斜軸墨卡托投影的長度變形分析

中鐵大橋局集團 第一工程有限公司 李付偉

96251部隊 劉靈杰

中鐵大橋局集團 第一工程有限公司 王曉智

斜軸墨卡托投影的長度變形分析

中鐵大橋局集團 第一工程有限公司 李付偉

96251部隊 劉靈杰

中鐵大橋局集團 第一工程有限公司 王曉智

一、斜軸墨卡托投影

在工程測量中，經常需要對地面點的投影進行計算，以獲得工程測量必需的數據。地面點投影的實質是雙重投影，即先進行球面投影，再沿路線方向進行斜軸墨卡托投影。具體投影主要有兩種方法：一是先將地面點歸算至相應的參考橢球面，再將參考橢球面點投影到球面；二是直接將地面點投影至球面，之后進行斜軸墨卡托投影。

斜軸墨卡托投影作為地面點投影計算的重要步驟，其計算的精度將直接影響最終的結果。無論是將地面點投影至參考橢球面，再將參考橢球面點投影至球面；還是直接將地面點投影至球面，再進行斜軸墨卡托投影，每一步都將產生長度變形。本文，筆者分析了球面投影的長度變形，并比較了斜軸墨卡托投影和高斯投影的變形情況，總結了斜軸墨卡托投影長度變形的大小和規律，對工程測量具有指導作用。

一、球面投影的長度變形

1.投影點在參考橢球面上投影時的長度變形分析。球面投影公式如下：

式（1）中，λ為球面經度，L為參考橢球面經度，φ為球面緯度，μ為參考橢球面投影至球面的長度變形，R為測區平均曲率半徑，B為參考橢球面緯度，N為卯酉圈曲率半徑，ω為角度變形。α，U和K分別按下式計算。

式（2）、（3）和（4）中，B0為參考橢球面平均緯度，e為第一偏心率，φ0為測區平均緯度經球面投影后的緯度（φ0＝arcsin（sinB0）/α），U0按下式計算。

在同一參考橢球面上，球面投影長度變形與測區平均緯度B0和投影點緯度B有一定的關系，而與經度無關。取測區平均緯度B0的平均曲率半徑作為投影球面半徑，若球面投影在平均緯度為B0的緯線圈上沒有變形（長度比μ＝m＝n＝1，面積比p＝1，ω＝0），則稱B0為該緯線的標準緯線。

取WGS–84為參考橢球參數，測區平均橢球面緯度取B＝33°00′00″，假設地面點在參考橢球面上。隨著緯度變化，球面投影長度也不斷變化。兩者變形情況見表1。

表1 點位于參考橢球面上、緯度變化時球面投影長度變形統計

由表1可知，取標準緯度線B0＝33°，在緯度相差4°、南北距離達440 km的情況下，當投影點投影到參考橢球面上時，球面投影長度變形最大只有0.009/100 000。對于一些普通工程測量來說，要求投影長度的標準變形不大于1/40 000；因此在有些工程測量中，該長度變形可以忽略不計。

2.當投影點不在參考橢球面上，而在不同高程面上時對投影長度變形的影響。

（1）當地面點平均大地高不大時，直接將地面點地理坐標投影至由相應參考橢球參數和測區中心緯度計算出的球面上。由式（1）可知：

式（6）中，R＝c0/（1＋e′2cos2B0），為測區中心點（B0，L0）處的平均曲率半徑，式中c0為（B0，L0）處橢球極曲率半徑；N＝c/（1＋e′2cos2B）1/2，為投影點位置處卯酉圈的曲率半徑，式中c為投影點處的極曲率半徑。

對于某一測區來講，α為常數，令ν0＝（1＋e′2cos2B0）1/2，ν＝（1＋e′2cos2B）1/2，e′為（B0，L0）處橢球第二偏心率，則公式（6）可變為

式（7）即為直接將地面點投影至球面時的長度變形公式。

（2）當地面點距離參考橢球面較遠時，可將地面點先歸化至相應參考橢球面后再進行球面投影。在這一投影過程中，為減小長度變形，須重新計算新的參考橢球參數，并且須將測區用作首級控制點的國家大地坐標經緯度轉換為新參考橢球面上的大地坐標經緯度，再按公式（1）計算球面投影。

目前，在采用參考橢球參數計算時，認為新橢球和國家坐標系相應參考橢球的扁率相等，第一偏心率和第二偏心率與國家坐標系對應的參考橢球的參數相等。即

則新橢球的長半軸計算公式為

式（9）中，e表示國家橢球的第一偏心率，a表示國家橢球長半軸，Bm表示測區中心在國家橢球中的緯度，e′表示國家橢球的第二偏心率，Hm表示測區在國家橢球中的平均大地高（通常用正常高代替）或抵償面大地高。

其他點在新參考橢球面上的計算同國家橢球，國家控制點在國家參考橢球面上的地理坐標轉換到新參考橢球面上的地理坐標計算公式如下：

式（10）和（11）中，B，L和H為國家控制點大地坐標；Δa為國家橢球與新橢球長半軸之差，Δa＝a新－a；M，N分別為參考橢球子午圈、卯酉圈曲率半徑。M，N和ΔH的計算公式如下：

取測區中心橢球面標準緯度為B＝33°00′00″，國家橢球參數取WGS–84。采用上述兩種方法，將不同高程面的地面點投影至球面時投影長度變形和球面歸化長度變形見表2。

表2 不同高程面上投影長度變形和橢球面歸化長度變形

由表2可知，在高度條件不超過100 m時，高程對球面投影長度的變形，以及地面點歸化到所參考的橢圓球面的長度變形，可以說是完全相同的。應用雙重投影建立抵償高程面，其高度是63 m（長度變形0.989/10 0000），這與高斯投影的歸化高程抵償面的高程是相同的。

三、斜軸墨卡托投影的長度變形

斜軸墨卡托投影長度變形公式如下：

斜軸墨卡托投影是沿球面與圓柱的切線為投影中線的等角投影，在投影中線上Z＝90°，取地球平均曲率半徑R＝6 371 km，斜軸墨卡托投影長度變形隨Z角的變化而變化，由式（15）可知，斜軸墨卡托投影長度變形沿投影中線兩側呈對稱分布，與投影中線的距離S＝（π/2－Z），由參考橢球面歸算到高斯平面的平面坐標長度變形公式如下：

式（16）中，R為測區平均曲率半徑，取地球平均曲率半徑R＝6 371 km代替；y表示高斯投影橫坐標（自然值），即距離投影中央子午線的距離。在距離投影中線或中央子午線不同距離處，斜軸墨卡托投影長度變形與高斯投影長度變形比較結果見表3。

表3 斜軸墨卡托投影和高斯投影長度變形的比較

由表3可知，斜軸墨卡托投影沿投影中線投影，兩側長度變形大小呈對稱分布，距離投影中線愈遠則長度變形愈大，在長度變形接近1/100 000時，距離投影中線為28 km，投影帶寬為56 km。與高斯投影相比較，高斯投影長度變形沿中央子午線兩側呈對稱分布，隨距離中央子午線距離的增加而增加，如果規定投影長度變形不大于1/100 000，帶寬也是56 km，兩種投影長度變形的大小基本相等。

四、結論

斜軸墨卡托投影長度的變形主要和地面點高程及距離投影中線的距離有關：高斯投影長度的變形主要和地面點高程與距離中央子午線的距離有關。兩種投影方法長度變形的大小基本相同，長度變形的特點相似，但應用中前者較后者靈活得多，尤其是線形工程測量，斜軸墨卡托投影更為合適。