一類高階非線性差分方程正平衡解的穩(wěn)定性及二周期解的存在性

賈小建

(山西經(jīng)貿(mào)職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，山西 太原 030024)

一類高階非線性差分方程正平衡解的穩(wěn)定性及二周期解的存在性

賈小建

(山西經(jīng)貿(mào)職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，山西 太原 030024)

研究了一類高階非線性差分方程的正平衡解的漸近穩(wěn)定性，并對(duì)其二周期解的存在性進(jìn)行了探討。

差分方程；漸近穩(wěn)定性；正平衡解；素二周期解

下面，筆者主要研究一類高階非線性有理差分方程：

(1)

的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及二周期解的存在性。其中，α,γ,A,B,C∈(0,∞)，k=0,1,…，初始條件x-k,x-k+1,…,x-1,x0是非負(fù)實(shí)數(shù)。

1 基本概念和引理

考慮k+1階差分方程：

xn+1=f(xn,xn-k)n=0,1,2,…

(2)

式中，k≥1為自然數(shù)，函數(shù)f(u,v)關(guān)于每一個(gè)變量都有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。

引理1[6](線性化穩(wěn)定性) 考慮差分方程：

yn+1=f(yn,yn-k)n=0,1,2,…

(3)

式中，參數(shù)p,q和初始條件y-k,y-k+1,…,y-1,y0都是正實(shí)數(shù)，且k=1,2,3,…。

引理2[4]設(shè)p,q∈R,k∈{0,1,2,…}，則|P|+|Q|<1是差分方程：

xn + 1-Pxn-Qxn -k= 0n=0,1,2,…

(4)

漸近穩(wěn)定的充分條件。

假設(shè)下面2條件之一成立：(a)k是奇數(shù)，且Q<0；(b)k是偶數(shù)，且PQ<0；那么|P|+|Q|<1也是方程(4)漸近穩(wěn)定的充分必要條件。

2 局部穩(wěn)定性和素二周期解

(5)

xn+1-Pxn-Qxn-k=0

根據(jù)引理2，可得下面的結(jié)論成立。

引理3[2](a)只要當(dāng)q>1且(r-1)(q-1)2+4pr2<0時(shí)，方程(5)有一素二周期解；(b)當(dāng)且僅當(dāng)q>1且(r-1)(q-1)2+4pr2<0時(shí)，這個(gè)二周期解是唯一的，并且它是局部漸近穩(wěn)定的。

證明令…,φ,φ,φ,φ,…是方程(1)的一個(gè)素二周期解，分2種情況討論：

1)當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，yn+1=yn-k≠yn有:

從而:

(φ-φ)+r(φ2-φ2)=q(φ-φ)

即:

其中:

[1]Hu Lin-xia.Global asymptotical stability of a second order rational difference equation[J].Computers and Mathematica with Applications,2007,54:1260-1266.

[4] Li Wan-tong.Global asymptotic stability of a second order nonlinear difference equation[J].Applied Mathematics and Computaion，2005,168:981-989.

[5]Huang Y S, Knopf P M.boundedness of positive solution of second order rational difference equations[J].J Difference Equ Appl,2004,10:208-212.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.11.003

O175 7

A

16731409(2012)11N00703