一類半線性橢圓系統解的存在性

宋 琨

(保山學院數學學院，云南 保山 678000)

一類半線性橢圓系統解的存在性

宋 琨

(保山學院數學學院，云南 保山 678000)

研究了一類半線性橢圓系統解的存在性問題。通過使用臨界點理論中的鞍點定理，得到了一個該問題解的存在性結果。

半線性橢圓系統；弱解；變分方法

1 問題的提出

考慮如下半線性橢圓系統:

(1)

最近幾年, 半線性橢圓系統解的存在性與多解性已經被廣泛的研究。文獻[1]中研究了如下問題:

(2)

當F是一個偶函數且滿足在無窮遠處是漸進線性時, 得到了系統(2)無窮多個小能量解的存在性結果。文獻[2]在λ=0的情形利用極小極大方法研究了系統(1)弱解的存在性問題。文獻[3]中研究了系統(1)弱解的存在性與多解性。當F滿足如下的次線性增長性條件時:

(F)

對a.e.x∈Ω一致成立，得到了下面的定理:

定理A[3]假設條件(A1) 和(A2) 成立, 函數F滿足條件(F)且有:

(C)

關于x∈Ω一致成立, 那么當λ=λ1時, 系統(1)至少有一個解，λ1表示如下特征問題(WEP)的第一特征值:

(WEP)

條件(F)在證明相應的能量泛函滿足Cerami條件和鞍點定理的幾何特征時發揮著極其重要的作用。這一類型的條件對非線性項的限制很強，在實際的應用中, 可能有很多的函數并不滿足條件(F)。因此, 一個自然的問題就是: 如果此時不滿足條件(F), 問題(1) 是否仍然存在弱解? 能否找到更一般的條件來保證問題(1)弱解的存在性? 受文獻[4- 5]的啟發, 筆者利用對非線性項更一般的假設條件, 給出系統(1)的一個新的解的存在性結果。

2 主要結果

首先，做如下的假設條件:

3 變分框架的設立

(3)

(4)

對任意的(u,v),(φ，ψ)∈H, 定義算子TA:H→H*如下:

(5)

(6)

4 主要結果的證明

顯然有如下引理：

引理1假設函數F滿足條件F1, 那么泛函I在H上是連續可微的,并且泛函I的臨界點即為問題(1)的弱解。

利用A(x)的定義, 可以把泛函I寫成如下的形式:

(7)

并且其導函數為:

(8)

由算子TA的定義和式(7)知：

(9)

步驟1 泛函I滿足Cerami條件。設序列{zn}?H滿足: 當n→∞時, 有：

I(zn)→c∈R(1+‖zn‖)‖I′(zn)‖→0

(10)

2F(x,s)-(F(x,s),s)≥d3|s|μ-d4?s∈R2a.e.x∈Ω

(11)

因此:

這就蘊含當n→∞時, 有:

(12)

(13)

(14)

這與:

相矛盾。因此{zn}在H中有界。從而, 通過一個子列, 可設zn→z在H中。利用常用的討論方法可知‖zn-z‖→0，n→∞。于是I滿足Cerami條件。

步驟2 類似于文獻[3]中的討論，可證明I在H1中反強制, 即對任意的z∈H1, 當z→∞時, 有I(z)→-∞。

[1]Zou W M. Multiple Solutions for Asymptotically Linear Elliptic Systems[J]. J Math Anal Appl, 2001, 255: 213-229.

[2] Zhang J H，Zhang Z T. Existence results for some nonlinear elliptic systems[J]. Nonlinear Anal ,2009,71:2840-2846.

[3] Ou Z Q，Tang C L. Existence and multiplicity results for some elliptic systems at resonance[J]. Nonlinear Anal, 2009, 71: 2660-2666.

[4] Duan S Z，Wu X. The local linking theorem with an applicaton to a class of second order systems[J]. Nonlinear Anal, 2010, 72: 2488-2498.

[5] Furtado M F, de Paiva F O V. Multiplicity of solutions for resonant elliptic systems[J]. J Math Anal Appl, 2006, 319: 435-449.

[6] Silva E A B. Subharmonic solutions for subquadratic Hamiltonian systems [J]. J Differential Equations ,1995,115: 120-145.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.06.002

O175.25

A

1673-1409(2012)06-N005-04