一個新的類Lorenz系統的脈沖控制與同步

曹 靜，袁達譜，孫 文

(長江大學信息與數學學院,湖北 荊州 434023)

一個新的類Lorenz系統的脈沖控制與同步

曹 靜，袁達譜，孫 文

(長江大學信息與數學學院,湖北 荊州 434023)

基于脈沖微分方程的理論，對一個新的類Lorenz系統進行脈沖控制與同步研究。分別給出該系統漸近穩定到平衡點和同步的充分條件，數值仿真結果證實了這種控制與同步方法的有效性。與其他方法相比，該方法所設計的控制器簡單易于實現，且具有收斂速度快、控制代價小的優點。

類Lorenz系統；脈沖控制；同步

文獻[1]構造了一個新的類Lorenz系統：

(1)

圖1 a=5,b=4,c=2時的混沌吸引子

當a=5,b=4,c=2時，該系統處于混沌狀態，它的混沌吸引子如圖1所示。新的類Lorenz系統聯系了3個重要的混沌系統，對其研究具有重要的理論與應用價值。下面，筆者將利用脈沖控制方法[2-6]研究一個新的類Lorenz系統的控制與同步。

1 類Lorenz系統的脈沖控制

將系統(1)寫成：

x=Ax+Φ(x(t))

(2)

其中:

則系統(1)的脈沖控制系統可以表示為：

(3)

為方便起見，記λQ=λmax(Q+QT)是(Q+QT)的最大特征值，θi=λmax[(I+Bi)TP(I+Bi)]表示(I+Ψi)TP(I+Ψi)的最大特征值，其中,Bi為脈沖控制矩陣。

證明構造Lyapunov函數V(t)=xTPx，在t∈(ti-1,ti](i=1,2,3,…)時，其沿式(3)的軌跡的導數為：

其中:

(5)

因此，對于t∈(ti,ti+1](i=1,2,3,…)，由式(5)和式(6),可以遞推出：

該系統穩定于其他平衡點的情形類似于穩定于原點的情形。

2 新的類Lorenz系統的脈沖同步

設系統(2)為驅動系統，則脈沖控制響應系統為：

(7)

由系統(2)和系統(7)得到誤差系統滿足：

(8)

式中，e=y-x是同步誤差，而Φ(y)-Φ(x)=M(x,y)e，即：

定理2令W=A+M，如果存在一個常數γ>1，使得ln(γθi)+λWτi≤0(i=1,2,3,…)成立，則脈沖控制響應系統(7)和驅動系統(2)是全局漸近同步的。

證明取Lyapunov函數V(t)=eTe。在t∈(ti-1,ti](i=1,2,3,…)時，其沿式(3)的軌跡的導數為：

(9)

當t=ti(i=1,2,3,…)時：

因此，對于t∈(ti,ti+1](i=1,2,3,…)，由式(9)和式(10)，可以遞推出：

因此，響應系統(7)和驅動系統(2)是全局漸近同步的。

3 數值模擬

為了進一步說明和驗證筆者提出的方法的有效性，下面筆者對新的類Lorenz系統的脈沖控制與同步進行數值模擬，均采用四階龍格-庫塔方法解微分方程，步長為0.001，以a=5,b=3,c=2為例。

圖2 利用脈沖控制把軌線控制到不穩定的平衡點

圖3 脈沖控制下的狀態變量

當采用線性反饋控制器來實現驅動系統與響應系統的同步，此時響應系統為：

(11)

式中,u1=e1,u3=3e2,u3=2e3。從圖4和圖5可以看出,響應系統與驅動系統的誤差收斂到0的速度,采用脈沖控制方法的收斂速度比采取線性反饋控制方法的速度要快得多。

圖4 同步總誤差 圖5 線性反饋誤差

4 結 語

利用脈沖控制方法研究了系統(1)的混沌控制與同步，給出了實現混沌控制與同步的充分條件。所設計的控制器簡單，易于實現，與其他控制方法相比收斂速度快,控制代價小,仿真結果也進一步驗證了所提出方法的有效性。由于脈沖控制與同步系統不可避免的具有時滯延后性，對系統的控制與同步會產生一定的影響，所以時滯混沌脈沖控制系統是進一步的研究方向。

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[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.12.004

O231.5

A

1673-1409(2012)12-N009-04