圓弧齒輪指形刀具齒形計算研究*

胡立志 趙家黎

(蘭州理工大學機電工程學院，甘肅蘭州 730050)

圓弧齒輪由于具有較高的承載能力，傳動中嚙合面易形成動壓油膜，且具有良好的跑合性，因而，其應用和研究受到許多國家的重視。但由于圓弧齒輪歷史很短，無論在理論研究上，或制造工藝方面，都還不及漸開線齒輪那樣成熟［1］。

依據圓弧齒輪的傳動理論和嚙合原理，凡是加工漸開線齒輪的機床都可以加工圓弧齒輪，只是所采用刀具的齒形不同［2］。滾切法加工雖然效率較高，但滾刀制造難度大、成本高［3］。相對而言，指形銑刀制造簡單、價格便宜，在大模數圓弧齒輪加工中很有價值，特別是指形銑刀還可以加工中間沒有空刀槽的人字齒輪［4］。為此，本文從圓弧齒輪加工、嚙合原理及齒面方程出發，對圓弧齒輪指形刀具齒形計算進行研究。

1 圓弧齒輪的嚙合原理

1.1 線接觸圓弧齒輪的嚙合原理

圓弧齒輪共軛齒面的形成過程為:在平行軸傳動中，利用一個斜齒條成形面形成一對線接觸斜齒面共軛齒面，并利用圓心位于節線附近的圓弧作為斜齒條成形面的法向齒形，從而形成圓弧齒輪傳動［5］。

如圖1所示，設給定齒輪1、2傳遞等比轉動，且齒條P(一個假想的公共齒條)的節平面和兩齒輪的節柱面相切，并以齒輪節柱面上點的速度平移。在與兩齒輪1、2固連的動坐標系O1、O2中，刀具齒條成形面P將分別形成齒面Σ1、Σ2，并以其兩側面同時切削齒面Σ1、Σ2，從而形成圓弧共軛齒面。

1.2 點接觸圓弧齒輪傳動原理

在平行軸傳動中，利用彼此沿某一條線相切固連的兩個斜齒條成形面可以形成點接觸的共軛齒面。當兩個斜齒條成形面的法向齒形是圓心位于節線附近的兩條相切圓弧，就形成初始制造點接觸圓弧齒輪傳動。顯然，線接觸圓弧齒輪傳動是點接觸圓弧齒輪傳動的一種特殊情況。

2 圓弧齒輪齒面方程的建立

2.1 圓弧齒輪的齒面方程

如圖1所示，將斜齒條成形面方程從坐標系OP分別變換至與齒輪1、2固連的坐標系O1、O2中，并與共軛接觸條件聯立，即可求得齒輪1、2的齒面方程式。

凸齒齒輪齒面方程為

式中:ρa為凸齒齒廓圓弧半徑;αa為凸齒壓力角;β為螺旋角;ea為凸齒齒廓圓心偏移量。

凹齒齒輪齒面方程為

式中:ρf為凹齒齒廓圓弧半徑;αf為凹齒壓力角;β為螺旋角;ef為凹齒齒廓圓心偏移量。

2.2 待加工齒面的方程

如圖2所示，建立待加工齒面方程的坐標系為O，使坐標軸x通過其齒槽對稱軸。顯然，如果采用指形刀具同時加工齒槽的兩側面，則必須使指形刀具的回轉軸線和齒槽對稱軸線相重合。此時，成形運動就是刀具和齒輪的相對螺旋運動，指形刀具的回轉線形成了切削運動并構成了回轉曲面。刀具回轉曲面和齒輪齒面的瞬時接觸線是一條空間曲線，這條接觸線繞刀具回轉就形成了刀具齒面。

設齒輪的齒面方程為

則齒面法線的標準方程為

因為接觸點的法線和刀具回轉軸線相交，所以法線和刀具回轉軸線的交點(X，0，0)是法線上一點，代入式(3)得到

由式(4)可以解出:

將齒面接觸點坐標(y，z)和求出的法線矢量投影ny、nz代入式(5)，即得到以曲線坐標u、v表示的共軛接觸條件為

將共軛接觸條件和齒面方程聯立求解:

即得到齒面的瞬時接觸線，這條接觸線繞坐標軸回轉，形成指形刀具齒面。

3 指形刀具軸面齒形方程

如圖3所示，求指形刀具齒面的軸面齒形。

過接觸線上一點M做垂直于坐標軸x的平面，該平面與刀具旋轉齒面的截線是半徑為rΦ的圓。

于是，指形刀具齒面上的軸面齒形坐標由下面方程組確定。

式(9)的軸向坐標x是以齒輪的圓心O為坐標原點，而一般指形刀具軸面齒形坐標以齒底為基準測量，坐標原點應移至齒輪齒根圓上。如圖4，設齒輪齒根圓半徑為rf，則在新坐標中，指形刀具軸面齒形坐標為

4 圓弧齒輪指形刀具齒形的計算

由螺旋齒面指形刀具齒形的普通公式出發，根據圓弧齒輪齒面方程式，進行圓弧齒輪指形刀具齒形的計算。圓弧齒輪的齒面方程為

這里取基本齒部圓心移距量e=0，即基本齒部圓弧圓心位于節線上，此時得到法向圓弧螺旋面。如圖1所示，在計算指形刀具時應使x軸通過齒槽對稱線，故加工凸齒應取N=πm/2+e，α為正值;加工凹齒時取N=e，α為負值。圓弧齒輪齒面方程的法線矢量投影為

將以上兩式的y、z、ny、nz代入指形刀具與被加工齒面接觸線應符合的共軛條件ynz－zny=0，化簡后得到接觸線上點的參數α和Φ的關系方程為

由前一因式，得到方程解為

顯然，對現行基本齒廓參數此解不合理，應舍去。

對后一因式，設 sinΦ≠0、rΦcosβ －N≠0、cosα≠0，則解出:

上式即為圓弧齒輪指形刀具接觸線上點的參數α和Φ應符合的條件。指形刀具齒形計算公式為

指形刀具齒形計算步驟為:首先給出參數α和Φ中的一個，然后由式(14)解出另一個。將它們代入式(11)，即可求得接觸線上一個點坐標x和y，再代入式(15)即得到刀具齒形上的一點。

5 結語

從圓弧齒輪的加工方法出發，結合圓弧齒輪嚙合原理和圓弧齒輪的齒面方程得出:

(1)回轉曲面刀具齒形必須保證待加工齒面和回轉刀具齒面之間接觸線處各點的法線和刀具回轉軸線相交;

(2)圓弧齒輪指形刀具齒形計算的通用公式;

(3)圓弧齒輪指形刀具齒形計算的一般步驟。

［1］張秀親，邵佳輝.圓弧齒輪的誕生、發展及應用回顧［C］.第三屆中日機械技術史國際學術會議，2002:353－357.

［2］盧賢纘.雙圓弧齒輪滾切成形理論與滾刀設計［J］.機械傳動，1979(1):44－51.

［3］戴玉堂，有賀幸則，等.圓弧齒線圓柱齒輪的數控滾切機理與試驗研究［J］.中國機械工程，2006，17(7):706 －709.

［4］胡立志.圓弧齒輪盤形刀具齒形的計算［J］.蘭州理工大學學報，2005，31(4):52 －54.

［5］鄒雯.圓弧齒線圓柱齒輪的參數計算及選擇［J］.機械設計與研究，2000(2):36－38.