平面二次包絡四軸四聯動數控磨床加工原理及實驗研究*

韓興國 黎亞元 和法洋

（①桂林航天工業高等專科學校，廣西桂林541004;②西華大學數控技術研究所，四川成都610039;③上海合眾重工有限公司，上海 201506）

平面二次包絡蝸桿傳動是我國在20世紀70年代研制的一種新型的機械傳動方式，具有效率高、壽命長、承載能力強等特點，特別適用于現代機械重載、高速的要求，產品深受客戶歡迎［1］。但由于這種蝸桿加工工藝非常復雜、設備專用、價格昂貴，所以應用推廣受到較大限制。為了克服這些問題，我們通過深入研究，提出了一種利用數控圓插補運動加上砂輪架自轉運動以及被磨削蝸桿的軸旋轉運動的新加工工藝，并在此基礎上開發了四軸四聯動的數控磨床。該磨床克服了原來存在的問題，使加工的蝸桿的中心距可在很大的范圍內變化，而且機床結構緊湊，節省了空間、提高了效率。該磨床已投入到生產實踐中，經驗證符合加工要求。

1 加工原理

平面二次包絡四軸四聯動數控磨床的工作原理如圖1所示，X向和Z向雙層工作臺上安裝了可繞自身旋轉的砂輪回轉臺，上面安裝了磨削頭。X、Z軸聯動實現圓插補，帶動砂輪回轉臺和磨削頭作軌跡為圓的平移運動，與此同時如讓砂輪回轉臺帶動磨削頭按一定規律繞回轉中心O2的作B軸旋轉運動，實現X、Z、B三軸聯動即可保證砂輪的產形面始終與基圓相切。它們與蝸桿的主回轉運動C合成即實現四軸聯動，可實現蝸桿與蝸輪的嚙合運動完成整個加工。通過分析論證，這種加工工藝完全符合平面二次包絡蝸桿的磨削加工原理［2］。

2 運動分析

以加工工件的位置為基準，插補圓的圓心由工件蝸桿副的中心距a決定，在工件喉頸圓弧中心線上，它也是蝸輪的基圓圓心，這個插補圓心可以通過數控編程實現，所以非常靈活也很容易實現。這樣就不必為了制造大中心距的蝸桿而制造大型的磨床，大大簡化了磨床結構，調整也比較方便。

如圖2所示，O0為插補圓、基圓、理想磨削圓的圓心，O2為砂輪回轉臺的回轉中心，AB為砂輪產形面，A表示加工蝸桿的砂輪產形面上的磨削邊緣點。X、Z作逆圓插補時，砂輪回轉臺回轉中心由O2→O'2→O″2。若是沒有添加回轉臺自身的回轉運動B，砂輪磨削邊緣點移動的軌跡就是圖中的A→A'1→A'2，很明顯可以看出這時磨削邊緣點的位置超出了磨削圓的軌跡，與基圓不同心。要使產形面與基圓相切，必須把磨削頭繞中心O2轉一角度進行補償。若添加了回轉運動，磨削邊緣點的位置由A→A1→A2，其運動軌跡就是要求的磨削圓。且AB、A1B1、A2B2的延長線均與基圓相切，滿足了環面蝸桿的嚙合原理。

對于不同型號的環面蝸桿，在加工前已經確定了基圓半徑rb、蝸桿的齒頂圓弧半徑Ra1和齒根圓弧半徑Rf1。磨削半徑AO0的大小介于齒頂圓弧半徑和齒根圓弧半徑之間。磨削邊緣點A的坐標，在對刀時確定，AB、O2B的大小在機床設計階段已經確定了。

如圖3所示，AB為砂輪磨削的初始位置，與基圓相切。砂輪隨著雙層工作臺的插補運動，延插補圓轉過一角度θ3，平動到ΔO'2A'1B'1位置，為使磨削邊緣點A1'位于理想的磨削圓上，砂輪繞砂輪架回轉中心O'2轉動角度 θ2，到達位置 ΔO'2A1B1。經研究發現［2－3］，砂輪回轉臺繞自身的回轉中心O2回轉的角度與圓插補軌跡的回轉角度有一定的幾何關系，即θ2=θ3。

ΔO2AB隨插補運動平移至ΔO'2A1'B'1位置時，繞過O'2的B軸轉動的角度θ2與回轉工作臺隨插補運動轉過的角度θ3相等時，砂輪磨削邊緣點的位置正好在磨削圓上，滿足加工要求。

3 數學建模

3.1 坐標架設定

X向、Z向導軌、砂輪回轉臺、主軸等部件可視為剛體，可以用齊次坐標變換矩陣來描述機床的運動。根據圖1所示的加工原理和包絡環面成形原理，設置坐標架如圖 4，其中 σ（O0;x0，y0，z0）為定標架，O0為虛擬插補圓圓心，過O0點作經蝸桿軸心線的平面W。σ1（O1;x1，y1，z1）為設置在蝸桿上的的定標架，O1為喉頸中心線與蝸桿軸心線的交點，在平面W內O1O0為嚙合中心距a，X方向由O1指向O0，Z沿蝸桿軸心線方向，Y與X、Z符合右手笛卡爾坐標系。為了簡化計算，在砂輪回轉臺上設置定標架 σ2（O2;x2，y2，z2），在X向工作臺上設置 σ3（O3;x3，y3，z3），在Z向工作臺上設置 σ4（O4;x4，y4，z4），在主軸上設置 σ5（O5;x5，y5，z5）。各定標架的X、Y、Z方向相同。

假設在初始位置時，坐標系 σ2、σ3、σ4重合，原點O2、O3、O4重合且為砂輪回轉工作臺回轉軸在平面W上的垂足，設其在定標架σ0中的坐標為（x0，0，z0）。同時假設坐標系σ1與σ5重合，原點O1與O5重合且在σ0中的坐標為（－a，0，0）。在砂輪產形面與蝸桿相截平面的瞬時接觸線上任取一點P，設O0P為r，O1P為r1，O2P 為 r2。

3.2 坐標變換矩陣

（1）根據齊次坐標變換理論［4］，當砂輪回轉臺作B軸逆時針轉動φ2時，定標架σ2相對于σ3的齊次坐標變換矩陣為

（2）當工作臺沿著X方向運動x時，定標架σ3相對σ4的齊次坐標變換矩陣為

（3）當工作臺沿著Z向運動z時，由于定標架σ4的原點在 σ0中的坐標為（x0，0，z0），因此定標架 σ4相對于σ0的齊次坐標變換矩陣為

（4）當主軸繞著C軸順時針轉動φ1時，定標架σ1相對σ5的齊次坐標變換矩陣為

（5）由于 σ5的原點在 σ0中的坐標為（－a，0，0），因此定標架標系σ5相對于σ0的齊次坐標變換矩陣為

P點在砂輪產形面與蝸桿相截平面的瞬時接觸線上，因此在理想狀態下砂輪產形面上的點P（x2，y2，z2）應與蝸桿上的點D（x1，y1，z1），在定標架 σ0中重合。

設置在砂輪回轉臺上的定標架σ2相對σ0的齊次坐標變換矩陣傳遞鏈為:砂輪回轉工作臺→X向工作臺→Z向工作臺→定標架σ0。

設置在蝸桿上的定標架σ1相對定標架σ0的齊次坐標變換矩陣傳遞鏈為:蝸桿→主軸→定標架σ0。

由上面的推導可得到為

代入后計算得到為

4 加工模型

4.1 嚙合方程和嚙合函數

在數控加工過程中砂輪回轉臺、Z向導軌和X向導軌的合成運動為在σ0（O0;x，y，z）中以r為半徑，以ω2為角速度繞B軸的轉動。

則:P（x2，y2，z2）點在 σ0（O0;x，y，z）的坐標為（x0+x2，y2，z0+z2）。

取動標架 σ'0（O'0;x'，y'，z'），在初始位置時與 σ0（O0;x，y，z）重合。當砂輪回轉工作臺繞B軸轉動時，動標架σ'0也繞B軸轉動相同的角度。

下面在動標架 σ'0（O'0;x'，y'，z'）中進行分析:

嚙合函數和嚙合方程依次為

其中:n為嚙合點P處的單位法向量;v21為嚙合點P處的相對速度向量。

相對速度的表達式為

由圖4可得到為

為了簡化運算，令 ω1=1，則 ω2=i21，因此 ω2= －i21y'，ω1=sinφ2x'+cosφ2z'

則

則

如圖5所示，在砂輪產形面上設置定標架σ6（O6;x6，y6，z6），其原點在 σ2（O2;x2，y2，z2）中的坐標為（0，0，b），與B點重合。X方向與σ2（O2;x2，y2，z2）的X方向相反，Y方向與σ2（O2;x2，y2，z2）中的Y方向夾角為β。σ6（O6;x6，y6，z6）與 σ2（O2;x2，y2，z2）是固聯在一起的。

設P在 σ6（O6;x6，y6，z6）中的坐標為（u，v，0），在產形面內過P作垂線，與產形面和底面W的交線垂直，垂足為P0，PP0長度為v，P0到定標架 σ2（O2;x2，y2，z2）的Z軸的距離為u。則P在σ2中的坐標為（x2，y2，z2）=（－u，－vcosβ，b－vsinβ），在動標架 σ'2中，產形面方程為

于是:ru=（－1，0，0），rv=（0，－cosβ，－sinβ）

單位法向量為

把n、v21代入得嚙合方程為

當 sinφ2≠0 時，把（x2，y2，z2）=（－u，－vcosβ，b－vsinβ）代入，整理得到為

4.2 砂輪上的瞬時接觸線方程

根據嚙合理論知識，砂輪產形面上的瞬時接觸線方程為

將（x2，y2，z2）=（－u，－vcosβ，b－vsinβ）與上式聯立，即可求出在定標架σ2中的瞬時接觸線的方程為

按上式確定瞬時接觸線的步驟為:

（1）根據設計要求和機床的參數，確定a、i、β、b;

（2）確定初始位置（x0，0，z0）;

（3）確定u的取值范圍;

（4）給定φ2一個值（在規定的取值范圍內），取一系列的u值，則由式（23）中的第一式求出與之對應的一系列的v值;

（5）將求出的一系列v值依次代入式（23）中后面3個式子中，就求出一組相接觸點的坐標;

（6）利用平滑曲線連接這些坐標點，即可確定一條瞬時接觸線;

（7）再給出一個φ2值，重復上述步驟，求出另一條瞬時接觸線。依此類推，即可求出在選定的β值下的一系列瞬時接觸線。

4.3 蝸桿齒面方程

把接觸線方程由定標架σ2轉到σ1，則與之共軛的就是蝸桿齒面的接觸線，可求得蝸桿齒面方程［5－6］。蝸桿齒面的坐標方程式為

上式中 φ1、u是蝸桿的獨立參數，確定（x0，y0，z0）后當給定一個φ2值，取不同的u值就可以得到一系列的點（x1，y1，z1），把這些點用平滑的曲線連起來，就得到坐標系σ1上的一條接觸線。每給出一個φ1，就可以得到一條接觸線，依此類推，可以求出多條接觸線，這些接觸線的集合就是蝸桿齒面。

5 磨削實驗

采用基于CDK6150數控車床改造的平面二次包絡四軸四聯動數控磨床（如圖6）進行磨削實驗。實驗加工的蝸桿的主要參數見表1。加工蝸桿的程序如下:

主程序:

子程序P12:

表1 平面二次包絡蝸桿主要參數

根據磨削原理，利用平面二次包絡四軸四聯動數控磨床加工出的平面二次包絡蝸桿如圖7所示，該數控磨床加工調整及操作方便，效率較高。通過對比，磨削加工的蝸桿質量及表面粗糙度與加工二次包絡蝸桿普通磨床相比有較大改善，蝸桿的表面粗糙度和精度均能夠達到要求，效果很好。

6 結語

通過大量的切削實驗證明，自主研發的平面二次包絡四軸四聯動數控磨床能達到加工生產要求，它可以加工中心距80～500 mm，蝸桿頭數l～8頭的相應模數的蝸桿;既能加工環面包絡蝸桿，也能加工圓柱、螺紋蝸桿。這也充分說明平面二次包絡四軸四聯動數控磨床的加工工藝原理正確、可行，該磨床具有一定的推廣價值。但是在實踐中一些問題仍有待解決，如:當加工不同工件時砂輪頭的位置需要調整，使砂輪頭的回轉力臂發生變化，從而使精度的穩定性受到影響，還有如何提高數控插補精度等深層次問題。相信經過研究和改進，機床的質量會有進一步提高。

［1］和法洋，黎帆，張珂，等.平面二次包絡四軸四聯動數控磨床數學建模及精度分析［J］.機床與液壓，2009，37（11）:11 －13.

［2］龍宇，黎亞元，劉潔.平面二次包絡環面蝸桿的一種新加工工藝及加工精度分析［J］.制造技術與機床，2007（5）:80－83.

［3］陳金成，徐志明，鐘進修，等.機床沿曲線高速加工時的運動學與動力學特性分析［J］.機械工程學報，2002，38（1）:31 －34.

［4］趙寧，劉常青.關于面齒輪磨削加工機床的研究［J］.機械設計與制造，2007（10）:151－152.

［5］韓興國，崔立秀，王斌武，等.基于動力學和運動學的開放式數控系統圓弧插補軌跡研究［J］.組合機床與自動化加工技術，2009（5）:75－77.

［6］廖效果，朱啟逑.數字控制機床［M］.武漢:華中科技大學出版社，2003.