熵權可拓模型在膨脹土脹縮等級判別中的應用

高衛東，劉永建

(1.江蘇師范大學 測繪學院，江蘇徐州 221116;2.江蘇省地質測繪院，南京 210008)

1 研究背景

膨脹土又稱脹縮性土，是隨含水量增加而膨脹，隨含水量減少而收縮的黏性土。它與一般黏土性質不同，具有很強的脹縮特征，易使土體穩定性受到破壞，強度降低，導致工程建筑變形破壞。因此，膨脹土的判別和分類工作對建筑物設計、地基處理具有重要意義。

由于影響膨脹土脹縮的因素很多，為了準確地對膨脹土進行判別，必須選擇反映膨脹土基本特性的相關指標。多指標評判法是目前廣泛采用的一種方法，近年來，眾多學者在膨脹土多指標綜合判定方面做了大量的研究工作［1－3］。

可拓理論是20世紀80年代初由蔡文教授提出的，目前，已發展成為一門具有較成熟理論框架的學科——可拓學，在膨脹土脹縮等級判別中取得了一些成果［4－6］。膨脹土脹縮等級的判別實質上是分類標準的不相容問題，由于可拓理論可將矛盾問題轉化為相容問題［7－8］，因此，基于可拓理論評判膨脹土脹縮等級是一種比較理想的方法。

運用可拓理論進行膨脹土脹縮等級評價，指標權重的確定應避免主觀性。“熵權”理論是一種客觀賦權方法，熵是系統無序程度的度量，它可以度量數據所提供的有效信息量，某項指標攜帶和傳輸的信息越多，表示該指標對評價作用較其他攜帶和傳輸較少信息的指標要大。熵權法確定權重的優點在于盡可能地減少了主觀確定權重帶來的人為干擾。

因此，本文將物元可拓理論和熵權理論相結合，建立膨脹土脹縮等級多指標綜合評價的熵權可拓模型。實例研究表明:模型能客觀地反映膨脹土的膨脹狀況，從而為膨脹土判別與分類研究提供了一條較為實用的途徑。

2 研究方法

2.1 物元模型

可拓評價［7－8］首先要建立評價指標體系，在對指標進行預處理以后，運用物元理論確定待評價物的物元三元體R=(N，c，v)，其中N為事物的名稱，c為特征的名稱域，v為量值，這三者稱為物元的三要素。如果事物N有n個特征，那么每個特征分別以c1，c2，c2，…，cn表示，并且每個特征相對應的量值為v1，v2，v3，…，vn，可表示為這時，稱R為n維物元，簡記為R=(N，C，V)。

2.2 經典域物元矩陣和節域物元矩陣

經典域的物元矩陣為

其中N0為標準事物，特征Ci的量值范圍為V0i=＜ a0i，b0i＞ ，c1，c2，c3，…cn為標準事物的特征 Ci。

由標準事物N0加上可轉化為標準事物所組成的物元稱為節域物元。Vpi=＜api，bpi＞為節域物元關于特征Ci的相應標準擴大了的量值范圍。節域物元矩陣表示為

2.3 關聯函數的計算

關聯函數表示物元的量值取值為實軸上一點時，物元符合要求的范圍程度。由于可拓集合的關聯函數可用代數式來表達，就使得解決不相容問題能夠定量化。有界區間X=［a，b］的模定義為

某一點X0到有界區間X=［a，b］的距離為

第i項指標關于第j級的關聯函數kj(xi)的定義為

式中:ρ(X0，X)表示點X0與有限區間 X=［a，b］的距離;ρ(X0，Xp)則表示點X0與有限區間 Xp=［ap，bp］的距離;X，X0，Xp分別表示為經典物元的量值范圍、待評物元的量值和節域物元的量值范圍。

2.4 熵權法確定權系數

“熵權”理論［9］是通過構建判斷矩陣來確定指標權重，以消除各指標權重計算的人為干擾，使評價結果更符合實際，其計算步驟如下:

(1)假定被評價膨脹土脹縮性分為y級，每級被評價巖體的評價指標有n個，構建判斷矩陣R，該判斷矩陣由式(6)所確定的關聯函數kj(xi)形成，記為

(2)將判斷矩陣R進行歸一化，得到歸一化矩陣。

(3)根據傳統的熵概念可定義各評價指標的熵:

但由式(8)知，如果fij=0，則ln fij無意義，所以對傳統的fij進行修正，

(4)計算各評價指標的熵權

2.5 確定膨脹土級別關聯度和等級

待評膨脹土物元N關于級別j的關聯度為:

根據(12)式可確定待評膨脹土的脹縮等級為第j0級。

3 判別實例

3.1 評判指標的選取及數據來源

目前，國內外提出可作為判別膨脹土的指標很多，其中有的已納入國家或部門標準，但至今仍存在分岐。

國內外11種膨脹土判別與分類方法的評判指標綜合統計分析［10］，表明選取自由膨脹率δzs(c1)、膨脹總率 δxs(c2)、液限 wL(c3)、塑性指數Ip(c4)、＜0.005mm黏粒含量(c5)這5個評價指標作為膨脹土脹縮等級的評判因子的次數最多，并將膨脹土脹縮等級分為3級:強膨脹土、中膨脹土、弱膨脹土。在參考塑性圖分類法、《膨脹土地區建筑技術規范(GBJ112—87)》、《公路路基設計規范(JTJ013—95)》的基礎上確定各判別指標界限值，考慮到自由膨脹率指標存在無最大值的情況下，有必要限定一個量值，形成膨脹土脹縮等級的判別標準，見表1。

表1 膨脹土脹縮等級判別標準Table 1 Classification standard for the swell-shrink grades of expansive soil

選取文獻［11］中從襄荊高速公路沿線取回的部分土樣作為判別對象，試驗數據見表2。

表2 部分膨脹土試驗成果Table 2 Lab parameters of some samples

3.2 膨脹土脹縮等級可拓學評價的經典域和節域

根據式(2)、式(3)及表1膨脹土脹縮等級的判別標準，構造膨脹土脹縮等級可拓綜合評價模型的經典域R0及節域Rp如下:

3.3 確定膨脹土待評物元

根據表2數據確定膨脹土的待評物元RX1，RX2。

3.4 評價指標關于脹縮等級的關聯度計算

按照公式(4)—(6)，計算膨脹土土樣1#，2#各指標關于3個脹縮等級的關聯度，見表3、表4。

3.5 熵權法確定評價指標的權系數

根據熵權法確定權系數的計算方法，計算土樣1#，2#各指標的權系數，見表 5。

3.6 膨脹土脹縮等級的評判

通過第3.4節計算各指標對脹縮等級的關聯度和第3.5節計算的熵權，按式(11)計算待評膨脹土關于各脹縮等級的關聯度，計算結果見表6。

表3 土樣1#各指標對各脹縮等級的關聯度Table 3 Relational degree of the evaluation indexes vs.the swell-shrink grades of sample 1

表4 土樣2各指標對各脹縮等級的關聯度Table 4 Relational degree of the evaluation indexes vs.the swell-shrink grades of sample 2

表5 評價指標熵權值Table 5 Entropy weights of the evaluation indexes

表6 待評膨脹土關聯度計算結果Table 6 Calculation results of the relational degree of expansive soil samples

通過表6，按式(12)確定土樣1#，2#的脹縮等級分別為弱、中級。熵權可拓評價模型的評判結果與文獻［11］中采用模糊綜合法一致。

4 結論

(1)選取5個指標:自由膨脹率、脹縮總率、液限、塑性指數、＜0.005mm黏粒含量作為膨脹土脹縮等級判別因子;采用物元可拓評判方法對襄荊高速公路部分膨脹土部分土樣進行脹縮等級評判。物元模型將各個評價指標轉化為一種相容的問題，特別是把實變函數中距離的概念拓展為距的概念，使得關聯函數值域范圍得到了拓展，把評價指標由單一的確定值轉變為區間值，從而能更全面地評判膨脹土脹縮等級。

(2)通過信息熵反映樣本數據本身的效用值來確定權重，使得權重的分配有了一定的理論依據，其優點在于盡可能地減少確定權重的主觀性。

(3)應用結果表明，熵權可拓評價模型理論上較為嚴謹，對膨脹土脹縮等級的判別客觀合理，且原理簡單、計算方便，值得在工程實踐中推廣。

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