低滲透巖芯水驅油試驗相似理論

沈 瑞，熊 偉，高樹生

(1. 中國科學院 滲流流體力學研究所，河北 廊坊 065007；2. 中國石油勘探開發研究院廊坊分院，河北 廊坊 065007)

1 引 言

相似理論是物理試驗的基礎，它可將影響現象發展的全部物理量適當地組合成幾個無因次的相似準則，然后把這些相似準則作為一個整體，來研究各個物理量之間的函數關系[1]，這種方法的優點不僅會減少試驗工作量，而且推廣了試驗結果的應用范圍，把個別試驗結果推廣到相似現象群中去。

目前，關于低滲透油藏非線性滲流機制方面的試驗研究很多[2－8]，但低滲透油藏物理模擬相似理論方面的研究則較少，因此，在前人關于水驅油及3次采油物理模擬相似性研究的基礎上[9－16]，采用方程分析法對低滲透巖芯水驅油試驗的相似準則進行研究，通過對相似準數的畸變分析，研究了相似準數對低滲透巖芯水驅試驗采收率的影響程度，并通過實際巖芯水驅油試驗數據進行了驗證。

2 低滲透巖芯水驅油數學模型及相似準則

2.1 數學模型

低滲透巖芯水驅試驗為一維滲流的物理模擬，所以可采用考慮擬啟動壓力梯度的一維油水兩相滲流控制方程進行描述[17－19]：

油相：

水相：

式中：ρo、ρw分別為油相和水相密度（kg/m3）；ko、kw分別為油相和水相有效滲透率（10-3μm2）；po、pw分別為油相和水相壓力（MPa）；Ax為橫截面積（m2）；qo、qw分別為油和水的匯源項（kg/d）；So、Sw分別為含油和含水飽和度，無量綱；μo、μw分別為油和水的黏度（mPa·s）；φ為孔隙度，無量綱；go、gw分別為油相和水相的擬啟動壓力梯度（MPa/m）。

在式（1）、（2）中，

式中：xp、yp為出口位置坐標（m）；h為厚度（m）；pwf為出口端壓力（MPa）；qI表示注入量（kg/d）；δ(x -xp)δ(y -yp)的意義為在（xp,yp）所在網格等于1，在其他網格等于0（無量綱）。

飽和度方程：

初始條件：

2.2 相似準則分析

從水驅油兩相流動的控制方程出發，利用方程分析法推導相似準則。首先，引入下列無因次量。

無因次自變量：

無因次因變量：

無因次參量：

含水飽和度和相對滲透率歸一化：

式中：xR、yR分別為長度和等效寬度（m）；ΔS=1 -Scw-Sro，Scw、Sro分別為束縛水和殘余油飽和度（無量綱）；kcwo、krow分別為束縛水下的油相有效滲透率和殘余油下的水相有效滲透率（10-3μm2），ct為綜合彈性系數（MPa-1）。

將式（6）～（9）代入式（1）、（2）可得：

將式（10）中的微商用差商代替：

式中：

式中：i表示第i個網格；n表示第n個時間步。無量綱飽和度方程：

無量綱初始條件：

從以上分析中可以得到以下20個無因次量：

π1～π18的物理意義在文獻[20]中進行了闡述，π19和π20分別為無量綱油相和無量綱水相擬啟動壓力梯度。

去掉自變量和因變量，低滲透巖芯油水兩相滲流的參變量共計23個，根據π定理可知，在選定3個獨立的基本量（時間、長度和質量）之后，即可確定控制水驅油兩相滲流的相似準數共計20個，這與上述方程分析法得到的相似準數個數是相等的，證明了所推導的相似準則的正確性。

3 相似準數的敏感性分析與驗證

3.1 相似準數敏感性分析

根據隱式求解壓力、顯式求解飽和度(IMPES)方法，對式（10）～（14）進行求解，便可以得到參變量包含相似準數的數值模擬器，通過對某一相似準數進行畸變，而其他準數不變，便可研究該相似準數對試驗結果的影響。畸變系數可定義為[21－22]

以水驅油試驗的采收率為目標函數，通過對比某一相似準數畸變前后的采收率變化，就可以判斷某一相似準數對試驗結果的影響程度。

式中：Ap為模型與原型完全相似時采出程度曲線和無因次時間軸所圍的面積，TD為無因次開發時間。

敏感因子可定義為

式中：Si為第 i個相似準數畸變后的采出程度曲線與完全相似時采出程度曲線的偏離程度。通過比較敏感因子的大小，即可分析相似準數對低滲透巖芯水驅油試驗結果的影響程度。

采用數值模擬方法對各個相似準數的敏感性進行分析，圖1展示了相似準數的敏感因子，可以看出，π3和 π10的敏感因子較大，π3表示殘余油和可流動油飽和度之比，π10表示初始折算含水飽和度，這兩個相似準數對低滲透巖芯水驅油試驗結果影響較大。

圖1 相似準數敏感因子Fig.1 Sensitive factors of similarity criterion

3.2 敏感性驗證

為了說明相似準數敏感性對試驗結果的影響，通過實際低滲透巖芯水驅油試驗加以驗證。由于水驅油試驗所用巖芯都要制造束縛水，原始含水飽和度即束縛水飽和度，根據公式可知相似準數敏感因子最大的π10為0；水驅油試驗采用的巖芯夾持器出口和入口均處于巖芯橫截面的圓心處，即敏感因子較大的π8均相等；本次水驅油試驗中，所選巖芯均從同一塊天然巖芯鉆取，油水相對滲透率變化規律相近，即敏感因子較大的π5也相等。因此，檢驗敏感因子第2大的π3對試驗結果的影響程度，另外對比了敏感因子居中的π1對試驗結果的影響。

圖2為3塊低滲透巖芯水驅油試驗的采出程度隨注入孔隙體積倍數的變化關系，3塊巖芯是從同一塊天然巖芯上鉆取的，每塊巖芯直徑為2.5 cm、長度為4.5 cm、氣測滲透率為0.355×103μm2，3塊巖芯試驗條件相同，1#巖芯與 2#巖芯完全相似，3#巖芯與1#、2#巖芯除了π3不等之外，其余相似準數均相等。從圖中可以看出1#巖芯和2#巖芯的采出程度變化曲線較為接近，而3#巖芯的采出程度與二者相比則有較大差距。

圖3為2塊低滲透巖芯水驅油試驗的采出程度隨注入體積倍數的變化曲線，2塊巖芯是從同一塊天然巖芯上鉆取的，氣測滲透率為0.369×103μm2，在試驗條件相同的情況下，2塊巖芯除π1明顯不等外，其他相似準數近似相等，從圖3中可以看出，兩條采出程度曲線幾乎重合，因此，π1的改變對水驅油試驗采出程度的影響較小。

通過上述試驗數據驗證了相似準數敏感因子的大小確實可以反映出相似準數對試驗結果的影響程度，同時也說明，當試驗中無法滿足原型和模型所有相似準數完全相等的條件時，要優先滿足敏感因子較大的相似準數相等，只有這樣，部分相似模型的模擬結果才更能夠反映原型的物理現象。

圖2 π3對試驗結果的影響Fig.2 Influence of π3on test result

圖3 π1對試驗結果的影響Fig.3 Influence of π1on test result

4 結 論

（1）采用方程分析法對低滲透巖芯油水兩相的控制方程進行無因次化，獲得20個相似準數，并通過隱式求解壓力、顯式求解飽和度(IMPES)方法，對參變量包含相似準數的方程進行求解，得到了參變量包含相似準數的數值模擬器，通過對每個相似準數進行畸變和敏感分析，模擬計算得到每個相似準數的敏感因子。

（2）通過實際低滲透巖芯水驅油試驗證明：敏感因子大的相似準數，其改變對試驗結果影響較大，反之，影響則小。

（3）對于低滲透巖芯水驅油試驗，在不能設計完全相似模型時，應優先滿足敏感因子大的相似準數，這樣才能保證試驗結果更加可靠。

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