珩磨機運動控制卡的三次B樣條曲線插補算法*

張萬軍 胡赤兵 張 峰 張國華 龔 俊

（①蘭州理工大學數字制造技術與應用省部共建教育部重點實驗室，甘肅蘭州730050;②蘭州理工大學機電工程學院，甘肅蘭州730050;

③蘭州工業化設備有限公司，甘肅蘭州 730050）

在數控珩磨機加工中，經常會遇到如飛機機翼、飛機葉輪等許多具有復雜外形輪廓的零件。在傳統數控加工中加工這些不規則曲線的零件時，加工程序只能通過離線方式CAD/CAM方式下編程來完成，這就使得加工速度受到嚴重限制。因此研究數控系統曲線的新的插補方法顯得尤為重要［1］。

三次B樣條曲線是在數控加工領域中應用較多的樣條曲線，它可以用來描述復雜曲線曲面的零件輪廓。數控珩磨機運動控制系統中通常用TMS320F2812芯片的結構專門為實時信號處理而設計，集實時處理能力和控制外設能力于一身，處理功能強大，使用各種伺服控制系統。本文介紹將三次B樣條曲線與DSP運動控制卡技術相結合的實時插補方法，該方法克服了傳統軌跡插補方法的缺點，有效地簡化了插補過程中的軌跡計算，提高了運算速度和控制精度［2］。

1 三次B樣條曲線實時插補

1.1 三次B樣條曲線的數學表示

在三維空間中有如下關系［3］:

式中:u為參變量數（u∈［0，1］），Ai為為一組系數矢量。

1.2 三次B樣條曲線的實時插補

設V為沿曲線的進給速度，可由曲線對時間t求導得到［4－5，7］:

因此，u對t的一階導數可以表示為

所以，一階展開式的近似計算公式為

當插補周期T→0時，ui+1≈ui，可以滿足泰勒公式一階展開式插補近似迭代。如果曲線曲率半徑很小，便于可以滿足泰勒公式二階展開式插補近似迭代:

式（6）、（7）中，當前ui+1與ui（xi，yi，zi）對泰勒公式求一階導數、兩階導數，得到（xi+1，yi+1，zi+1）的坐標點。

1.3 三次B樣條曲線的插補弓高誤差分析

由于三次B樣條曲線實時插補，在每一個插補點上不存在誤差，主要是弓高誤差影響了插補精度。弓高誤差指的是一段曲線上連接兩端點的弦與弧的最大法向差［3］。如圖1所示:2個插補點分別為p（ti）和p（ti+1），徑向誤差為e可用e≈MN來表示，求得p（ti）和p（ti+1）的坐標位置。令|p（ti）p（ti+1）|=V·T代入式（1）中得

1.4 三次B樣條曲線的插補算法流程圖

筆者針對上面插補算法的過程分析，給出了該插補算法的插補流程圖，如圖2所示。

2 利用DSP運動控制卡實時插補

本文采用的DSP運動控制卡數控珩磨機運動控制結構圖如圖3所示，USB和RAM具有通訊和存儲的功能，主要是以 TMS320F2812為核心控制，DSP控制速度達到40MIPS的速度，總線擴展通過CF卡來實現［6］。定時器T1、T2、T3發出的脈沖數來完成脈沖控制，通過控制運動控制卡定時器來調整插補軌跡，保證了3個驅動軸能同時到達預先的位置，實現3個驅動軸的空間插補，達到了高速高精度插補的要求。運動控制發出的信號通常為“脈沖（CP）+方向（DIR）”的形式，該運動控制器輸出三組脈沖/方向信號，實現數控系統的速度和位置控制［1］。

在TMS320F2812 DSP運動控制卡上進行實際控制時，每一臺電動機軸驅動器需要控制2個信號，一個脈沖CP信號和另外一個方向DIR信號。于是本文選用如圖3所示的DSP運動控制卡作為插補的數控系統，保證控制每一個軸的實際運動位置。應用這種插補方法，在插補器上進行調試，得到了預期的插補效果。下面主要介紹這種插補算法在硬件系統中實現的思想。

控制脈沖的發送是通過定時器T1、T2、T3中斷來完成，設一個周期內x軸、y軸、z軸的實際脈沖數為nnx、nny和nnz，令CPx=T/nnx，CPy=T/nny和CPz=T/nnz，則每一個脈沖的時間的坐標為{CPx，2CPx，3CPx，…，T}和{CPy，2CPy，3CPy，…，T}{CPz，2CPz，3CPz，…，T}。將 min{CPx，CPy，CPz}的值存儲在寄存器中，在定時器中發射脈沖數，向3個軸的方向移動坐標的位移。中斷查詢3個軸的脈沖數，使x軸、y軸和z軸的脈沖坐標相等完成查詢插補。

本文提出的插補算法是以x軸、y軸和z軸某一軸脈沖頻率為基準，使該軸發出的脈沖數與定時器中斷嚴格同步，也讓其他兩軸同步運動，從而盡可能保證了插補軌跡是一條空間曲線的運動軌跡。

3 插補實例

根據三次B樣條曲線實時插補算法，文章給出了空間三次B樣條曲線插補的實例。輸入型值點Q1=［0.636 0.742 11］，Q2=［0，0，1］，Q3=［25，30，6］，Q4=［50，50，16］;進給速度v=10 mm/s;插補周期T=0.01 mm。所確定的一段三次B樣條曲線插補的軌跡如圖4所示，是一條空間曲線完全符合插補運動的控制要求。

4 結語

三次B樣條曲線理論曲線和實際曲線發出脈沖數相等，無弓高等累計誤差從而說明理論曲線和實際曲線相吻合，驗證了該算法的正確性和合理性。該算法實現三軸的聯動插補，拓展了從平面到空間的插補。在DSP運動控制卡上實時插補能夠大大提高運算速度和運算準確性，也能夠提高加工精度和加工效率，在其他數控插補的過程中具有借鑒意義。

［1］王婕，王寶仁，張承瑞.基于DSP的嵌入式運動控制器插補算法及誤差補償研究［J］.組合機床與自動化加工技術，2007（6）:8－11.

［2］李廣濤，薛重德，侯小強.基于TMS320F2812的三次B樣條曲線實時插補［J］.中國制造業信息化，2008，12（23）:55－57.

［3］葉伯生，楊叔子.CNC系統三次B樣條曲線的高速插補方法的研究［J］.中國機械工程，1998，9（3）:42－－44.

［4］高鐘旈.機電控制工程［M］.2版.北京:清華大學出版社，2002.

［5］施法中.計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條［M］.北京:高等教育出版社，2001.

［6］蘇奎峰，呂強，靳嵐，等.TMS320X281X DSP原理及 C程序開發［M］.北京:北京航天航空大學出版社，2008.

［7］Feng Jingchun，Li Yuhao，Wang Yuhan，et al.Design of a real－time adaptive NURBS interpolator with axis acceleration limit［J］.Int J Adv Manuf Technol，2010，48（1－4）:227－241.