基于5階精度格式WCNS－E－5的p－multigrid方法研究

王新光， 毛枚良，， 鄧小剛， 涂國(guó)華

（1.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心，四川 綿陽(yáng)621000；2.空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽(yáng)621000）

0 引 言

高階精度差分算法同目前成熟的二階精度算法相比，普遍存在收斂速度慢等問題，成為高精度算法推廣應(yīng)用的瓶頸之一。為了克服這一困難，參照多重網(wǎng)格算法的思想，提出了一種所謂的p－multigrid方法。眾所周知，多重網(wǎng)格方法（multigrid）的實(shí)質(zhì)是為了快速獲得精細(xì)網(wǎng)格上的計(jì)算結(jié)果，在迭代過程中，引入與精細(xì)網(wǎng)格存在特定關(guān)系的粗網(wǎng)格上的計(jì)算過程技術(shù)。類似地，p－multigrid方法的實(shí)質(zhì)是為了穩(wěn)定快速地得到高精度算法的計(jì)算結(jié)果，在迭代過程中，引入低階精度算法的計(jì)算過程技術(shù)。

p－multigrid方法是由R?nquist等首先提出的。隨后在間斷有限元中得到了廣泛的應(yīng)用，Maday等［1］分析了p－multigrid方法用于拉普拉斯方程的穩(wěn)定性，Bassi和 Rebay［2］率先將p－multigrid方法用于求解一維的歐拉方程。而Joseph等［3］建立了一套快速低存儲(chǔ)量的p－multigrid方法，并將其用于求解可壓縮歐拉方程。Krzysztof等［4］將p－multigrid方法和單元線光滑器（element line smoother）結(jié)合，建立了一個(gè)新的算法，并將其用于求解可壓縮的NS方程，結(jié)果表明這種方法可以明顯減小計(jì)算時(shí)間，加快收斂速度。以上這些都是p－multigrid方法在間斷有限元中的應(yīng)用。最近幾年，Kris Van Den Abeele等［5］將p－multigrid成功用于一維譜體積法（Spectral Volume Method）中，Aleksundar等［6］將其用于RPM（Recursive Projection Method）中，都可以減少計(jì)算時(shí)間加快收斂。以上這些都證明了p－multigrid方法在加速收斂等方面具有很大的潛力，但從檢索的文獻(xiàn)中還沒有發(fā)現(xiàn)p－multigrid算法用于有限差分中。

由于差分方法和間斷有限元方法的構(gòu)造思想不同：有限元方法是通過不同精度的基函數(shù)來達(dá)到不同的精度，各階導(dǎo)數(shù)是直接計(jì)算的，而有限差分方法中，并沒有這樣的基函數(shù)，而各階導(dǎo)數(shù)是由變量分布通過差商得到的?！?br>