非標準安裝下直齒輪嚙合效率的計算及參數的確定*

王成范增

（濟南大學機械工程學院，山東濟南 250022）

提高機械產品的傳動效率一直是人們關注的焦點［1］。齒輪傳動作為應用最為廣泛的一種傳動方式，其傳動效率的高低直接影響到環境污染和經濟效益［2］。

確定齒輪傳動效率的方法有查表、試驗和計算3種。其中，試驗法最為準確［3－5］，但缺點是檢測的結果并不通用，且受很多因素的干擾。而查表法僅是給出一個范圍，并不精確。因此，采用計算的方法更為可行［6］。筆者［7］曾提出了利用齒輪輪齒幾何接觸分析（TCA）和輪齒承載接觸分析（LTCA）來計算齒輪的滑動摩擦功率損失。Xu H［2］提出了平行軸齒輪傳動效率計算的模型。前述兩種方法雖然能準確計算得到齒輪嚙合功率損失，但所建模型均未直接建立功率損失與齒輪設計參數之間的關系。姚建初［6］通過計算任意嚙合點處的瞬時嚙合功率，利用連續函數積分中值定理，推導出了平均嚙合效率的計算公式。筆者［8］在此基礎上，推導出了直齒輪基本參數與嚙合效率的關系。但上述兩種方法在計算過程中均未考慮非標準安裝情況。因此，所得出的結論存在局限性。

在齒輪實際安裝過程中，存在非標準安裝的情況。因此，本文在全面考慮直齒輪標準安裝和非標準安裝的基礎上，推導出嚙合效率的計算公式，進而得到設計參數對嚙合效率的影響關系，為直齒輪設計參數的確定提供了理論指導。直齒輪嚙合效率的計算及設計參數確定的流程見圖1。

1 任意嚙合點處的嚙合效率

設圖2和圖3中漸開線齒廓1和2在任意點k接觸，n－n為漸開線齒廓的嚙合線，設輪1為主動輪。v1、v2分別為輪廓1和2在k點處的速度，α1、α2為v1、v2與嚙合線的夾角（即齒廓壓力角）。F12為輪1作用于輪2的合力，F21為輪2作用于輪1的反力，它們大小相等，方向相反，且與嚙合線的夾角為φ（摩擦角）。

當接觸點k位于節點P的右端（即PB2段）時，α1＜α2。此時，k點處的驅動功率為

工作阻力功率為

式中:γi=αi+φ（i=1，2）。

根據平面嚙合的基本定理［8］

則k點處的嚙合效率為

當嚙合點k在節點P的左端（即PB1段）時，α1＞α2，通過計算得［8］

式中:f為摩擦因數。

2 設計參數與嚙合效率關系式的推導

根據文獻［8］，利用連續函數積分中值定理，用齒輪傳動的平均嚙合效率來代替齒輪傳動的嚙合效率。首先利用式（4）和（5），求出任意嚙合點處的嚙合效率（即瞬時嚙合效率）。然后通過分段積分求出實際嚙合線上總的嚙合效率。最后，用總的嚙合效率除以實際嚙合線長度得到平均嚙合效率。

在圖3中，齒輪實際嚙合線為B1B2，P為嚙合節點，通過上面的計算可知，PB1段和PB2段瞬時嚙合效率的計算公式不同，因此，分別對PB1段和PB2段進行積分。由圖3及文獻［9］可知:

式中:rb1、rb2分別為齒輪1、2的基圓半徑;α'為嚙合角。

將坐標原點取在節點P處，方向如圖3所示。

2.1 計算PB1段的嚙合效率

該嚙合段速度與嚙合線夾角α1＞α2，因此，嚙合效率的計算公式為式（5）。由圖3，PB1段速度同嚙合線夾角α與嚙合點位置x的關系可表示為

將式（8）和（9）代入式（5），得

在PB1段上對η1（x）進行積分，即

根據文獻［9］:

式中:m為齒輪模數;z1為齒輪齒數;i12為傳動比為齒頂高系數。

將以上關系式代入式（11）并整理得:

2.2 計算PB2段的嚙合效率

該嚙合段速度與嚙合線夾角α1＜α2，因此，嚙合效率的計算公式為式（4）。由圖3，PB2段速度同嚙合線夾角α與嚙合點坐標x的關系可表示為在PB1段上的嚙合效率為:

2.3 計算直齒輪的嚙合效率

根據文獻［9］，B1B2段的長度為

這里，我們用平均嚙合效率來代替齒輪傳動的嚙合效率，因此直齒輪傳動的嚙合效率為

3 直齒輪設計參數與嚙合效率之間的關系

上面我們推導出了齒輪設計參數與嚙合效率之間的關系式，從中可以看出，式中不包含頂隙系數c*和齒寬B。同時，式中我們用i12z1代替z2。下面分別討論齒數z1、模數m、傳動比i12、壓力角 α、齒頂高系數和中心距安裝誤差Δa對嚙合效率η的影響。取f=0.05，z1=20，i12=2，α=20°，=1，m=2 mm 和 Δa=1 mm。針對相關參數再具體設定其變化區間，基于Matlab編程繪出相應的關系曲線圖。

3.1 齒數z1對嚙合效率η的影響

取z1=20～100，其他參數不變。根據上述公式，利用Matlab編程繪出的齒數z1與嚙合效率η關系如圖4所示。從圖4中可以看出，η隨著z1的增加而增大。但當z1超過一定數值后，效率增加趨向平緩。同時，根據齒輪傳動設計參數選擇理論，增加齒數，有利于提高重合度，改善傳動的平穩性，但在齒輪尺寸一定的情況下，增加齒數將引起模數的減小，從而降低齒輪的彎曲強度。

3.2 模數m對嚙合效率η的影響

取m=2～8 mm，其他參數不變。根據上述公式，利用Matlab編程繪出的模數m與嚙合效率η關系如圖5所示。在圖5中，η隨著m的增大而減小。當m超過一定數值后，效率的減小趨向平緩。同時，根據齒輪傳動設計參數選擇理論，在強度和結構允許的條件下，應選取較小的模數。

3.3 傳動比i12對嚙合效率η的影響

取i12=1～10，其他參數不變。根據上述公式，利用Matlab編程繪出的傳動比i12與嚙合效率η關系如圖6所示。在圖6中，隨著i12的增大，η也隨之增加。當i12超過一定數值后，效率增加趨向平緩。

3.4 壓力角α對嚙合效率η的影響

取α=10°～30°，其他參數不變。根據上述公式，利用Matlab編程繪出的壓力角α與嚙合效率η關系如圖7所示。從圖7中可看出，η隨著α的增大而增大。當α超過一定數值后，效率增大趨向平緩。同時，根據齒輪傳動設計參數選擇理論，增大壓力角，有利于提高齒輪傳動的彎曲強度及接觸強度，減小不發生根切的最少齒數。但這也導致重合度降低，傳動平穩性差，噪聲增大，徑向力增大。

3.5 齒頂高系數ha*對嚙合效率η的影響

取=0.8～1.2，其他參數不變。根據上述公式，利用Matlab編程繪出的齒頂高系數與嚙合效率η關系如圖8所示。在圖8中，隨著的增大，η隨之減小。同時，根據齒輪傳動設計參數選擇理論，減小，可減少不發生根切的最少齒數，但減小將使重合度降低，傳動平穩性差，噪聲增大。

3.6 安裝誤差Δa對嚙合效率的影響

取中心距安裝誤差Δa=0～2 mm，其他參數不變。根據上述公式，利用Matlab編程繪出的安裝誤差Δa與嚙合效率η關系如圖9所示。在圖9中，隨著Δa的增大，η隨之增大。同時，根據齒輪傳動設計參數選擇理論，中心距安裝誤差過大，齒輪將不能正常嚙合。

4 算例

設計某螺旋輸送機傳動裝置中的直齒輪。其工作機的功率為2.1 kW，轉速為105 r/min。通過傳動比分配，i12=4.5。分別按齒根彎曲和齒面接觸強度計算得到模數，經比較取m≥2.41 mm。根據GB1357－87，標準模數可以取為m=2.5 mm或m=3 mm。在齒輪尺寸一定的情況下，模數與齒數成反比，即①m=2.5 mm時，z1=22;②m=3 mm時，z1=18。從上文結論中可以得到，選取小的模數/較多的齒數，有利于提高嚙合效率。分別計算兩種方案對應的效率（表1，取f=0.05）。從表1中可以看出，方案①的嚙合效率要高于方案②，即與所得結論相符。

表1 滿足強度情況下不同方案對應的嚙合效率

5 結語

針對直齒輪標準安裝和非標準安裝的情況，推導出了齒輪設計參數與嚙合效率之間的關系式，通過MATLAB編程繪制出了相應的關系曲線圖，結合齒輪傳動設計參數的選擇理論得出以下結論:

（1）當承載能力主要取決于齒面接觸強度時，選取較多的齒數有利于嚙合效率的提高。

（2）在強度和結構允許的條件下，適當減小模數，有利于嚙合效率的提高。

（3）傳動比增大，嚙合效率隨之增大，但當達到一定程度后，趨向平緩。因此，對于多級齒輪傳動，在總的傳動比一定的情況下，合理分配傳動比有利于提高整個齒輪傳動系統的效率。

（4）壓力角與嚙合效率同方向變化，在保證傳動平穩的前提下，適當增加壓力角有利于嚙合效率的提高。

（5）適當減小齒頂高系數有利于提高嚙合效率。

（6）合理增加中心距，有利于嚙合效率的提高。

因此，在滿足強度、壽命和正確傳動的前提下，應適當增加齒數、傳動比、壓力角和中心距，適當減小模數和齒頂高系數。同時采用合理的潤滑，減小摩擦因數。

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［2］Xu H，Kahraman A.Prediction of mechanical efficiency of parallel－axis gear pairs［J］.Journal of Mechanical Design，2007，129（1）:58－68.

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［9］鄭文緯，吳克堅.機械原理［M］.7 版.北京:高等教育出版社，2010.