酉矩陣CS分解定理的推廣

史存琴

(隴東學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 慶陽 745000)

酉矩陣CS分解定理的推廣

史存琴

(隴東學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 慶陽 745000)

根據(jù)強酉矩陣、行酉矩陣、列酉矩陣的定義，參考酉矩陣的CS分解定理，給出了強酉矩陣、行酉矩陣、列酉矩陣的CS分解定理，并用兩矩陣商的奇異值分解討論了等式約束不定最小二乘問題的一種新的算法。

酉矩陣;強酉矩陣;行酉矩陣;列酉矩陣; CS分解;等式約束不定最小二乘問題

從以上的定義中可知,當一個矩陣為強酉矩陣時,它一定同時為行酉和列酉矩陣,但當一個矩陣同時為行酉和列酉矩陣時,它并不一定是強酉矩陣,如：

盡管AAH與AHA均為對角陣,但AAH≠AHA。

2 酉矩陣的CS分解定理

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

定理2(矩陣商的奇異值分解(Q-SVD)[1]) 給定矩陣A∈Cm×n,B∈Cp×n,CH=(AH,BH),k=rank(C),則存在酉矩陣U∈Um,V∈Up,W∈Uk和Q∈Un，使得：

UHAQ=ΣA(WHΣC,0)VHBQ=ΣB(WHΣC,0)

式中，ΣC=diag(σ1(C),σ2(C),…,σk(C)),σ1(C),…,σk(C)為C的非零奇異值，ΣA,ΣB形如:

3 推 廣

3.1強酉矩陣的CS分解定理

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0),C=diag(C1,0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

3.2行酉矩陣的CS分解定理

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

3.3列酉矩陣的CS分解定理

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

4 求解等式約束不定最小二乘問題的新算法

對等式約束不定最小二乘問題：

rank(B)=sxT(ATJA)x>0x∈null(B)

(1)

UHAQ=ΣAWHΣCVHBQ=ΣBWHΣC

(2)

AQ=UΣAWHΣC=(U1,U2,U3)ΣAWHΣC=(U1,U2SA)WHΣC

b-Ax=b-AQQHx=b-(U1,U2SA)WHΣCQHx=b-U2SAys-U1yn-s=f-U1yn-s

因此等式約束不定最小二乘問題就等價于不定最小二乘問題：

(3)

借助于兩矩陣商的奇異值分解(Q-SVD)的求解等式約束不定最小二乘問題(ILSE)的新算法(Q-SVD-Cholesky方法)步驟如下：

步1 計算矩陣A,B的商的奇異值分解(2)。

步4 令f=b-U2SAys，用一次向后替代和一次向前替代解線性系統(tǒng)RTRyn-s=U1Jf。

[1]魏木生.廣義最小二乘問題的理論與計算[M].北京:科學出版社，2006.

[2]秦應(yīng)兵.強亞正交矩陣及其性質(zhì)[J].大學數(shù)學， 2007，23(2):171-173.

[3]徐樹方.矩陣計算的理論與方法[M].北京:北京大學出版社，1995：21-27.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.12.002

O175.2

A

1673-1409(2012)12-N003-03