Cramer法則在解析幾何中的應(yīng)用研究

楊先山

(長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

Cramer法則在解析幾何中的應(yīng)用研究

楊先山

(長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

用Cramer法則以及行列式的運(yùn)算性質(zhì)，推導(dǎo)了平面上2點(diǎn)確定的直線方程、不共線3點(diǎn)確定的圓的方程、3條直線交于一點(diǎn)的充要條件和空間中不共線3點(diǎn)確定的平面方程等幾個(gè)常見(jiàn)的結(jié)論。并將結(jié)論表示成行列式的形式，推導(dǎo)過(guò)程容易理解，結(jié)論形式簡(jiǎn)潔。

Cramer法則；解析幾何；行列式

1 Cramer法則

把Cramer法則應(yīng)用于齊次線性方程組,可得如下結(jié)論:

推論1含有n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式D=0。

Cramer法則主要應(yīng)用在對(duì)于含n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的非齊次線性方程組,當(dāng)系數(shù)行列式D≠0時(shí)解的存在性、唯一性以及解的求法上,推論1主要應(yīng)用在對(duì)于含n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組是否有非零解的判斷上。

下面，筆者將利用Cramer法則探討解析幾何中的一些問(wèn)題?。

2 應(yīng) 用

2.12點(diǎn)確定的直線的方程

定理2平面上通過(guò)橫坐標(biāo)互不相同的n個(gè)點(diǎn)Pi(xi,yi)(i=1,2,…,n)的曲線y=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1有且僅有1條。

證明把n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程y=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1,得到含n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的非齊次線性方程組及其系數(shù)行列式D：

(1)

將a0,a1,a2,…,an-1看作未知數(shù),系數(shù)行列式D是n階范德蒙德行列式,由于xi(i=1,2,…,n)互不相同,所以D≠0。依據(jù)Cramer法則,得方程(1)有唯一解,故通過(guò)Pi(xi,yi)(i=1,2,…,n)的曲線y=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1有且僅有1條：

式中，Dj(j=1,2,…,n)是用方程組的常數(shù)項(xiàng)代替系數(shù)行列式D中第j列的元素后所得的n階行列式。

2.2不共線3點(diǎn)確定的圓的方程

證明設(shè)圓的方程為x2+y2+Ax+By+C=0,把3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程,得含3個(gè)方程3個(gè)未知數(shù)的非齊次線性方程組及其系數(shù)行列式D：

(2)

將A,B,C看作未知數(shù),由P1,P2,P33點(diǎn)不共線得D≠0,所以方程(2)有唯一解:

代入x2+y2+Ax+By+C=0 ,整理得:

2.3平面上3條直線交于一點(diǎn)的充要條件

證明平面上3條直線兩兩不平行,則任意2條都相交，過(guò)l1與l2交點(diǎn)的直線方程記為：

l(a1x+b1y+c1)+m(a2x+b2y+c2)=0 (l,m不全為零)

即(la1+ma2)x+(lb1+mb2)y+(lc1+mc2)=0。令：

(3)

2.4空間中不共線3點(diǎn)確定的平面方程

證明設(shè)平面π的方程為ax+by+cz+d=0(a,b,c不全為0),因?yàn)镻1,P2,P33點(diǎn)在平面 上,則其坐標(biāo)必須滿足π的方程,從而得到以a,b,c,d為未知數(shù)的齊次線性方程組及其系數(shù)行列式D：

(4)

因a,b,c不全為0,說(shuō)明齊次線性方程組(4)有非零解,所以其系數(shù)行列式D=0,即所求平面π的方程。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2]呂林根,許字道.解析幾何[M].北京:高等教育出版社,2006.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.12.003

O151.2

A

1673-1409(2012)12-N006-03