解排列組合應用題的思維方法

李鳳霞

（鞍山師范學院附屬衛生學校，遼寧 鞍山 114003）

解排列組合應用題的思維方法

李鳳霞

（鞍山師范學院附屬衛生學校，遼寧 鞍山 114003）

排列組合問題是歷年高考的必考題，它聯系實際、生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握。因此，掌握常見的排列組合應用問題的解法是很有必要的。

元素；排列組合；應用題；思維方法

1 相鄰問題捆綁法

有些排列組合問題中，要求某些元素必須相鄰，對這類問題解題的常用方法是：先將這些特殊元素捆綁成一個整體，即視為一個元素，與其他元素進行排列或組合，再考慮捆綁的元素如何排列或組合，從而達到求解的目的。

例1：A、B、C、D、E 5個人并排站成一排，如果A、B兩人必須相鄰，且B在A的右邊，那么不同的排法有多少種？

分析：由于A、B兩人必須相鄰，所以將A、B兩元素捆綁在一起視為一個元素，則本題相當于4人全排列，又因為B在A的右邊，所以共有=24種不同的排法。

2 相離問題插空法

有些排列組合問題中，要求某些元素互不相鄰，對這類問題解題的常用方法是：先將其余元素進行全排列，再把規定相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端。

例2：聯歡會上要演出4個歌唱節目和3個舞蹈節目，如果舞蹈節目不能連排，那么有幾種排節目的方法？

3 定序問題縮倍法

在排列組合問題中，若要求某些元素必須有一定的順序，對于這類問題求解的常用方法是縮倍法，即所有元素的全排列除以受限制條件元素的全排列。

例3：信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上來表示信號，現有3面紅旗，2面白旗，把這5面旗都掛上去，可表示多少種不同的信號？

4 標號排位問題分步法

有些排列組合問題中，要求元素排列到指定號碼的位置上，對這類問題解題的常用方法是：先把這些元素按規定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續下去，依次即可達到要求。

例4：同室4人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿1張別人送來的賀卡，則4張賀卡有多少種不同的分配方式？

分析：此題可以看成是將數字 1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的4個方格里，每格填一個數，且每個方格的標號與所填數不同的填法問題。所以先將1填入2至4的3個方格里有C13種填法，第二步把被填入方格的對應數字填入其他3個方格里，又有C13種填法，第三步將余下的兩個數字填入剩下的兩格里只有1種填法，則4張賀卡共有3×3×1=9種不同的分配方式。

5 有序分配問題逐分法

有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，分別分配到不同的位置上，對于這類問題的常用解法是：先將元素逐一分組，然后再進行全排列，但在分組時要注意是否均勻分組。

例5：有3名醫生和6名護士被分配到3所學校為學生體檢，要求每校分配1名醫生和2名護士，共有多少種不同的分配方法？

6 多元問題分類法

有些排列組合問題元素多，取出的情況也有多種，對于這類問題常用的處理方法是：先按結果要求，分成不相容的幾類情況分別計算，再計算總和。

例6：由數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的6位數，其中個位數字小于十位數字的共有多少個？

7 交叉問題集合法

有些排列組合問題中，符合各個條件的幾部分有交集，這類問題常用的解法是用集合元素個數的公式：n（AYB）=n（A）=n（B）-n（AIB）來求解。

例7：從6名運動員中選出4人參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方法？

8 定位問題優選法

對于某些元素要排在指定位置上的問題求解方法是：先排這些特定的元素，再考慮其余元素。

例8：計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫，要求排成一行來陳列，其中同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，共有多少種不同的陳列方式？

分析：先把3個品種的畫看成整體，而水彩畫不放在兩端，故只能放在中間，所以油畫和國畫有種放法，再考慮油畫和國畫本身可以全排列，所以共有種不同的陳列方式。

9 至少（至多）問題間接法

有些排列組合問題中，常含有某些元素至少或至多問題，這類問題的常用解法是采取間接的方法，即先不考慮條件求出總數，再減去所求問題的反面所包含的數。

例9：從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，至少要有甲型和乙型電視機各1臺，則不同的取法有多少種？

分析：由于兩種型號電視機至少各一臺的反面是只取一種型號，故有C39-C34-C35=70種不同的取法。

10 選排問題先取后排法

有些排列組合問題，要求先分組后排列，對于這類問題求解的方法是先組合后排列。

例10：4個不同的球放入編號1，2，3，4的4個盒子中，恰有一個空盒的放法有多少種？

11 部分符合條件問題排除法

有些排列組合問題中，只有一小部分符合條件，對于這類問題求解的方法是先求出總體的數，再排除不符合條件的數，即可達到求解。

例11：以正方體的頂點作為棱錐的頂點，可作多少個三棱錐？

G420

A

1671-1246（2012）10-0085-02