利茲法求解正交各向異性矩形板的彎曲

馮立華，楊加明，戴良忠，王 旭

(無損檢測(cè)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(南昌航空大學(xué))，南昌 330063）

0 引言

復(fù)合材料作為一種結(jié)構(gòu)材料，在航空航天、土木建筑、交通工程等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。對(duì)復(fù)合材料力學(xué)性能的分析，是安全、合理、有效地使用復(fù)合材料的基礎(chǔ)［1］。

正交對(duì)稱鋪設(shè)復(fù)合材料層合板的彎曲問題是復(fù)合材料板殼理論中較簡單的一種，對(duì)于四邊簡支的邊界條件，可采用雙重傅里葉級(jí)數(shù)解法［2］;對(duì)于兩對(duì)邊簡支，則可采用單傅里葉級(jí)數(shù)解法［2］。鐵摩辛柯［3］處理四邊固支板的方法是，在簡支矩形板的撓度上迭加沿各邊緣分布的彎矩所產(chǎn)生的撓度，彎矩是通過固支邊界條件求得。張福范［4］在處理此問題時(shí)采用力法與三角級(jí)數(shù)的混合解法，將雙重正弦級(jí)數(shù)代入變形能方程，由虛位移原理得到四邊簡支的基本系統(tǒng)解，再由固支邊界條件得出所求問題的解。

本研究采用利茲法先列出滿足邊界條件且含未知系數(shù)的撓度方程，通過最小勢(shì)能原理求解未知系數(shù)，由復(fù)合材料的應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系求出彎曲應(yīng)力，并同Ansys有限元結(jié)果進(jìn)行比較。

為使問題得到簡化，作如下假設(shè)［1］:

1)材料為線彈性正交各向異性;

2)板的厚度與其長度和寬度相比很小，即為薄板;

3)板近似為平面應(yīng)力狀態(tài);

4)變形前垂直于中面的直法線變形后仍垂直于中面;

5)只考慮小撓度和小應(yīng)變問題。

1 撓度方程

1.1 一級(jí)近似撓度方程

已知復(fù)合材料板的常數(shù)E1、E2、E3分別為材料在1、2、3 彈性主方向上的彈性模量;G23、G12、G13分別為2－3、1－2、1－3平面內(nèi)的剪切彈性模量;μ為泊松比。根據(jù)功能關(guān)系:

退縮剛度系數(shù)為［5］:

其中 c=cosθ，s=sinθ。

彎曲剛度矩陣［7］:

其中tk為單層板的厚度為第k層的中面坐標(biāo)，為第k層板剛度矩陣，分析如圖1所示的正交各向異性矩形板，板的長和寬分別為a和b，四邊固支，坐標(biāo)原點(diǎn)o置于板的中心。

設(shè)板的彎曲撓度為［8-11］

四邊固支的邊界條件為［12］:

圖1 正交各向異性矩形板Fig.1 Orthotropic rectangular plate

式(5)、(8)顯然滿足邊界條件(6)、(7)。

在式(5)中，僅取級(jí)數(shù)的第1項(xiàng)，即一級(jí)近似。取 m，n=0，A00=A，得到彎曲方程:

正交各向異性板的總勢(shì)能為［15］:

其中，q為橫向載荷集度。

對(duì)于圖1所示矩形板，假定橫向載荷集度q為均勻分布，積分后得到:

這樣所確定的Amn可使撓度方程最大限度地接近精確度解，就是利茲法的基本思想。由式(12)得到:

解上述方程，可求出A的值:

式(14)與文獻(xiàn)［8］的結(jié)果是一致的。代入式(9)得到一級(jí)近似撓度方程:

根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系，可用下式求出應(yīng)力［2］:

其中z為所求應(yīng)力點(diǎn)的高度坐標(biāo)，k為層數(shù)，к為曲率。因?yàn)榇税迳蠜]有中面變形，所以{ε0}=0。由曲率計(jì)算公式［16］:

矩形板的厚度取為h，正交各向異性板底面的應(yīng)力計(jì)算公式為:

根據(jù)式(9)和式(17):

1.2 四級(jí)近似撓度方程

不難證明，當(dāng) m，n為奇數(shù)時(shí)，系數(shù) Amn為0。不妨取四級(jí)近似，即截?cái)嗲?項(xiàng)，彎曲撓度的近似解為:

把上式展開后得到:

同理，可以求出正交各向異性板的總勢(shì)能為:

積分后得到:

聯(lián)立求解線性方程組(26)、(27)、(28)、(29)，即可得到系數(shù)Amn的值。

2 算例及對(duì)比分析

為方便同上述結(jié)果比較，本算例同時(shí)采用Ansys軟件計(jì)算板的彎曲和應(yīng)力，復(fù)合材料單元選擇shell181［17］。此單元是一種4節(jié)點(diǎn)三維殼單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度，分別為沿結(jié)點(diǎn)x、y、z方向的平動(dòng)和繞結(jié)點(diǎn)x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。該單元主要適用于中等厚度的薄板和薄殼單元，一般要求寬厚比大于10。

由于復(fù)合材料的各層材料性能為任意正交各向異性，材料性能與材料主軸取向有關(guān)，建模要相對(duì)復(fù)雜一些，在定義各層材料的性能和方向時(shí)要特別注意。

實(shí)體模型在進(jìn)行求解前，必須先對(duì)其劃分網(wǎng)格，生成有限元模型。Ansys程序提供了使用便捷、高質(zhì)量幾何模型網(wǎng)格劃分功能。基本的劃分過程分為3個(gè)步驟:定義單元類型及屬性;定義網(wǎng)格劃分控制;生成網(wǎng)格。網(wǎng)格的數(shù)量需要綜合考慮計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度和計(jì)算精度。本算例的實(shí)體共劃分了約40萬個(gè)網(wǎng)格。

Ansys中的載荷包括邊界條件和外部作用力。在實(shí)體模型上施加載荷，求解時(shí)自動(dòng)將載荷轉(zhuǎn)換到相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)和單元上。本研究所分析的邊界條件為四邊固支，載荷為均勻分布。

Ansys有2種后處理器，分別為通用后處理POST1和時(shí)間歷程后處理器POST26。通用后處理可用圖形和列表顯示結(jié)果。

薄板的有限元法的基本思想是將原來的薄板分割成為有限個(gè)小板(單元)，再對(duì)每個(gè)小板進(jìn)行單元分析，最后再重新組合起來成為原來的板。

圖1所示的矩形單元有4個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)有3個(gè)自由度，即撓度w、繞x軸的轉(zhuǎn)角 θx、繞 y軸的轉(zhuǎn)角θy。自由度數(shù)為3×4=12。結(jié)點(diǎn)i的3個(gè)位移分量組成向量如下:

單元結(jié)點(diǎn)位移矩陣為［18］:

矩形單元有4個(gè)結(jié)點(diǎn)，12個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量，1個(gè)撓度獨(dú)立變量，根據(jù)選取位移函數(shù)的原則，取:

將結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和結(jié)點(diǎn)位移代入上式，可解出a1～a12，再代入上式并整理得位移函數(shù):

已知復(fù)合材料板的彈性常數(shù)為:E1=185 GPa，E2=10.5 GPa，E3=10.5 GPa，G23=3.1 GPa，G12=G13=7.3 GPa，μ12= μ13=0.28，μ23=0.3，a=100 mm，b=400 mm，q=1 kPa，h=1.6 mm。

根據(jù)相應(yīng)的計(jì)算公式，求出的一級(jí)近似系數(shù)A=5.3644 ×10－19;四級(jí)近似系數(shù) Amn的值為:A00=0.3428 × 10－18;A02=0.5348 × 10－22;A20= － 0.4525 × 10－22;A22=0.1704 × 10－27。代入式(23)，可求得四級(jí)近似撓度方程w。

取板底面的1個(gè)結(jié)點(diǎn)，應(yīng)力計(jì)算結(jié)果為:

同理可得其他結(jié)點(diǎn)應(yīng)力值。

利茲法與有限元法的計(jì)算結(jié)果比較如圖2、圖3、圖4所示。圖2描述的是兩種方法計(jì)算撓度值的結(jié)果對(duì)比，從圖上可以看出，四級(jí)近似方程計(jì)算結(jié)果更接近有限元的計(jì)算結(jié)果，一級(jí)近似方程計(jì)算結(jié)果稍差。

從圖3可以看出，用四級(jí)近似計(jì)算x方向的應(yīng)力更接近有限元的結(jié)果;一級(jí)近似計(jì)算結(jié)果稍差。從圖4可以看出，對(duì)于y方向應(yīng)力值，三者的計(jì)算結(jié)果相差不大。其中，各個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(mm)分別如下:

2:(－28，－106);3:(－21，45);4:(－20，－50);5:(1，－50);6:(8，－50);7:(13，－50);8:(19，69);9:(29，50)。

3 結(jié)論

1)無論是撓度還是應(yīng)力，四級(jí)近似方程較一級(jí)近似方程精確度更高。

2)用利茲法求撓度，無論取級(jí)數(shù)的前4項(xiàng)還是只取1項(xiàng)，精確度都可以得到滿足;但是如果求應(yīng)力，只取1項(xiàng)是不夠的，必須取級(jí)數(shù)的前4項(xiàng)。

3)與Ansys比較，利茲法是一種數(shù)值解法，隨著所取的級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)越來越多，其結(jié)果越來越接近精確解，但計(jì)算工作量會(huì)大大增加。

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