梯形明渠共軛水深計算方法

李 蕊，王正中，張寬地，王志剛

(1.楊凌職業技術學院公共課教學部，陜西楊凌 712100;2.西北農林科技大學水利與建筑工程學院，陜西楊凌 712100)

1 研究背景

在水工建筑物的下游消能計算中，常常遇到梯形明渠共軛水深的計算，其計算方程式是一個高次方程，沒有直接的解析解。因此工程上常采用試算法或圖解法來完成求解工作。試算法在計算上較為麻煩，在查曲線時也容易產生一定的誤差，影響精度。圖解法是利用已經制好的圖表求解，計算比較快捷，但精度欠佳。為此，國內外學者對梯形明渠共軛水深的計算方法進行了多年研究，并取得了大量成果，但目前存在的主要問題仍然是計算精度不高，適用范圍受限，或計算式過于復雜。

梯形明渠水躍共軛水深的計算在水工消能設計中具有重要的意義。本文通過對水躍方程進行數學變換，應用迭代理論及一元二、三次方程提出了梯形明渠共軛水深的直接計算公式。該公式使用方便簡捷，且精度完全符合工程計算要求，從而克服了查圖表法精度低、試算法盲目性大且繁瑣等缺點。

2 梯形明渠共軛水深的基本方程

共軛水深是指:躍前水深h1和躍后水深h2。水流由急流過渡到緩流，會產生一種水面突然躍起的特殊的局部水力現象，稱為水躍。如圖1所示。

圖1 水躍Fig.1 Hydraulic jump

梯形明渠水躍的基本方程為［1－2］

式中:Q為渠道的流量;A1，A2分別為水躍前、水躍后斷面的過水斷面面積;hc1，hc2分別為水躍前、水躍后斷面形心距水面的距離;g為重力加速度。

當明渠斷面的形狀、尺寸以及渠中的流量一定時，水躍方程的左右兩邊都僅是水深的函數，即

因此，水躍方程也可以寫成如下的形式，

對于梯形斷面各水力要素:

形心距水面的距離

其中:b為梯形明渠斷面底寬;h為梯形明渠水深;m為邊坡系數。

將以上各式代入式(1)，得

其中:q為梯形明渠虛擬單寬流量;k為梯形明渠虛擬單寬流量時水流的動量。

3 水躍共軛水深的迭代公式

(1)躍前水深的迭代公式由(5)式可得

故躍前水深的迭代公式為

(2)躍后水深的迭代公式由(5)式可得

故躍后水深的迭代公式為

4 迭代公式收斂性分析

根據參考文獻［4］第155頁迭代法收斂定理知，若方程x=?(x)的根為a，則迭代形式xk+1=?(xk)收斂于a的條件是:①在a的某一鄰域|x－a|＜δ內|?'(x)|＜1;②當x∈［x1，x2］時，?(x)∈［x1，x2］。則以該鄰域內任意點為初值的迭代都是收斂于a的。因此，只要能證明以上迭代函數的導數的絕對值小于1，則可以證明該迭代函數是收斂的。

故|?'(y)|＜1，所以迭代公式都是收斂的。

5 迭代公式初值的選取

迭代計算的精度及收斂速度，不僅與迭代格式有關，而且與迭代初值選取有關，只有合理的迭代初值與合理的迭代格式配套使用才能提高計算效率和精度。

由共軛水深的水流特點，可得到水躍方程的近似公式為

5.1 躍后水深的初值y0

當Δ＞0時，方程(13)的一個正實根［5］為

故可得到躍后水深的初值為

當Δ＜0時，方程(13)的一個正實根為

故可得到躍后水深的初值為

5.2 躍前水深的初值x0

若已知躍后水深y，則可求出y2(3+2ny)，并令k2=y2(3+2ny)，代入式(11)中得

上式為一元二次方程，故可得到躍前水深的初值為

6 水躍共軛水深的直接計算公式及精度評價

確定了恰當的迭代初值后，就可以利用迭代公式得到其直接計算公式，即

為了評價該直接計算公式的精確性，下面列出了在工程上常用范［0，3］內，共算出很多組x與y的值。因篇幅所限，本文僅列出部分數值組，見表1。

7 應用舉例

一水躍產生于一棱柱體梯形水平渠段中，已知:流量Q=6.0m3/s，邊坡系數m=1.0，b=2.0m，h1=0.4m。求躍后水深 h2。

(1)計算躍后水深的初值y0。

(2)迭代求解。

表1 共軛水深直接計算法精度評價表Table 1 Accuracy assessment of the calculated conjugate water depth in trapezoidal channel

(3)用馮家濤公式［6］、劉玲公式［7］和張小林公式［8］分別計算本例題，計算結果列于表2中。

表2 不同計算方法誤差比較表Table 2 Comparison of calculated results and relative errors of different methods

利用參考文獻［1］中提供的公式計算出的無量綱躍后水深與劉玲公式一樣，也為0.714 1，相對誤差為0.29%。

8 結語

梯形明渠共軛水深的計算問題其實質是求解2個高次方程，顯然沒有直接的解析解。基于此，本文利用傳統的迭代法，首先通過求解一元二、三次方程得到共軛水深的初值近似公式;然后以此為初值，用迭代公式進行一次迭代得到梯形明渠共軛水深的直接計算公式。應用直接計算公式來計算梯形明渠水躍的共軛水深，不但公式形式簡捷、直觀，計算方便，且精度完全符合工程計算要求，值得工程技術人員采用。

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