007，22(2)：215-218.

[3] 程雷虎，李自珍，蘇敏.具有非線性功能反應函數的捕食者-食餌系統穩定性分析[J].蘭州大學學報：自然科學版，2009，45(1)：95-98.

[5] 張芷芬，丁同仁，黃文灶，等.微分方程定性理論[M].北京：科學出版社，2006.

[6] 陳蘭蓀，孟建柱，焦建軍.生物動力學[M].北京：科學出版社，2009.