一種基于橢球約束和Procrustes分析的磁矢量傳感器校正算法

謝啟源，陸宇平，喬 兵，李 淵

(南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京 210016)

矢量傳感器與標(biāo)量傳感器不同，存在自身誤差源的同時(shí)，還受載體磁場(chǎng)及其姿態(tài)擾動(dòng)的影響［1］，加上頻譜范圍很寬的地磁擾動(dòng)［2］，要獲得較高精度的測(cè)量磁場(chǎng)信息，必須對(duì)傳感器進(jìn)行校正。

磁傳感器的校正方法有很多，但用于標(biāo)量磁傳感器的校正方法不能滿足矢量傳感器的需求，對(duì)磁矢量傳感器的校正，國(guó)內(nèi)外都有相關(guān)研究［1，3－8］，校正方法主要分成兩大類(lèi)［3］:第 1 類(lèi)是將不同誤差進(jìn)行分別建模，并通過(guò)校正算法對(duì)每一種誤差參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)整個(gè)傳感器的校正，如基于 FLANN的誤差校正算法［4］、基于線性參數(shù)化模型的校正算法［5］等；第2類(lèi)是找到一個(gè)從測(cè)量值到真值的映射，實(shí)現(xiàn)傳感器的校正，如基于橢圓擬合［6］和橢球約束［7］的校正算法等。第2類(lèi)校正方法沒(méi)有第1類(lèi)校正方法那么直觀，但可以同時(shí)校正多種誤差。

本文提及的算法屬于第2類(lèi)校正方法，通過(guò)建立磁矢量傳感器的誤差模型，并在橢球約束算法的基礎(chǔ)上，使用正交Procrustes分析方法提高校正精度，最終實(shí)現(xiàn)傳感器的校正。

1 傳感器誤差模型及校正算法設(shè)計(jì)

假設(shè)磁矢量傳感器的測(cè)量軸與載體坐標(biāo)系重合，則其測(cè)量當(dāng)?shù)氐卮攀噶康恼嬷祽?yīng)為在載體坐標(biāo)系各軸上的投影，記為。磁矢量傳感器的輸出值為在傳感器3個(gè)軸上的投影，記為。此時(shí)，若不存在測(cè)量誤差和噪聲，有，但在實(shí)際安裝和測(cè)量情況下，理想無(wú)誤差狀態(tài)不存在，即一般情況下。本文介紹的校正方法就是估計(jì)一個(gè)映射關(guān)系f使得。

1.1 誤差模型建立

其中:

矩陣Cs與標(biāo)度系數(shù)誤差相關(guān)，si(i=x，y，z)為i軸的標(biāo)度系數(shù)偏差；Cη為安裝位置偏差引起的誤差，安裝誤差用歐拉角表示，ηx，ηy，ηz分別為按x，y，z軸旋轉(zhuǎn)的小角度；Cα包含了軟鐵誤差及傳感器的三軸非正交誤差，不失一般性，可以將其寫(xiě)成磁感應(yīng)系數(shù)形式 αij(i，j=x，y，z)，αij表示j軸方向上的外部磁場(chǎng)對(duì)i軸方向產(chǎn)生感應(yīng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)系數(shù)，1+αii表示由于軟鐵因素的影響，造成i軸方向上磁場(chǎng)強(qiáng)度的放大或縮小，且Cα不一定是對(duì)稱(chēng)矩陣。式中表示硬鐵偏差；為噪聲向量，并假設(shè)三個(gè)軸的噪聲相互獨(dú)立；

在一般情況下矩陣C是可逆的，并令G=C－1。由式(1)可以獲得到的映射可以表達(dá)為:

當(dāng)載體所處位置和姿態(tài)已知時(shí)，地磁矢量在載體坐標(biāo)系下的表示是已知常量，而且其模等于，而載體坐標(biāo)系下表達(dá)式如下:

理論情況下，3個(gè)分量在不同姿態(tài)下的值將構(gòu)成一個(gè)球心位于原點(diǎn)，半徑為當(dāng)?shù)氐卮艌?chǎng)標(biāo)量值的一個(gè)球面。當(dāng)?shù)氐卮艌?chǎng)參考值可以參考IGRF模型。對(duì)于測(cè)量值，從式(4)可以看出，不同姿態(tài)下的所有測(cè)量值被約束在一個(gè)橢球面上，硬鐵誤差決定橢球的中心位置、軟鐵誤差和標(biāo)度系數(shù)誤差決定橢球的長(zhǎng)短軸和扁率、安裝角度誤差和軟鐵誤差決定了橢球長(zhǎng)軸的指向。

再令:

2.維生素B1在細(xì)胞內(nèi)的功能主要是通過(guò)輔酶實(shí)現(xiàn)。肝臟中的硫胺素在ATP存在時(shí)，經(jīng)酶催化形成具有代謝活性的焦磷酸硫胺素（TPP），參與糖代謝，催化α-酮戊二酸和丙酮酸氧化脫羧基作用。葡萄糖是腦和神經(jīng)系統(tǒng)的主要能源。當(dāng)維生素B1缺乏時(shí)，α-酮戊二酸氧化脫羧障礙，中間產(chǎn)物丙酮酸和乳酸分解受阻而在組織內(nèi)大量蓄積，加上能量供應(yīng)不足，對(duì)腦和中樞神經(jīng)系統(tǒng)產(chǎn)生毒害作用，嚴(yán)重時(shí)引起皮質(zhì)壞死而呈現(xiàn)痙攣、抽搐、麻痹等神經(jīng)癥狀。糖代謝障礙進(jìn)而影響脂類(lèi)代謝，維生素B1缺乏時(shí)脂質(zhì)合成減少，髓鞘完整性被破壞，導(dǎo)致中樞神經(jīng)和外圍神經(jīng)系統(tǒng)損害，引起多發(fā)性神經(jīng)炎。

將式(4)展開(kāi)，可得N組測(cè)量方程的線性形式:

第i組殘差表達(dá)如下:

其中:

式(6)即為線性化量測(cè)方程。

1.2 參數(shù)估計(jì)

因?yàn)槭?6)中H帶有噪聲，所以采用總體最小二乘法［9］對(duì)進(jìn)行估計(jì)。將式(9)～式(11)聯(lián)立可得:

定義性能指標(biāo):

將HTH進(jìn)行奇異值(SVD)分解，取為H的最小奇異值對(duì)應(yīng)的奇異向量時(shí)，即取時(shí)，f(ξ)最小，由式(13)可求出。根據(jù)式(12)可知:

1.3 解正交Procrustes分析提高校正精度

Procrustes問(wèn)題就是求解下式的解的問(wèn)題:

若矩陣R滿足RTR=I的約束，式(17)就成了正交Procrustes問(wèn)題［10］。易知，本文的應(yīng)用屬于均衡正交Procrustes問(wèn)題。

因?yàn)榈卮艌?chǎng)模值與傳感器姿態(tài)無(wú)關(guān)，所以前面的校正過(guò)程未涉及安裝角度偏差，且暫避了RG的影響，現(xiàn)通過(guò)解均衡正交Procrustes分析來(lái)校正安裝角度誤差［11］，提高校正精度。令:

根據(jù)正交 Procrustes問(wèn)題的解為［12］R=UQ，其中Q=ATB，且Q的奇異值分解為Q=UQΣQ。最終經(jīng)修正后的傳感器校正映射為:

2 校正性能仿真分析

軟鐵誤差:

標(biāo)度因子誤差:

安裝角度誤差:

噪聲為零均值的高斯噪聲，仿真時(shí)為驗(yàn)證校正算法的魯棒性，選擇兩種噪聲水平進(jìn)行仿真，分別取:σ1=0.001Gauss，σ2=0.01Gauss。

測(cè)量點(diǎn)設(shè)置為北緯 32°02'，東經(jīng) 118°48'，海拔30 m。由IGRF模型知地磁矢量在地磁坐標(biāo)系下為=［0.32944 0.03020 0.36946］Gauss。真值如圖1所示，測(cè)量值如圖2所示，傳感器在兩種噪聲水平下工作，仿真結(jié)果如下。

圖1 由IGRF模型獲得的當(dāng)?shù)氐卮艌?chǎng)

圖2 由預(yù)設(shè)誤差所構(gòu)造的測(cè)量值，為橢球噪聲水平為0.001下的初步校正結(jié)果

由圖3可知，初步校正與真值之間存在旋轉(zhuǎn)關(guān)系，通過(guò)解正交Procrustes問(wèn)題之后獲得的仿真結(jié)果如圖4。

圖3 通過(guò)橢球約束法獲得的初步校正結(jié)果

圖4 噪聲水平為0.001Gauss時(shí)的最終校正結(jié)果

從圖4可以看出，校正算法在噪聲水平為0.001Gauss時(shí)能獲得很好的校正效果。將噪聲水平提高到0.01Gauss時(shí)，最終的校正效果如圖5所示，可以看出，噪聲水平變大時(shí)，球體邊緣毛刺較粗，可以通過(guò)后期進(jìn)一步處理來(lái)解決，就校正結(jié)果而言，較好的實(shí)現(xiàn)了測(cè)量系統(tǒng)的校正。

圖5 噪聲水平為0.01Gauss時(shí)的最終校正結(jié)果

3 結(jié)束語(yǔ)

磁矢量傳感器相對(duì)于標(biāo)量磁傳感器有許多優(yōu)勢(shì)，但是誤差源也較多。本文所介紹的校正算法是結(jié)合了橢球約束法和正交Procrustes分析的磁矢量傳感器校正算法，從仿真結(jié)果可以看出，該算法可以很好的對(duì)傳感器進(jìn)行校正，由于使用了總體最小二乘法，整個(gè)算法具有一定的魯棒性。由于算法易于實(shí)現(xiàn)，為后期用于航空平臺(tái)磁矢量傳感器的校正提供較好的理論基礎(chǔ)。

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