結合擴展LoB濾波的距離保持水平集方法

秦 進，付茂臣，任澤民

（1.遵義師范學院數學系，貴州 遵義563002；2.重慶大學數學與統計學院，重慶 400030）

圖像分割是低層圖像處理的基本問題之一，目的是把目標從圖像背景中分離出來。目前，已提出很多圖像分割的方法，基于水平集的幾何活動輪廓模型能較好地解決圖像中拓撲結構改變的分割問題而被廣泛應用[1-3]?；舅枷隱3-5]是：把演化曲線（活動輪廓）隱含地表示為一個高一維函數（水平集函數）的零水平集，水平集函數在一個偏微分方程（組）的控制下進行演化，直到零水平集演化到圖像的目標邊緣為止。

幾何活動輪廓模型通?？煞譃檫吘壞Ｐ秃蛥^域模型兩大類。它們在圖像分割應用中各有千秋，分割效果的優劣取決于圖像所具有的特征。本文討論邊緣模型。

邊緣模型[1-5]主要依賴邊緣停止函數使演化曲線停止在目標邊界上，距離保持水平集方法[6]就屬于這種模型。該方法引入內能量泛函來糾正水平集函數與符號距離函數的偏差，因此無需在演化過程中再周期性初始化水平集函數。同時，該方法可采用簡單的有限差分法和較大的時間步長求解相應的偏微分方程，大大提高了水平集演化的速度。然而，這種方法仍然存在明顯的缺點：（1）模型以圖像的一階微分（梯度模）平滑度量為基礎，不能適應仿射變換，可能會直接影響模型的實際應用；（2）初始嵌入函數與被分割圖像無關，當初始輪廓與目標邊緣較遠時，其位置將直接影響分割時間；（3）能量泛函的權系數不能根據圖像信息自適應調整符號和大小，因此零水平

考察區域內數據之和最小，則白色橢圓必須“演變”成楓葉的形狀，使考察區域的邊緣“停止”在區域交界的二階微分過“零點”處。這樣可利用圖像灰度值二階微分在“零點”附近，正負符號相反的效應，構造新的能量控制泛函。

順便指出，由于 B（x，y）=B（x）×B（y）的乘積可分的性質，故可利用 B（x）和 B（y）兩個一維濾波器，分別在水平和垂直方向獨立卷積，來降低算法時間復雜度；另一方面，從式（6）也得到，二維算子 B（x，y）具有保持仿射變換的性質。

2.2 結合擴展LoB濾波的距離保持水平集演化

從2.1可知，改進LoB邊緣檢測算子可以區分圖像邊緣區域和非邊緣區域，將圖像二階微分度量Le（g）作為嵌入函數的權值，求其加權面積，將得到一個代替式（1）等號右側的第三項新的能量泛函

其中，φ是嵌入函數。

利用梯度下降法極小化被式（7）替換后的式（1）這個泛函，得到新的控制水平集演化的偏微分方程

3 數值實現

在數值實現（8）時，Dirac函數 δ（x）采用了式（5）定義的正則化Dirac函數。本文實驗選取ε=1.5。

假設Ω0是圖像區域Ω的一子集，?Ω0是Ω0的所有邊界點的集合，初始水平集函數φ0可以如下定義

式中，ρ＞0為常數，一般取值為ρ≥2ε，由于二階微分度量Le（g）的邊緣特征比較明顯，故初始嵌入函數的選擇可以很平坦，如ρ=1。

對于式（8）的第一項，拉普拉斯算子△φ的離散，可采用簡單的4鄰點差分格式，即

而散度部分用中心差分法近似代替φx，φy為

進一步單位化

故

對于新的項新增加的速度保持項目是常數，直接使用圖像的空間離散化，即

式（8）涉及第二項可采用具有二階精度的中心差分格式實現。采用“半點離散化”方案。

由于

上式中的每一項，可以用φ和g在整點的值近似表達。先離散化上式第一項有

所以

其他幾項處理方式類似，得到

采用迎風方案，得到公式（8）的顯式方案

其中，

4 實驗結果

本文方法對有尖角、狹窄邊界的目標分割效果較好，可按照人們的需求得到分割目標的內外輪廓，同時較原模型演化速度提高了近10倍。

在所有實驗中，對于兩個模型共有的參數（λ、ν、μ等），取值與文獻[9]一致。核函數參數σ與原文一致，按照n=σ2/pq的關系確定二項式濾波的參數。

實驗平臺是操作系統為Windows XP的PC（3.00GHz CPU/256MB內存）,程序用MATLAB 7.1編寫。

在圖2中給出了本文方法和文獻[10]的分割對比結果。大量試驗證明：本文方法提高了近10倍的演化速度。而在細節捕獲方面，本文方法分割的目標邊緣精確度要高于文獻[10]。

圖2（1）給出了一幅帶有尖角特征的楓葉（128×128）圖像分割結果。本文方法，迭代20次（如圖2（a））后就較好的分割出目標，特別是對楓葉的葉尖角細節捕獲較好；而文獻[10]方法迭代300次只可以粗略找到目標邊界（如圖 2（b））。

圖2（2）是一幅典型的帶有深陷特征、狹窄縫隙的（128×128）圖像。經過25次迭代本文方法就達到穩定狀態，精確捕獲到目標的邊緣（如圖2（c））；而文獻[10]經過300次迭代卻只是大致分割出目標的外邊緣，而在具有較深凹陷的區域分割也不理想（如圖2（d））。

圖2 本文與文獻分割結果與演化次數

有些條件下，人們可能對目標輪廓的需求不同。適當調節本文方法加權面積的系數，就得到目標內外邊緣。圖3是83×65細胞圖像的分割結果，當ν=2．7 時，細胞的內外輪廓均被檢測到（如圖 3（a））；當ν=0．9 時，得到的僅僅是細胞的外輪廓（如圖 3（b）），而文獻[10]方法無論系如何選取只能得到細胞圖像的外輪廓（如圖 3（c））。

圖3 兩種方法的細胞圖像分割結果與演化次數

5 結論

本文提出的擴展LOB濾波的距離保持水平集方法很好地克服了原方法的上述缺點。實驗表明，這種改進在快速、精確定位更豐富的目標邊緣，分割目標內、外輪廓特征方面效果明顯。

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