協方差函數的選擇對GPS高程擬合精度的影響*

李成仁 岳東杰 金保平

(河海大學測繪科學與工程系，南京 210098)

協方差函數的選擇對GPS高程擬合精度的影響*

李成仁 岳東杰 金保平

(河海大學測繪科學與工程系，南京 210098)

闡述最小二乘配置的原理，給出先驗方差協方差估計方法，通過實例分析了采用最小二乘配置法的有效性，比較了不同協方差函數對擬合精度的影響及擬合點的分布對協方差函數、擬合結果的影響。

模型誤差;最小二乘配置;協方差函數;GPS高程擬合;擬合精度

1 引言

在工程測量領域，最常用的高程異常擬合方法是數學曲面擬合法，然而常規方法只是擬合出與高程異常相近似的趨勢面來代替擬合區域的似大地水準面，并沒有顧及到似大地水準面的物理性質。實際上，由于地殼的不均衡和地形起伏的影響，似大地水準面是一個非常復雜且不規則的曲面，任何擬合方法總與之有一定的差異。這種差異可以解釋為由于擬合模型的不準確造成，因此不同點的高程異常擬合誤差實際上包含兩部分:測量誤差和選取的模型與實際似大地水準面的差異。顯然，常規的最小二乘擬合將兩部分綜合作為測量誤差來處理是不嚴密的，擬合結果必然受到影響。因此在數據處理過程中必須顧及這種差異的影響，這正是最小二乘配置法(LSC)［1］的思想，該法將這種選取的模型與實際似大地水準面的差異看作是隨機函數，即所謂的信號來對待，在估計非隨機的趨勢部分的同時，也估計這種模型差異的隨機部分，從理論上講可以取得較好的效果。然而在實際采用最小二乘配置法時，其成功的關鍵是合理確定信號的方差協方差陣。協方差函數的嚴密表達式難以準確獲取，實際中通常根據觀測或實驗(即估計)得到的經驗協方差函數來近似表達，因此協方差函數的確定與選擇直接影響著估計值的精度?；诖?，本文重點研究協方差函數的選擇對GPS高程擬合結果的影響。

2 最小二乘配置的基本原理

最小二乘配置的函數模型一般表示為

其隨機模型是:X和X'的先驗期望:E(X)= μX，E(X')=μX';X和X'的先驗方差和協方差:var (X)=DX，var(X')=DX'，cov(X，X')=DXX';Δ的數學期望和方差:E(Δ)=0，var(Δ)=DΔ;Δ關于X和X'的協方差:cov(Δ，X)=DΔX，cov(Δ，X')=DΔX'，實際應用中噪聲Δ與X，X'是相互獨立的，即DΔX=0，DΔX'=0。

從而推得:

單位權中誤差

式中，ty為傾向參數Y的個數。

3 先驗方差協方差的估計

信號的方差協方差陣的基本思想為:預先選擇一個符合協方差函數條件的、形式比較簡單的函數作為協方差函數，根據觀測值采用擬合的方法求得所選協方差函數中的待定參數，然后通過擬合得到的協方差函數確定信號的方差協方差陣。

關于協方差函數，國內外專家學者進行了一系列研究［2-5］。目前常用的協方差函數有［6］:

1)高斯(Gauss)函數

2)希爾伏寧(Hirvonen)函數

3)似高斯(Gauss)函數

上面各式中C(0)表示距離為零時信號間的協方差，其實質就是信號的方差，即為協方差矩陣中的對角線元素，k為待定參數，d為兩點間的距離。其中C的先驗值的計算采用

式中:nd為相距為d的對點數;i、j為對點的點號，C是任意兩個相距為d的數據點之間的先驗協方差;［］表示求和;si為異常位的信號值。一般來講，嚴格等于所選距離d的對點幾乎沒有。這里可以把d選為整千米數，即d=1，2，3，…，把距離d滿足其0.5千米范圍內的所有對點均認為滿足點距為d的對點，這樣，所有的數據點都參與了初始協方差的計算，并且沒有任何一對點被重復計算。在實際確定協方差函數時，數據點之間的距離d的大小應進行適當的選定，當數據變化較平緩時，距離d可以大一些，如果數據變化較快，應當縮小間距。

由于高斯函數和希爾伏寧函數以距離的平方為變量，其函數值隨距離的增大而迅速減小;根據相關系數公式［7］

可見這兩個函數所表現出的數據點之間的相關性隨距離的增大而迅速減弱，而似高斯函數以距離為變量，函數值的變化相對就比較緩和。因此當經驗協方差函數與實際的逼近場比較符合時，它就能較好地反映各數據點之間的相關性。

4 算例分析

為了分析協方差函數的選擇對最小二乘配置的影響，選取某地航測GPS控制網測量數據進行GPS高程擬合計算［8］。共收集該測區內112個GPS、水準重合點，GPS采用E級施測，水準采用四等水準測量施測。根據GPS大地高、四等水準計算出的高程異常繪制該區域的高程異常等值線圖如圖1所示。從圖1可以看出，該區域高程異常分布比較平緩，故采用平面擬合模型。

圖1 高程異常等值線Fig.1 Isolines of height anomaly

4.1 不同協方差函數對擬合結果的影響

為了能夠檢核擬合的效果，選取均勻分布的87個點作為擬合點，其余25個點作為檢核點進行整體擬合。

首先采用普通最小二乘(LS)進行高程擬合，對得到的殘差按0.01 m間隔統計各間隔出現的點數，對應的直方圖見圖2。

圖2 擬合點殘差分布Fig.2 Distribution of fitting points errors

由圖2可以發現，普通最小二乘的擬合殘差不符合正態分布，說明擬合殘差中不僅包含各種偶然誤差，還包含由于擬合模型不準確造成的模型誤差。

使用普通最小二乘擬合剔除趨勢項后，再根據式(11)計算不同間隔d的協方差C(d)。選取式(8)、(9)、(10)3種不同的經驗協方差函數擬合，求得的待定系數見表1。

根據擬合得到的協方差函數，計算擬合點信號協方差陣 DX，擬合點與檢核點的方差協方差陣DX'X。利用最小二乘配置理論重新計算傾向參數和信號的估值S和S'。根據擬合方程計算擬合點的高程異常，并與理論的高程異常比較，得到的擬合點和檢核點的擬合殘差見圖3和圖4。

表1 各經驗協方差函數的待定系數Tab.1 Undetermined coefficients of experient covariance function

其中信號方差C(0)=28.364×10-5m2。

圖3 擬合點擬合殘差Fig.3 Fitting errors of fitting points

圖4 檢核點擬合殘差Fig.4 Fitting errors of check points

同樣地，對得到的殘差按0.01 m間隔統計各間隔出現的點數，對應的直方圖見圖2。

內符合精度根據式(7)計算，外符合精度根據檢核點的擬合殘差按

計算。式中v為擬合殘差，n為檢核點的個數。表2列出了幾種不同平差方法的內、外符合精度。

表2 內、外符合精度比較表(單位：m)Tab.2 Comparison of inner and outer accuracies(unit：m)

從計算結果可以看出:

1)即使該測區地勢較為平坦，但運用普通的平面擬合模型仍會含有較大模型誤差。由圖2可以看出，運用最小二乘配置法處理后，模型誤差得到有效控制，擬合精度大幅提高。

2)以高斯(Gauss)函數作為協方差函數，內符合精度較低，這主要是因為高斯函數以距離的平方為變量，反映在圖像上，曲線變化較陡，不符合該地區高程異常的變形特點。

3)以希爾伏寧(Hirvonen)函數作為協方差函數時，雖然外部符合精度較高，但對個別點，推估值與己知值之差有時會出現較大的波動，不太穩定;但以似高斯函數作為協方差函數，其外部符合精度較高，較差也十分穩定。

4)一般地，以似高斯函數作為協方差函數，不管是內符合精度還是外符合精度，都可以得到較滿意的結果。

4.2 擬合點的分布對協方差函數及擬合結果的影響

為了分析擬合點的分布對協方差函數擬合的影響，作者根據點的分布分幾種情況選取其中50個非均勻分布的點作為擬合點，以似高斯函數為協方差函數進行擬合試算，并與采用87個均勻分布點的結果進行比較，結果相似。表3列出了其中一種情況的擬合結果。

表3 協方差函數的待定系數及高程擬合精度(單位：m)Tab.3 Undetermined coefficients of covariance function and the fitting accuracy(unit：m)

可見，擬合點的分布對協方差函數的擬合有一定的影響，從而也影響最小二乘配置的擬合精度。從本算例來看，盡管協方差函數有所差別，但對最終結果的影響并不是很大，這說明協方差函數的擬合對擬合點分布的均勻性要求不是那么敏感，因此在實際選取協方差函數擬合點時，可以稍放寬要求。

5 結論

由于常規最小二乘擬合法不嚴密地將模型誤差歸入觀測誤差進行處理，致使擬合后的殘差仍含有較大模型誤差。通過采用最小二乘配置法，將模型誤差作為具有先驗性質的信號處理，可以有效控制模型誤差對結果的影響［9］。協方差函數的確定直接影響最小二乘配置的結果。針對GPS高程擬合問題，通過比較分析不同協方差函數的計算結果得出:不同協方差函數對最小二乘配置法解算結果影響較大，在實際應用時，應結合實際情況選擇合適的協方差函數。在地勢較為平坦地區，以似高斯函數作為協方差函數時，不管是內符合精度還是外符合精度，都可以得到較滿意的結果。

1 沙月進.最小二乘配置法在GPS高程擬合中的應用［J］.測繪信息與工程，2000，(3):3-5.(Sha Yuejin.Application of the least square collocation in GPS height fitting［J］.Journal of Geomatics，2000，(3):3-5)

2 Moritz H.Least-squares collocation［J］.Reviews of Geophysies and Space Physics，1975，16:421-430.

3 Tseherning.Covariance expressions for second and lower order derivatives of the anomalous potential［R］.Dep of Geod Sci.，Ohio state University Columbus，1976.

4 周江文，王躍進.抗差擬合推估［A］.抗差估計論文集［C］.北京:測繪出版社，1992，69-75.(Zhou Jiangwen and Wang Yuejin.Robust fitting estimation［A］.Proceedings of Robust Estimation［C］.Beijing:Surveying and Mapping Press，1992，69-75)

5 楊元喜，等.四維整體大地測量的解算及其協方差函數的確定［J］.軍測科技，1990，(4):3-7.(Yang Yuanxi，et al.Procedure of four dimensional integrated geodesy and determination method of covariance function［J］.Technology of Military Surveying and Mapping，1990，(4):3-7)

6 張勤，張菊清，岳東杰.近代測量數據處理與應用［M］.北京:測繪出版社，2011.(Zhang Qin，Zhang Juqing and Yue Dongjie.Modern measured data processing and application［M］.Beijing:Surveying and Mapping Press，2011)

7 劉念.擬合推估的質量理論［D］.解放軍信息工程大學，2003.(Liu Nian.Quality theory of collocation［D］.The PLA Information Engineering University，2003)

8 李文林.GPS技術在航空攝影地面控制測量中應用研究［D］.河海大學，2008.(Li Wenlin.Application of GPS techniques in ground control survey of aerial photogrammetry［D］.Hohai University，2008)

9 姚道榮，等.最小二乘配置與普通Kriging法的比較［J］.大地測量與地球動力學，2008，(3):77-82.(Yao Daorong，et al.Comparison between least squares collocation and ordinary Kriging［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2008，(3):77-82)

STUDY ON EFFECT OF CHOICE OF COVARIANCE FUNCTION ON GPS HEIGHT FITTING ACCURACY

Li Chengren，Yue Dongjie and Jin Baoping
(Department of Surveying and Mapping Science and Engineering，Hohai University，Nanjing 210098)

The key of least square collocation method is to determine the covariance function of experience reasonably.On the basis of necessity of least square collocation in GPS height fitting，the principle of least square collocation is expounded，a priori variance-covariance estimation method is given，the effectiveness of least square collocation is analyzed by an example，the different covariance functions affecting fitting accuracy and the distribution of fitting points affecting covariance function and fitting accuracy are compared.Finally，the applicable conditions of some commonly used covariance function is summarized，and some instructional views in applications are given.

model errors;least square collocation;covariance function;GPS height fitting;fitting accuracy

1671-5942(2012)02-0082-04

2011-10-11

國家自然科學基金(51079053)

李成仁，男，1989年生，碩士研究生，研究方向:大地測量與測量工程專業，測繪數據處理.E-mail:lichengren1989@126.com

P207

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