基于子空間辨識的汽油機空燃比控制模型的研究

李頂根，劉剛，汪榮青

（1.華中科技大學 能源與動力工程學院，湖北，武漢 430074；2.浙江機電職業技術學院，浙江，杭州 310053）

汽油機常采用油膜動態方程設計空燃比補償器，這種基于氣道油膜辨識的空燃比控制方法，在發動機穩態運行時，較為適用，而在發動機瞬態時，辨識誤差較大[1]。美國FTP75測試循環[2]表明，發動機80%的排放物均在發動機冷啟動過程的瞬態運行工況下產生?？梢娝矐B工況下的空燃比精確控制（考慮油膜動態效應）是改善發動機缸內空燃比波動，從而降低污染物排放的有效手段。為此，本文擬采用子空間辨識N4SID算法，辨識多影響參數下缸內空燃比動態波動模型，分析多參數對辨識出的空燃比動態模型的影響，分析模型的抗擾性能，為空燃比的控制建模打下基礎。

1 汽油機油膜動態方程辨識及空燃比控制建模

汽油機采用進氣道噴射方式，燃油從噴油器噴出后，一部分以蒸汽形式存在于氣道中，另一部分直接附著在壁面上，形成附壁油膜。油膜的存在對發動機實際燃燒空燃比有很大影響，特別是發動機冷啟動時。研究發現，美國聯邦FTP75測試循環冷啟動過程中所排放出的HC及CO占整個循環排放物的70%～80%，而很大部分原因歸結于冷啟動過程中空燃比波動過大[2]。

因此，對汽油機進氣道油膜動態模型建模分析的研究引起了國內外學者的廣泛興趣。最有效的油膜物理模型建模研究始于1981年Aquino所提出的X-x模型，他將由噴油器噴出的燃油分成以X分數沉積在壁面上的油膜以及以（1-X）分數懸浮在進氣道中的燃油蒸汽及微小液珠。附著在壁面上的油膜的蒸發時間常數是x[3]。之后于1992年，Hendricks E.和Vesterholm 提出了雙時間常數模型，該模型額外考慮了燃油蒸汽和液珠由進氣道進入氣缸的輸運時間，其在某些工況下的模擬結果較優于X-x模型[4]。之后很多國外學者也對進氣道油膜進行過深入的研究，在上述兩種模型的基礎上，提出了不同的改進模型[2，5-6]。國內有人采用最小二乘法、擴展卡爾曼濾波等方法對油膜X- x模型進行辨識，并在此基礎上設計了油膜補償器，對各種工況下的噴油量進行補償達到精確控制空燃比的目的[7-9]。

上述傳統的辨識方法，均基于油膜物理模型的推導及建立，過程繁雜，不利于考慮發動機多運行參數對缸內空燃比的影響。子空間辨識方法直接從輸入輸出數據中提取狀態空間參數，可以綜合考慮多參數對空燃比模型的影響，同時在辨識時間上要較傳統辨識方法少，這主要是因為子空間方法沒有循環迭代的過程[10]。

2 研究對象及模型簡述

試驗系統采用某型汽油發動機為研究對象，將實物系統簡化，在GT-Power軟件中搭建相應的發動機模型。發動機基本參數見表1。

表1 發動機的主要參數

模型主體是GT-Power軟件中自帶的具有高度保真性的算例模型，本文是在該模型的基礎上修改相關參數，并進行研究。

假設汽油機缸內空燃比動態模型的狀態空間方程如下：

且做如下假設（即系統噪聲與測量噪聲不相關）：

定義輸入數據Hankel矩陣如下：

輸出yk的Hankel矩陣Y02i-1定義同上。

3 子空間N4SID算法及所辨識的模型

子空間辨識算法能夠根據給定輸入輸出數據的Hankel矩陣，通過空間正交投影或斜向投影的數學方法，直接估計出系統的狀態序列。從而將狀態空間的求解問題轉化為最小二乘問題，再求解出狀態空間矩陣A、B、C、D。它大大簡化了系統的建模過程，去除了繁瑣的物理模型推導過程。

假設式（1）所描述的系統是可觀的，則可設計Kalman濾波器對其狀態進行估計。

K為Kalman增益，令

系統方程變為

將yk的表達式代入到狀態方程中，可得

可推出

在應用系統輸入輸出Hankel矩陣進行子空間辨識時，需作如下假設進行限制[11]。

（1）矩陣（A-KC）的特征值嚴格分布在單位圓內。

（2）系統矩陣（A，C）是可觀的，（A，[B，K]）是可控的。

（3）誤差序列ek是穩定的零均值、白噪聲序列，且其二階矩滿足

式中：dij為Kronecker符號。

（4）對于開環數據，輸入序列uk與誤差序列ek不相關。

（5）輸入信號是準穩態，且是持續激勵的。

針對上述假設，進行發動機開環試驗設計，選擇某型汽油發動機在GT-Power軟件中建模，試驗轉速變化范圍為1 000～6 000 r/min，每100 r/min進行數據采樣；噴油量變化范圍為3.5～5.5 g/s；進氣溫度范圍為280～340 K，此三者為模型辨識的輸入量。缸內空燃比為輸出量。辨識數據分布如圖1所示。

應用上述試驗數據進行系統辨識，數據樣本為1 000組。首先，對式（4）的輸出方程進行擴展和迭代，得到新的輸出方程為

對式（5）進行迭代，可得Xk的表達式為

由（9）式可知，僅僅應用已知的輸入輸出Hankel矩陣便可估計系統可觀測矩陣C，其估計值為

計算出C矩陣的估計值后，通過下式計算狀態矩陣的估計值。

從而式（1）所表示的系統模型辨識問題，轉化為一個最小二乘求解問題[10]。

利用計算出的系統矩陣的估計值，可計算系統殘差的協方差矩陣，協方差矩陣的求解仍然轉化為最小二乘的求解問題[10]。

根據上述算法，編寫Matlab計算程序，程序計算出的系統階數圖如圖2所示。

圖2中縱坐標為系統奇異值的log函數值分布，橫坐標為程序所設定的階數范圍。由圖2可知，當系統階數n大于3后，其所對應的奇異值的log函數值越來越小，故程序計算出3為系統的最佳階數。

確定模型階數后，即可利用發動機開環試驗數據對系統進行辨識，辨識出的系統矩陣為

由于試驗設計為開環狀態下的試驗，故直接饋入矩陣D為0，所以程序中未予計算。

4 結果分析

針對計算出的系統模型，使用未參與辨識的200組數據進行驗證，驗證數據的分布如圖3所示。

將驗證數據代入所辨識出的系統模型，模型計算出的數據與試驗數據的比較如圖4所示。

圖4上半部分為預測出的空燃比與試驗值的絕對誤差分布圖；下半部分為相對誤差分布圖。由圖4可知，模型預測的空燃比絕對誤差分布在-0.2647～0.4475之間，相對誤差分布在-2.25%～3.59%之間，模型計算的結果與試驗值吻合程度高。說明子空間辨識算法N4SID在辨識空燃比模型方面準確、有效。由于轉速信號的周期性采樣，計算結果也大致呈周期性分布。

驗證數據的輸入值都假定是準確和穩定的。但在發動機實際運行過程中，對數據進行采集時均會夾雜外界的干擾信號，絕對準確無擾動的數據在試驗過程中不可能產生。為此，為驗證所辨識出的模型抗擾動的能力，在驗證數據中分別單獨對輸入信號添加零均值，方差為信號平均值±1%范圍內分布的白噪聲信號，以此檢驗模型的抗擾動能力。

添加擾動信號后，空燃比驗證誤差分布圖如圖5和圖6所示。

由圖5、圖6可知，轉速加入白噪聲信號后，輸出數據的絕對誤差與相對誤差幾乎與不添加白噪聲信號時的相同，可見辨識出的模型對轉速的變化有較大的抗擾能力。噴油量信號加入白噪聲后，空燃比的絕對誤差與相對誤差波動幅度小，模型對噴油量的干擾信號具備抗擾能力。當對進氣量添加白噪聲后，模型預測出的空燃比絕對誤差、相對誤差均產生大幅度的波動，相對誤差限躍升至-14%～10%，說明辨識出的模型對進氣溫度的波動比較敏感。分析其原因，可能是用于辨識的數據中進氣溫度變化頻率最小，每250個采樣點才產生進氣溫度的階躍變化，由此導致辨識出的模型對進氣溫度變化敏感。

將辨識所得的模型應用于不同發動機工況，此處任意選取4個工況點進行對比，將進氣溫度和噴油量分別定為283 K、4.1 g/s，轉速分別為1 372 r/min、4 859 r/min、5 128 r/min、5 732 r/min。其所預測出的發動機空燃比與發動機仿真試驗所得的空燃比見表2。

表2 模型預測空燃比與發動機仿真試驗空燃比對比

由表2可知，在所選取的工況點下，經辨識得出的模型預測出的空燃比值與發動機仿真試驗所得的空燃比值符合度好，預測的相對誤差在±5%以內。

經以上分析可知，對于多輸入下的發動機空燃比動態模型建模，傳統的基于物理分析建模的方法較為復雜，且不易于考慮多參數的影響。而應用子空間方法針對試驗采集的大量樣本數據，進行快速高效辨識，可以解決物理建模繁瑣低效的缺陷，且辨識的精度高，抗輸入干擾的能力強，是發動機瞬態空燃比控制建模的有效方法。

5 結論

（1）推導了子空間辨識N4SID算法的主要過程，基于該算法的限制條件在GT-Power軟件中設計了發動機開環狀態試驗，采集了1 200組各工況下的數據，其中1 000組數據用于模型的辨識，200組數據用于模型的驗證。

（2）辨識程序辨識出的3階狀態空間模型具有最優的精度，模型計算出的空燃比絕對誤差限為-0.2647～0.4475、相對誤差限為 -2.25%～ 3.59%。

（3）向驗證數據輸入信號添加零均值，方差為各信號平均值1%的白噪聲后發現，辨識出的模型對轉速、噴油量的波動抵抗力強。而對進氣溫度變化敏感，究其原因可能在于采樣數據中進氣溫度變化頻率低，造成模型對進氣溫度的敏感性增強。

（4）模型預測值與GT-Power仿真試驗值的相對誤差在±5%以內，辨識出模型的精度符合空燃比控制建模需求。

[1]BRUNO B A，SANTAVICCA D A，ZELLO J V. LIF Characterization of Intake Valve Fuel Films during Cold Start in a PFI Engine[C].SAE Paper 2002-01-2751.

[2]NEYACHENKO I I. Method of A/F Control during SI Engine Cold Start[C].SAE Paper 981171.

[3]AQUINO C F. Transient A/F Control Characteristics of the 5 Liter Central Fuel Injected Engine[C]. SAE Paper 810494.

[4]HENDRICKS E，VESTERHOLM T，KAIDANTZIS P，et al. Nonlinear Transient Fuel Film Compensation (NTFC)[C].SAE Paper 930767.

[5]Xu Hongming. Control of A/F Ratio During Engine Transients[C]. SAE Paper 1999-01-1484.

[6]ARSIE I， PIANESE C， RIZZOA G，et al. An Adaptive Estimator of Fuel Film Dynamics in the Intake Port of a Spark Ignition Engine[J]. Control Engineering Practice， 2003，11(3)：303-309.

[7]鐘祥麟. 基于油膜模型的多點噴射汽油機瞬態工況控制研究[D].長春：吉林大學， 2007.Zhong Xianglin.Study on Control of MPI Gasoline Engine in Transient Condition Based on Fuel Film Model[D].Changchun：Jilin University，2007.（in Chinese）

[8]李頂根，舒詠強. 汽油機進氣道油膜模型參數辨識算法的研究[J].內燃機學報，2009，5(4)：15-22.Li Dinggen，Shu Yongqiang. Research of Parameter Identification Algorithm of Intake Port Fuel Film Model for Gasoline Engine[J].Transactions of CSICE，2009，5(4)：15-22.（in Chinese）

[9]姚棟偉，吳鋒，朱一峰，等. 基于 EKF 算法的進氣道燃油狀態觀測器研究[J]. 內燃機學報，2010，4(28)：374-379.Yao Dongwei，Wu Feng，Zhu Yifeng，et al.Study on Observer of Fuel Dynamics in Intake Port of SI Engines Based on EKF Algorithm[J].Transactions of CSICE，2010，4(28)：374-379.（in Chinese）

[10]Van OVERSCHEE P， de MOOR B. Subspace Identification for Linear Systems：Theory-Implementation-Application[M].Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，1996.

[11]QIN S J. An Overview of Subspace Identification[J].Computers and Chemical Engineering .2006(30)：1502-1513.