一類二階具偏差變元的微分方程周期解

陳月紅 林偉偉

(廣東技術(shù)師范學(xué)院計算機學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510665) (華南理工大學(xué)計算機學(xué)院，廣東 廣州 510640)

一類二階具偏差變元的微分方程周期解

陳月紅 林偉偉

(廣東技術(shù)師范學(xué)院計算機學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東 廣州 510665) (華南理工大學(xué)計算機學(xué)院，廣東 廣州 510640)

x″(t)+f((t))x′(t)+g(t,x(x(t-τ(t))))=p(t)

(1)

式中，f,g,p∈C(R,R)均為實連續(xù)泛函，τ(t)∈C1(R,R)，?t∈R，且τ(t)、p(t)是關(guān)于t的T-周期函數(shù)，T>0。筆者討論了方程(1)的周期解存在性問題。

1 預(yù)備知識

設(shè)X,Y均為Banach空間，L:DomL?X→Y是線性映射，N:X→Y是連續(xù)映射。若dim KerL=codim ImL<+∞，及ImL在Y中閉，則L稱為指標(biāo)為0的Fredholm算子。

(i)λ∈(0,1),x∈DomL∩?Ω,Lx≠λNx；

(ii)?x∈?Ω∩KerL,QNx≠0及deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0;

則?x∈?Ω∩DomL，方程Lx=Nx至少存在一個周期解。

引理2[8]令CT是由實連續(xù)的T-周期泛函x=x(t)構(gòu)成的集合，則對?x=x(t)∈C(1)(R,R)∩CT，?ξ∈[0,T],有:

(2)

定義映射X∩C(2)(R,R)→Y，N:X→Y，并有：

Lx(t)=x″(t),t∈RNx(t)=-f(x(t))x′(t)-g(t,x(x(t-τ(t))))+p(t)

(3)

(4)

易驗證KerL=ImP，KerQ=ImL=Im(I-Q)，L|DomL∩KerP:(I-P)X→ImL有一個定義在Kp上的逆映射，且由式(2)定義出的映射L是指標(biāo)為0的Fredholm算子。

2 周期解的存在性

(Ⅰ) |f(x(t))|≤k|x(t)|+c，?t∈R；

(Ⅱ)|g(t1,x(x1(t1)))-g(t2,x(x2(t2)))|≤L(|t1-t2|+|x1(t1)-x2(t2)|)，?t1,t2∈R；

(Ⅲ)xg(t,x)>0，?t∈R，|x|>d;

證明令：

x″(t)=-λf(x(t))x′(t)-λg(t,x(x,(t-τ(t))))+λp(t),λ∈(0,1)

(5)

(6)

由式(6)，對t從0到T積分:

(7)

從而對任意t∈[0,T]，有:

對式(8)中的t從0到T積分:

(9)

因為g(t,x(x(t)))=g(t,x(t1))+g(t,x(x(t)))-g(t,x(t1))，所以：

在式(5)兩邊同時乘以x(t)，再將方程兩邊對t從0到T積分有：

+LdT·‖x‖0+|p|0T·‖x‖0

(12)

(13)

(14)

由式(7)和(14)，得:

(15)

這里M1>0。由式(8)和(15)，得:

(16)

這里M2>0。另一方面，因x(0)=x(T)，故存在t0∈[0,T]，使得x′(t0)=0。將式(5)兩邊從0到t積分，得:

即：

所以：

(17)

則xH(x,μ)=μx2+(1-μ)·x·g(x)>0，x∈KerL∩?Ω，μ∈[0.1]。因此H(x,μ)是同倫映射，則deg(QN,Ω∩KerL,0)=deg(I,Ω∩KerL,0)≠0。于是由引理1，方程(3)至少存在一個周期解。

例1考慮方程：

x″(t)+f(x(t))x′(t)+g(t,x(x(t-sin4πt)))=3sin4πt

(18)

[1]Gaines R E, Mawhin J L.Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations[M]. Lecture Notes in Mathematics, 1977.

[2]秦元勛, 劉永清, 王聯(lián). 帶有時滯的動力系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1989:14-21.

[3]黃先開,向子貴. 具有時滯Duffing型方程x″+g(x(t-τ))=p(t)的2π周期解[J]. 科學(xué)通報，1994,39(3): 201-203.

[4] Wang Gen-qiang.A priori bounds for periodic solutions of a delay Rayleigh equation[J].Appl Math Lett，1999(12): 41-44.

[7]Chen Yue-hong，Wang Gen-qiang. Periodic Solutions of Nonautonomous Delay Duffing Equations With A Complex Devitating Argument[J]. Far East J Appl Math, 2007, 26(2): 159-170.

[8] Li J W，Wang G Q. Sharp Inequalities for Periodic Functions[J]. Applied Mathematics E-Notes, 2005 (5): 75-83.

[9]陳月紅. 類二階具復(fù)雜偏差變元的微分方程周期解[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2010, 44(2): 6-10.

[10] Wang Zheng-xin, Qian Long-xia, Lu Shi-ping,et al. The existence and uniqueness of periodic solutions for a kind of Duffing-type equation with two deviating arguments[J]. Nonlinear Analysis，2010,73: 3034-3043.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.06.001

O175.14;O177.91

A

1673-1409(2012)06-N001-04