群交叉積構造的一類新的Hopf群余代數

沈炳良， 劉 玲

(1.上海財經大學浙江學院 公共基礎教育部,浙江 金華 321013;2.浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

1001-5051(2012)04-0368-07

群交叉積構造的一類新的Hopf群余代數

沈炳良1， 劉 玲2

(1.上海財經大學浙江學院 公共基礎教育部,浙江 金華 321013;2.浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

探討了群交叉積C#πσH和群Smash余積C×πH構成半Hopf群余代數乃至Hopf群余代數的條件,這是著名的Radford雙積在Hopf群余代數系統中的實現.

(半)Hopf群余代數;群交叉積;群Smash余積;Radford雙積

0 引 言

1985年,Radford[1]證明了Smash積A#H和Smash余積A×H(其中A為一個左H-模代數,且為左H-余模余代數)構成Hopf代數的充要條件是:A為范疇HHYD中的一個Hopf代數.此定理被稱為Radford雙積定理.2010年,Andruskiewitsch等[2]通過此 Hopf代數對有點Hopf代數進行了分類.由此可見Radford雙積定理的重要性.對于Radford雙積已經有諸多形式的推廣,如擬Hopf代數的Radford雙積[3]、弱Hopf代數的Radford雙積[4]、乘子Hopf代數的Radford雙積[5]等等.

Hopf群余代數是由Turaev[6]引進的對Hopf代數的一種重要推廣,它是Turaev在進行拓撲量子場論的研究工作時發現的一種代數結構.Caenepeel等[7]給出了Hopf群余代數的另一種解釋,即它是某種特殊的對稱張量范疇(稱之為Turaev 范疇)上的Hopf代數.值得注意的是,由于Hopf群余代數的不對稱性必然會打破Hopf代數的自對偶性,因此,推廣時需要一定的處理技巧與復雜的計算,這也激發了人們對Hopf群余代數中的一些課題比較感興趣.關于Hopf群余代數的知識,可參考文獻[8-13]等.

本文主要討論Ranford雙積在Hopf群余代數中的情形,并由此構造出一類新的Hopf群余代數.

1 基本定義

本文中,k表示一個固定的域,所有的工作將在k上展開.總是假定π是一個有單位元1的抽象群,?和Hom分別表示為?k和Homk.如果U和V是2個k-向量空間,那么TU,V:U?V→V?U表示一個扭曲映射,定義為TU,V(u?v)=v?u,?u∈U,v∈V.對代數A和余代數C,有卷積代數Conv(C,A),定義在向量空間Hom(C,A)上,其乘法為

(f*g)(c)=mA(f?g)ΔC(c)=f(c1)g(c2).

其中:?f,g∈Hom(C,A);?c∈C.

定義1[6,8]π-余代數(群余代數)是一簇k-向量空間C={Cα}α∈π,同時帶有一簇k-線性映射Δ={Δα,β:Cαβ→Cα?Cβ}α,β∈π(稱為余乘)和k-線性映射ε:C1→k(稱為余單位),使得Δ在下列意義下是余結合的:

(Δα,β?idCγ)Δαβ,γ=(idCα?Δβ,γ)Δα,βγ,對任意α,β,γ∈π;

(idCα?ε)Δα,1=idCα=(ε?idCα)Δ1,α,對任意α∈π.

對余乘使用Sweedler記法[14],即Δα,β(c)=c(1,α)?c(2,β),?α,β∈π,c∈Cαβ.

定義2[6,8]Hopfπ-余代數(Hopf 群余代數)是一個帶有一簇k-線性映射S={Sα:Hα→Hα-1}α∈π(稱為反對極)的π-余代數H=({Hα},Δ,ε),使得:

1)每個Hα是帶有乘法mα和單位元1α∈Hα的代數;

2)ε:H1→k和Δα,β:Hαβ→Hα?Hβ都是代數同態,?α,β∈π;

3)對每個α∈π,mα(Sα-1?idHα)Δα-1,α=ε1α=mα(idHα?Sα-1)Δα,α-1.

若π-余代數H只滿足1)和2),則稱其為半Hopfπ-余代數(半Hopf群余代數).

注意(H1,m1,11,Δ1, 1,ε,S1)是一個Hopf代數.上述定義中的一套公理不是自對偶的.Hopf群余代數H的反對極S={Sα}α∈π被稱為是雙射,如果每一個Sα都是雙射.Hopfπ-余代數H的反對極S既是代數反同態,又是余代數反同態,即對任意α,β∈π,a,b∈Hα,

Sα(ab)=Sα(b)Sα(a),Sα(1α)=1α-1;

Δβ-1,α-1Sαβ=THα-1,Hβ-1(Sα?Sβ)Δα,β,εS1=ε.

定義3設H是(半)Hopfπ-余代數,A為k上的代數.稱H弱作用在A上,如果存在一簇線性映射5:Hα?A→A,h?a|→h5a,?α∈π,h∈Hα, 使得

1)1α5a=a,?a∈A,α∈π;

2)h5(ab)=(h(1, α)5a)(h(2,β)5b),?h∈Hαβ,a,b∈A;

3)h51A=ε(h)1A,?h∈H1.

進一步,如果對每個α∈π,A是Hα-模,且滿足條件2)和3),那么稱A為左π-H-模代數.

定義4設H是(半)Hopfπ-余代數,A為k上的代數,且H弱作用在A上,設σ:H1?H1→A為一k-線性映射,定義A?H={A?Hα}α∈π.對每個A?Hα,定義其乘法如下:

(a?h)(b?g)=a(h(1,1)5b)σ(h(2,1),g(1,1))?h(3,α)g(2,α).

如果每個A?Hα是帶有單位元1A?1α的結合代數,那么稱A?H為π-交叉積,記為A#πσH.

由文獻[15]得到A#πσH成為π-交叉積的一些充分必要條件.

命題1A#πσH是π-交叉積當且僅當

σ(11,h)=ε(h)1A=σ(h,11),?h∈H1,其中11是H1的單位;

(h(1,1)5(g(1,1)5a))σ(h(2,1),g(2,1))=σ(h(1,1),g(1,1))(h(2,1)g(2,1)5a);

σ(h(1,1),g(1,1))σ(h(2,1)g(2,1),k)=(h(1,1)5σ(g(1,1),k(1,1)))σ(h(2,1),g(2,1)k(2,1)).

2 Radford雙積H

本節將探討π-交叉積C#πσH和π-Smash余積C×πH構成半Hopfπ-余代數乃至Hopfπ-余代數的條件.

定義5[11,13]設C={Cα}α∈π是π-余代數,V是k-向量空間.左π-C-余模似對象是一個二元組V=(V,ρV={ρVα}),其中,對任意α∈π,ρVα:V→Cα?V是k-線性映射(余模似結構),記為ρVα(v)=v(-1,α)?v(0,0),使得以下條件滿足:

1)V是余可換的,即對任意α1,α2∈π,有

(idCα1?ρVα2)ρVα1=(Δα1,α2?idV)ρVα1α2,

也就是,v(-1,α1)?v(0,0)(-1,α2)?v(0,0)(0,0)=v(-1,α1α2)(1,α1)?v(-1,α1α2)(2,α2)?v(0,0)v(-2,α1)?v(-1,α2)?v(0,0),?v∈V,α1,α2∈π.

2)V是余單位的,即(ε?idV)ρV1=idV.

下面給出左群余模余代數的定義.

定義6設H是Hopfπ-余代數,且C為k上的余代數.稱C為左π-H-余模余代數,若以下條件成立:

1)C為左π-H-余模似對象;

2)c(-1,α)?c(0,0)1?c(0,0)2=c1(-1,α)c2(-1,α)?c1(0,0)?c2(0,0),?α∈π,c∈C;

3)c(-1,α)ε(c(0, 0))=ε(c)1α,?α∈π,c∈C.

設C是帶有余模似結構映射ρ={ρα:C→Hα?C}α∈π的左π-H-余模余代數.π-Smash余積C×πH={C×Hα}α∈π定義在一簇k-向量空間{C?Hα}α∈π上,其余乘由以下公式給出:

Δα,β(c×h)=c1×c2(-1,α)h(1,α)?c2(0, 0)×h(2,β),?c∈C,h∈Hαβ.

不難證明C×πH是π-余代數,其余單位是εC?εH1.

設H是半Hopfπ-余代數,(C,ΔC,εC)為左π-H-余模余代數,且(C,mC,μC)是代數,H弱作用在C上,σ:H1?H1→C是線性映射并且卷積可逆.設ρ={ρα:C→Hα?C}α∈π和5α:Hα?C→C分別為余模似和弱作用結構映射.定義C?H={C?Hα}α∈π作為向量空間.本節將著重給出使C?H成為半Hopfπ-余代數的充分必要條件.其中C?H的代數和π-余代數結構分別由π-交叉積C#πσH和π-Smash余積C×πH給出.如果(C?H,μC#πσH,mC#πσH,εC×πH,ΔC×πH)是半Hopfπ-余代數,那么稱三元組(H,C,σ)是相容的,并記為C×π#πσH.

定義7設C#πσH是π-交叉積.稱σ為扭曲余模余循環的,如果

c1?c2(0, 0)?c2(-1,α)h=c1σ(c2(-1,α)(1,1),h(1,1))?c2(0,0)?c2(-1,α)(2,α)h(1)

對所有c∈C,h∈Hα和α∈π成立.

本文總假設σ是扭曲余模余循環的.

引理1設C#πσH是帶有σ扭曲余模余循環的π-交叉積,且C×πH是π-Smash余積,則有

(c1?c2)ε(h)=c1σ(c2(-1,1),h)?c(2)

對所有c∈C,h∈H1成立.

現在給出使C?H成為半Hopfπ-余代數的充要條件,其結構已在上文給出.

定理1設H是半Hopfπ-余代數,C既是左π-H-余模余代數又是代數,且H弱作用在C上.設C#πσH是帶有扭曲余模余循環σ的π-交叉積,且C×πH為上文所定義的π-Smash余積,則以下結論是等價的:

1)C×π#πσH是半Hopfπ-余代數.

2)下列條件成立:

①σ(h,l)1?σ(h,l)2=σ(h(1,1),l(1,1))?σ(h(2,1),l(2,1)),ε(σ(h,g))=ε(h)ε(g);

②εC(h5c)=εC(c)εH1(h);

③εC是代數同態;

④Δ(ac)=a1(a2(-1,1)(1,1)5c1)σ(a2(-1,1)(2,1),c2(-1,1))?a2(0,0)c2(0,0);

⑤(h(1,1)5b)(-1,α)h(2,α)?(h(1,1)5b)(0,0)=h(1,α)b(-1,α)?h(2,1)5b(0,0);

⑥(h5a)1?(h5a)2=(h(1,1)5a1)σ(h(2,1),a2(-1,1))?h(3,1)5a2(0,0);

⑦h(1,α)l(1,α)?σ(h(2,1),l(2,1))=σ(h(1,1),l(1,1))(-1,α)h(2,α)l(2,α)?σ(h(1,1),l(1,1))(0,0);

⑧ΔC(1C)=1C?1C;

⑨ρα(ac)=ρα(a)ρα(c)且ρα(1C)=1α?1C.

證明 先證1)?2).假設C×π#πσH是半Hopfπ-余代數,那么余單位是代數同態,于是

ε((a?h)(b?g))=ε(a(h(1,1)5b)σ(h(2,1),g(1,1))?h(3,1)g(2,1))=

εC(a(h(1,1)5b)σ(h(2,1),g(1,1)))εH(h(3,1)g(2,1))=

ε(a?h)ε(b?g)=ε(a)ε(b)ε(h)ε(g),

?h,g∈H1.令h=g=11,得εC(ab)=εC(a)εC(b),即③成立.

取a=1C,g=11,可得ε(h5b)=ε(h)ε(b),即②成立.

另取a=b=1C,立得ε(σ(h,g))=ε(h)ε(g),得①后半部分成立.

其次,因為Δα,β也是代數同態,所以對任意a,b∈C和h,g∈Hαβ,有

Δα,β((a×h)(b×g))=

Δα,β(a(h(1,1)5b)σ(h(2,1),g(1,1))?h(3,αβ)g(2,αβ))=

[(a(h(1,1)5b)σ(h(2,1),g(1,1)))1×(a(h(1,1)5b)σ(h(2,1),g(1,1)))2(-1,α)h(3,α)g(2,α)]?

[(a(h(1,1)5b)σ(h(2,1),g(1,1)))2(0,0)×h(4,β)g(3,β)],

且

Δα,β(a×h)Δα,β(b×g)=

[(a1×a2(-1,α)h(1,α))?(a2(0, 0)×h(2,β))]?[(b1×b2(-1,α)g(1,α))?(b2(0,0)×g(2,β))]=

[a1(a2(-1,α)(1,1)h(1,1)5b1)σ(a2(-1,α)(2,1)h(2,1),b2(-1,α)(1,1)g(1,1))×

a2(-1,α)(3,α)h(3,α)b2(-1,α)(2,α)g(2,α)]?[a2(0,0)(h(4,1)5b2(0,0))σ(h(5,1),g(3,1))×h(6,β)g(4,β)].

如果令a=b=1C和h=g=1α,那么有ΔC(1C)=1C?1C和ρα(1C)=1α?1C.即⑧和⑨的后半部分成立.

若取a=b=1C和h,g∈Hα,則

σ(h(1,1),g(1,1))1?σ(h(1,1),g(1,1))2(-1,α)h(2,α)g(2,α)?σ(h(1,1),g(1,1))2(0,0)?h(3,1)g(3,1)=

σ(h(1,1),g(1,1))?h(2,α)g(2,α)?σ(h(3,1),g(3,1))?h(4,1)g(4,1).

(3)

式(3)兩邊同時作用ε?id?id?ε,可得

h(1,α)g(1,α)?σ(h(2,1),g(2,1))=σ(h(1,1),g(1,1))(-1,α)h(2,α)g(2,α)?σ(h(1,1),g(1,1))(0,0),

即⑦成立.

若取h,g∈H1,且式(3)兩邊同時作用id?ε?id?ε,則

σ(h,g)1?σ(h,g)2=σ(h(1,1),g(1,1))?σ(h(2,1),g(2,1)),

即①的前半部分成立.

因為Δα,β(a×h)Δα,β(b×g)=Δα,β((a×h)(b×g)),令a=1C,g=1α且h∈Hα,所以

(h(1,1)5b)1?(h(1,1)5b)2(-1,α)h(2,α)?(h(1,1)5b)2(0,0)?h(3,1)=

(h(1,1)5b1)σ(h(2,1),b2(-1,α)(1,1))?h(3,α)b2(-1,α)(2,α)?h(4,1)5b2(0,0)?h(5,1).

(4)

式(4)兩邊同時作用εC?id?id?ε,可得

(h(1,1)5b)(-1,α)h(2,α)?(h(1,1)5b)(0,0)=h(1,α)b(-1,α)?h(2,1)5b(0,0),

即⑤成立.

若取h∈H1,且在式(4)兩邊同時作用id?ε?id?ε,即得⑥成立.

若令h=g=1α,又因為Δα,β是代數映射,于是

(ab)1?(ab)2(-1,α)?(ab)2(0,0)=

a1(a2(-1,α)(1,1)5b1)σ(a2(-1,α)(2,1),b2(-1,α)(1,1))?a2(-1,α)(3,α)b2(-1,α)(2,α)?a2(0,0)b2(0,0).

(5)

式(5)兩邊同時作用εC?id?id,得(ab)(-1,α)?(ab)(0,0)=a(-1,α)b(-1,α)?a(0,0)b(0,0).也就是ρα(ab)=ρα(a)ρα(b),從而⑨的前半部分也成立.

取g=h=11,并在式(5)兩邊同時作用id?ε?id,可以證明④成立.

再證 2)?1).假設2)成立,那么由2)中的①,②和③有

ε((a?h)(b?g))=ε(a?h)ε(b?g),?h,g∈H1,a,b∈C.

由⑧和⑨得,Δα,β(1C?1αβ)=1C?1α?1C?1β.

為了證明Δα,β((a?h)(b?g))=Δα,β(a?h)Δα,β(b?g),只需證明對每個a,b∈C和h,g∈Hαβ,有

事實上,

Δα,β((a?1)(b?g))=Δα,β(ab?g)=

Δα,β((ab?1)(1?g))=Δα,β(ab?1)Δα,β(1?g)=

Δα,β(a?1)Δα,β(b?1)Δα,β(1?g)=Δα,β(a?1)Δα,β(b?g);

Δα,β((a?h)(1?g))=Δα,β((a?1)(1?h)(1?g))=

Δα,β(a?1)Δα,β((1?h)(1?g))=

Δα,β(a?1)Δα,β(1?h)Δα,β(1?g)=

Δα,β((a?1)(1?h))Δα,β(1?g)=

Δα,β(a?h)Δα,β(1?g);

Δα,β((a?h)(b?g))=Δα,β((a?1)(1?h)(b?1)(1?g))=

Δα,β(a?1)Δα,β((1?h)(b?1)(1?g))=

Δα,β(a?1)Δα,β((1?h)(b?1))Δα,β(1?g)=

Δα,β(a?1)Δα,β(1?h)Δα,β(b?1)Δα,β(1?g)=

Δα,β(a?h)Δα,β(b?g).

接下來將證明式(6)～式(9)成立.

Δα,β(a?1)Δα,β(b?1)=

[(a1×a2(-1,α))?(a2(0,0)×1β)][(b1×b2(-1,α))?(b2(0,0)×1β)]=

[a1(a2(-1,α)(1,1)5b1)σ(a2(-1,α)(2,1),b2(-1,α)(1,1))×a2(-1,α)(3,α)b2(-1,α)(2,α)]?

[a2(0,0)b2(0,0)×1β]=

[a1(a2(-1,1)(1,1)5b1)σ(a2(-1,1)(2,1),b2(-1,1))×a2(0,0)(-1,α)b2(0,0)(-1,α)]?

[a2(0,0)(0,0)b2(0,0)(0,0)×1β]=

(ab)1×(ab)2(-1,α)?(ab)2(0,0)×1β=Δα,β((a?1)(b?1));

Δα,β(a?1)Δα,β(1?g);

Δα,β((1?h)(b?1))=Δα,β(h(1,1)5b?h(2,αβ))=

[(h(1,1)5b)1×(h(1, 1)5b)2(-1,α)h(2,α)]?[(h(1,1)5b)2(0,0)×h(3,β)]=

(h(1,1)5b1)σ(h(2,1),b2(-1,1))?h(3,α)b2(0,0)(-1,α)?h(4,1)5b2(0,0)(0,0)?h(5,β)=

(h(1,1)5b1)σ(h(2,1),b2(-1,α)(1,1))?h(3,α)b2(-1,α)(2,α)?h(4,1)5b2(0,0)?h(5,β)=

Δα,β(1?h)Δα,β(b?1);

Δα,β(1?h)Δα,β(1?g)=

σ(h(1,1),g(1,1))?σ(h(2,1),g(2,1))(-1,α)h(3,α)g(3,α)?σ(h(2,1),g(2,1))(0,0)?h(4,β)g(4,β)=

σ(h(1,1),g(1,1))1?σ(h(1,1),g(1,1))2(-1,α)h(2,α)g(2,α)?σ(h(2,1),g(2,1))2(0,0)?h(3,β)g(3,β)=

Δα,β((1?h)(1?g)).

即式(6)～式(9)成立.定理1證畢.

注11)如果定理1中的σ是平凡的,那么就得到使π-Smash積和π-Smash余積成為半Hopfπ-余代數的充要條件.

2)如果C為平凡的左π-H-余模余代數,即ρα(c)=1α?c,那么π-Smash余積的余乘就退化為一般的張量積的余乘,即Δα,β(a×h)=(a1×h(1, α))?(a2×h(2,β)).由定理1,可以得到文獻[15]中的命題2.4.

3)如果令π={1},那么定理1就是文獻[16]中的定理 2.5.

接著將研究上文中的半Hopfπ-余代數C×π#πσH形成Hopfπ-余代數的條件.

定義8設H是半Hopfπ-余代數,C為余代數,σ:H1?H1→C是一線性映射,且S={Sα:Hα→Hα-1}是一簇線性映射并滿足Δβ-1,α-1Sαβ=THα-1,Hβ-1(Sα?Sβ)Δα,β.稱S為H的σ-反對極,若對每個h∈H1,有

在此情況下,稱H為σ-Hopfπ-余代數.

使用Sweedler記法,式(10)意味著

σ(h(1,1),S(h(4,1)))?h(2,α)Sα-1(h(3,α-1))=ε(h)(1C?1α).

例1設H是帶有反對極S={Sα}α∈π的Hopfπ-余代數,假設σ:H1?H1→k是平凡的線性映射,那么可以將S看作H的σ-反對極.

ε(h)(c1?1α)(SC(c2)?1α)=ε(h)εC(c)(1C?1α).

[1]Radford D E.The structure of Hopf algebras with a projection[J].J Algebra,1985,92(2):322-347.

[2]Andruskiewitsch N,Schneider H J.On the classification of finite-dimensional pointed Hopf algebras[J].Ann Math,2010,171(2):375-417.

[3]Bulacu D,Nauwelaerts E.Radford′s biproduct for quasi-Hopf algebras and bosonization[J].J Pure and Applied Algebra,2002,174(1):1-42.

[5]Delvaux L.Multiplier Hopf algebras in categories and the Biproduct construction[J].Algebra Represent Theory,2007,10(6):533-554.

[6]Turaev V G.Homotopy field theory in dimension 3 and crossed group-categories[EB/OL].(2000-05-31)[2011-09-15].http://arXiv:math/0005291v1.

[7]Caenepeel S,de Lombaerde M.A categorical approach to Turaev′s Hopf group-coalgebras[J].Comm Algebra,2006,34(7):2631-2657.

[8]Virelizier A.Hopf group-coalgebras[J].J Pure and Applied Algebra,2002,171(1):75-122.

[9]Virelizier A.Graded quantum groups and quasitriangular Hopf group-coalgebras[J].Comm Algebra,2005,33(9):3029-3050.

[10]Wang Shuanhong.Group entwining structures and group coalgebra Galois extensions[J].Comm Algebra,2004,32(9):3417-3436.

[11]Wang Shuanhong.Group twisted smash products and Doi-Hopf modules forT-coalgebras[J].Comm Algebra,2004,32(9):3437-3458.

[12]Zunino M.Double construction for crossed Hopf coalgebra[J].J Algebra,2004,278(1):43-75.

[13]Zunino M.Yetter-Drinfeld modules for crossed structures[J].J Pure and Applied Algebra,2004,193(1/2/3):313-343.

[14]Sweedler M.Hopf algebras[M].New York:Benjamin,1969.

[15]Shen Bingliang,Wang Shuanhong.On group crossed products[J].Int Electron J Algebra,2008(4):177-188.

[16]Wang Shuanhong,Jiao Zhengming,Zhao Wenzheng.Hopf algebra structures on croseed products[J].Comm Algebra,1998,26(4):1293-1303.

OnconstructingnewHopfgroupcoalgebrasbygroupcrossedproducts

SHEN Bingliang1, LIU Ling2

(1.DepartmentofBasicEducation,ShanghaiUniversityofFinanceEconomicsZhejiangCollege,JinhuaZhejiang321013,China; 2.CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

The group crossed productC#πσHand the group Smash coproductC×πHform a semi-Hopf group coalgebra and even a Hopf group coalgebra was discussed. It was famous Radford biproduct construction in the setting of Hopf group coalgebras.

(Semi)-Hopf group coalgebra; group crossed product; group Smash coproduct; Radford biproduct

2012-03-17

浙江省教育廳科研項目(Y201121955)

沈炳良(1981-),男,浙江德清人,講師,博士后.研究方向:Hopf代數;代數表示論.

O153.3

A

(責任編輯 陶立方)