非負矩陣譜半徑的新界值

李 華

(河南城建學院數理系,河南 平頂山 467044)

非負矩陣譜半徑的新界值

李 華

(河南城建學院數理系,河南 平頂山 467044)

非負矩陣譜半徑的估計是非負矩陣理論中重要的課題。對Frobenius界值方法加以研究,給出了一種易于計算且能得到較緊的界的方法，并通過數值算例與以往的結果進行比較,有一定的精確性。

非負矩陣; 譜半徑; 界值

非負矩陣在計算數學、圖論等領域有著廣泛的應用,對其譜半徑的估計有著很重要的意義。非負矩陣譜半徑的估計作為非負矩陣理論的核心問題之一,最著名且應用最多的估計由G.Frobenius[1]得到。

引理1[2]設A=(aij)為n階非負矩陣,具有非零行和r1,r2,…,rn,則：

引理2[2]設α是矩陣A的特征值,X=(x1,x2,…,xn)T,Y=(y1,y2,…,yn)T分別是矩陣AT和A對應于α的特征向量,則:

引理3[2]若q1,q2,…,qn是正數,則對任意實數p1,p2,…,pn,有：

下面，筆者將在文獻[3-5]的基礎上對非負矩陣譜半徑的估計作了進一步的研究。

1 主要結果

定理1設A=(aij)為n階非負不可約矩陣,正對角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn),記B=X-1AX,則有:

當X=diag(r1,r2,…,rn)時,即為引理1的結果。

推論1設A=(aij)為n階非負不可約矩陣,正對角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn),記B=X-1AmX,Am=(aij)m,則有：

由引理3知:

注:對列和也有類似結論。

證明證明方法類似于文獻[6]中定理4的證明，

證明正對角矩陣D2可逆,對矩陣B2利用推論1可知:

注: 對列和也有類似結論。

證明證明方法類似于文獻[4]中定理4的證明。

2 數值例子

由文獻[1]知，4≤ρ(A)≤8。由文獻[2]知5≤ρ(A)≤6.25。在定理1中,m=1,p=2,λi=1，5.5995≤ρ(A)≤5.8257。m=1,p=3,5.68≤ρ(A)≤5.78。

實際上,ρ(A)=5.742,由此可知,定理1得到的結果在一定程度上要比以往的結果好。

[1]Frobenius.Uber matrizen aus nicht negativen elementen[M].Berlin: S B Press,1912:456-477.

[2]Minc H.Nonnegative Matrices[M].New York:Wiley,1988:11-19,24-36.

[3]殷劍宏.非負矩陣最大特征值的新界值[J].數值計算與計算機應用,2002,23(4):282-295.

[4]岳嶸.非負矩陣譜半徑的新界值[J].數學的實踐與認識,2009,39(17):206-209.

[5]孫文靜,楊晉,劉彥芝,等.非負矩陣譜半徑的新界[J].中北大學學報,2011,32(1):29-31.

[6]李丹青.非負矩陣譜半徑的一個新界值[J].大學數學,2011,27(3):26-29.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.12.001

O151.21

A

1673-1409(2012)12-N001-03