基于SST k－ω 湍流模型的平衡大氣邊界層模擬

胡 朋，李永樂，廖海黎

（西南交通大學橋梁工程系，四川 成都 610031）

0 引言

計算風工程（Computing Wind Engineering，簡稱CWE）是結構風工程中極具前景的一個方向，也是當前國際風工程研究的熱點。CWE的核心內容是計算流體動力學（Computational Fluid Dynamics，簡稱CFD），與傳統的風洞試驗相比，CFD 方法具有費用低、周期短、便于模擬真實環境、描述流場細節及給出流場定量結果等優點。自20世紀60年代興起以來，隨著數值求解方法的發展和計算機硬件技術的進步，CFD 在結構風工程中的應用越來越廣泛。

由于結構風工程研究的對象位于大氣邊界層內，研究的重點是鈍體繞流，其流動可視為低速、不可壓縮粘性流體的湍流運動，因此準確模擬大氣邊界層內的湍流流動是精確預測結構風荷載的前提，這在CFD 數值模擬中就首先要求其滿足水平均勻性［1］的條件，即在沒有任何障礙物的簡單邊界層流動下，數值模擬區域內的平均風剖面和湍流風剖面自入口到出口保持不變，這種滿足水平均勻性條件的邊界層稱為平衡大氣邊界層，邊界層內流場的水平均勻性程度直接影響數值模擬的精度。Blocken等［2］采用k－ε湍流模型模擬了兩平行建筑物內的風速分布情況并與相應的風洞試驗作對比，結果表明兩建筑物中心線上行人高度處風速放大系數的計算值與試驗值相差達15%左右，其原因主要是由于入口處的風速剖面在流動過程中發生了改變，即不滿足水平均勻性條件，從而使計算風速放大系數的參考風速發生了變化，當根據風速剖面變化對參考風速進行修正后，風速放大系數的計算值與試驗值吻合較好，文中還建議在進行數值模擬之前，應首先對無模型的空流場進行水平均勻性檢驗。嚴格說來，當且僅當計算區域入口處的來流邊界條件與湍流模型（包括壁面函數）及地表粗糙特性相協調時，才能得到水平均勻性的平衡大氣邊界層［3］，但由于湍流的復雜性，在數值模擬中精確實現平衡大氣邊界層常存在困難。Richards和Hoxey［1］基于k－ε湍流模型提出了滿足平衡大氣邊界層的幾個原則，給出了一組來流邊界條件，并對湍流模型參數的取值進行了探討，但文中所給出的湍動能邊界條件為一常數，這與實測結果及試驗結果不符。張建和楊慶山［4］基于標準k－ε湍流模型，將近壁區第一層網格的湍流量進行平均處理并施加剪切應力，從而使邊界層內沿流場不同位置處的流動特征量吻合程度較高。方平治等［5］通過修正的壁面函數并采用k－ε湍流模型對平衡大氣邊界層進行了研究，研究結果表明修正的壁面函數對粗糙度較大的風場效果較好。Yang等［6］從標準k－ε湍流模型方程出發，假設湍流在整個邊界層內處于平衡態，推導出一組隨高度變化的來流邊界條件，并以風洞試驗數據為參考，通過改變湍流模型參數，并考慮壁面粗糙度，較好地實現了邊界層流場的平衡，并將上述方法應用于SSTk－ω湍流模型［7］，但已有試驗表明，湍流能量僅在邊界層的內層范圍內才處于平衡［8－9］，并且湍流模型中的參數也是根據漸近性原則通過試驗確定［10］。已有研究多數是針對兩方程湍流模型中的k－ε模型，結構風工程研究中SSTk－ω兩方程湍流模型對鈍體分離流適用性較好，應用范圍較廣，但針對基于SSTk－ω湍流模型的平衡大氣邊界層的研究較為少見。

與已有的平衡大氣邊界層模擬方法不同，本文通過在湍流模型輸送方程中添加源項的方法使來流邊界條件與湍流模型相協調，從而實現CFD 分析中空流場大氣邊界層的平衡。研究中首先基于SSTk－ω湍流模型依次確定出平均速度剖面、湍動能剖面，并根據剪切應力為常量確定出比耗散率剖面，再通過湍動能與比耗散率輸送方程的平衡推導出源項的表達形式，最后通過相應的CFD 數值算例分別考察了不考慮源項與考慮源項時沿流場不同位置處的平均速度、湍動能及比耗散率剖面的一致性，驗證了本文方法的有效性。

1 SST k－ω 湍流模型

剪切應力輸送（Shear－Stress Transport，簡稱SST）k－ω湍流模型由Menter提出［11］，該模型綜合了k－ω模型在近壁區計算的優點和k－ε模型在遠場計算的優點，增加了交叉擴散項，并在湍流粘性系數的定義中考慮了湍流剪切應力的輸送過程，從而使SSTk－ω湍流模型應用范圍更廣。已有研究表明［12－13］，SSTk－ω湍流模型較傳統的k－ε湍流模型要更適用于具有逆壓梯度流動或分離流動的計算，因而前者更廣泛地應用于大氣邊界層鈍體繞流的計算中。以張量形式表達的SSTk－ω湍流模型的流場輸送方程為：

式中Γ、Γk、Γω為速度u（v或w）、湍動能k及比耗散率ω的有效擴散系數，其各自定義為：

μt為湍流粘性系數，其定義為：為k、ω的產生項，Yk、Yω為k、ω的耗散項，Dω為交叉擴散項，各項分別定義為：

式（1）～式（10）中，ρ為空氣密度，p為壓強；μ為分子粘性系數，S為平均應變率的張量模量；F1、F2為混合函數；σk、σω、α＊、α∞、β＊及βi為湍流模型中的系數；σω，2、α1為湍流模型常數；Si、Sk及Sω為各輸送方程的自定義源項，各項定義詳見文獻［14］。

對于SSTk－ω湍流模型模擬二維、定常、不可壓縮流動的平衡大氣邊界層，一般要滿足以下條件［1］：

（1）豎向速度v為零；

（2）壓強p為常數；

（3）剪切應力τ為常數；

（4）湍動能k與比耗散率ω滿足各自的輸送方程。

由以上條件并考慮到μ?μt［1，14］，由此可將流場輸送方程式（1）－（3）化簡可得：

2 邊界條件的確定

2.1 平均風速邊界條件［15］

若將大氣邊界層分為滿足“壁面定律”的近地層及滿足“速度虧損律”的外層兩部分，當存在某一重合區域使兩種定律都成立時，可得到對數律的風剖面表達式：

式中u（z）為不同高度處的平均風速，u＊為摩擦速度，Κ為卡門常數，取Κ＝0.42，z0為粗糙長度。一般認為，對數律表示大氣底層的風剖面比較理想，當為強風時適用范圍可更高。為考慮地面處z＝0m 時的速度，可將上式改寫為：

2.2 湍流邊界條件

FLUENT［14］為SSTk－ω湍流模型提供了多組湍流邊界條件形式，本文采用經常使用的湍動能k與比耗散率ω的一組湍流參數。對于湍動能k剖面目前沒有統一的表達形式，較多地采用包含湍流強度Iu（z）與速度u（z）形如k＝Ck［Iu（z）·u（z）］2的湍動能剖面形 式（其 中Ck為一常數）［2，16－18］，部分采用湍動能平衡假設而確定的湍動能剖面［4，6－7］，還有采用沿高 度 為 常數的湍動能剖面［1，19－20］等?？紤]到湍動能始終大于零，且湍動能的表達式常含u（z）2的因子，并注意到式（15），由此本文將湍動能剖面近似地表示為：

其中Cu1、Cu2為湍流邊界條件參數，可由試驗數據擬合得到，其它參數意義同前。

對于比耗散率ω的剖面形式目前研究較少。由上文的條件（3）：“剪切應力τ為常數”，則要求τ滿足：

其中τw為壁面剪切應力，由此可知當且僅當Su＝0時式（11）才 成立。對于式（5）μt表達式中的可視為一系數，為簡化μt的形式并便于后續公式的推導，在此先近似地定義湍流粘性系數為：

將式（15）、式（18）代入式（17）可得：

注意到式（16），由此可得比耗散率ω的剖面形式為：

3 源項的確定

與已有的平衡大氣邊界層模擬方法不同，本文通過在流場輸送方程式（11）～（13）中添加源項的方法使來流邊界條件與湍流模型相協調。由于Su＝0，以下著重考慮源項Sk及Sω的表達形式。

3.1 源項Sk 的表達形式

對于輸送方程式（12）左端第一項，由式（16）、式（18）及式（19）并根據函數積的求導法則可知：

對于式（12）左端第三項Yk，由式（8）、式（16）及式（20）可知：

其表達式形式與式（21）相似，而10ρβ＊kω的表達式與式（22）相似。由此可知，當項相疊加時，可將合并到這兩項之中，考慮方程式（12）成立，由此可得源項Sk的表達形式為：

式中引入兩個綜合系數C1k、C2k，其中C1k為考慮系數β＊／Κ及－10β＊／Κ，C2k為考慮系數及1／Κ，通過對項的合并處理大大簡化了Sk的形式。

3.2 源項Sω 的表達形式

源項Sω的確定方法與源項Sk的方法類似。對于方程式（13）左端第一項由式（18）、（19）及（20）并根據函數積的求導法則可知：

對于式（13）左端第二項Gω，由（7）、式（15）可知：

對于式（13）左端第三項Yω，由式（9）、式（20）可知：

對于式（13）左端第四項Dω，由式（10）、式（16）及式（20），并注意到k與ω僅為z的函數可知：

由方程式（13）成立，由此可得源項Sω的表達形式為：

同理上式中也引入了四個綜合系數C1ω、C2ω、C3ω及C4ω，這四個綜合系數分別與原位置未簡化的系數項相對應。

由于SSTk－ω湍流模型中各系數定義的復雜性，加之源項Sk、Sω均是基于簡化的湍流粘性系數推導而成，因此上述綜合系數C1k、C2k與C1ω、C2ω、C3ω及C4ω的表達形式可能比式（24）、式（29）中對應的未簡化的系數項要復雜得多。為弱化湍流模型系數及對各綜合系數具體形式的影響，并方便源項的應用，在此假設上述6個綜合系數均為常數。需要指出的是，由于SSTk－ω湍流模型的復雜性，即使在假設上述綜合系數均為常數的情況下也很難確定各系數的值，但注意到式（29）中簡化后的源項Sω中第一項為正，第二項與第四項均為負，而第三項的正負號則與參數Cu1及Cu2的取值有關，可認為第二項與第四項對流場的影響相似，若第三項也為正，同理可認為第一項與第三項對流場的影響也相似；另一方面，考慮到湍流封閉方程的構造中通常假設湍動能耗散相關項與湍動能方程中的對應項有相同的機制和公式［10］，對于SSTk－ω湍流模型則有：

其中f（ω）是比耗散率ω的相關項（如產生項、耗散項等；對于k－ε湍流模型，式中比耗散率ω則變為耗散率ε），而f（k）是對應的湍動能相關項，Cω是系數。若將上述思想引入到源項Sk及Sω的表達式中，則由式（24）可知：式（29）中Sω的表達式中沒有第二項及第三項?；谝陨戏治觯僭O式（29）中第二項與第三項對流場的作用可被其它兩項代替，于是可令簡化后的Sω表達式中第二項與第三項的系數C2ω＝C3ω＝0，由此就減少了未知參數，同時也簡化了Sω的表達形式。而對于Sk、Sω中剩余的綜合系數C1k、C2k與C1ω、C4ω，通過初步試算發現C1k與C1ω對流場水平均勻性的敏感性較強，而C2k與C4ω對流場水平均勻性的敏感性相對較弱，由此可先大致確定出C1k與C1ω的值，然后再確定出C2k與C4ω的值，最后再對各系數進行局部調整就可得到基本滿足水平均勻性的平衡大氣邊界層。

4 平衡大氣邊界層數值模擬驗證

根據上述分析，以下從數值模擬的角度來說明在湍流模型輸送方程中添加源項以實現平衡大氣邊界層的有效性。

4.1 數值計算模型

采用CFD 商業軟件FLUENT［14］對二維的空流場進行數值模擬分析，計算區域尺寸設定為12.0m×1.8m（x×z）（對于三維區域流動，由于側面常設置為對稱邊界條件，相當于二維區域流動），區域中沒有放置任何物體。采用結構化網格對計算區域進行離散，最小網格尺寸zmin為0.01m，最終劃分的四邊形網格總數為8000個，計算區域網格劃分如圖1所示（縱向為x軸，豎向為z軸）。流動設為二維不可縮的定常流動，計算模型采用SSTk－ω湍流模型，計算區域各邊界條件的定義如表1所示，其中入口處邊界條件表達式中的各參數均通過風洞試驗數據擬合得到［6］。此外，為說明源項Sk、Sω對實現平衡大氣邊界層的有效性，在流場的k、ω輸送方程中分不考慮源項和考慮源項兩種情況，不考慮源項時各綜合系數均取零值；考慮源項時，源項中各綜合系數值根據上文方法最終確定情況如表2所示。

表1 計算區域邊界條件Table 1 Boundary conditions of the computational domain

表2 輸送方程源項Table 2 Source terms of transport equations

對于求解控制參數的設置，壓力與速度耦合采用SIMPLEC算法，動量方程、湍動能及比耗散率輸送方程均采用二階離散格式，使用入口處來流邊界條件各特征量對流場進行初始化，殘差收斂精度均設置為1.0×10－6。

圖1 計算區域網格劃分示意Fig.1 Schematic diagram of mesh arrangement

4.2 數值模擬結果

當不考慮源項Sk、Sω時，流場收斂后提取沿流場縱向x＝－6m（入口處）、x＝－2m（靠近入口的1／3 總長處，也是模型常放置的地方）、x＝2m 及x＝6m（出口處）處的平均速度u、湍動能k及比耗散率ω的剖面如圖2所示，由圖可知，各處的速度剖面及比耗散率剖面總體上能保持一致，但入口處的湍動能剖面與其它位置的湍動能剖面差異明顯，表明此時的流場尚未達到平衡。而考慮源項時對應位置的各特征量剖面如圖3所示，由圖可知，各處的速度剖面、湍動能剖面及比耗散率剖面均有較高程度的一致性，表明此時的流場基本達到了平衡，較好地實現了平衡大氣邊界層。此外，對比圖2（a）與圖3（a）中的速度剖面可知，圖2（a）頂端處速度剖面的一致性較圖3（a）中的要稍差一些，同樣對于圖2（c）中比耗散率剖面在高度較低時其剖面的一致性也稍差于圖3（c）的。通過上述無源項與有源項時流場特征量剖面的對比表明，在湍流模型輸送方程中添加源項能較有效地實現大氣邊界層的平衡。

圖2 不考慮源項時不同位置的平均速度剖面及湍流特征剖面Fig.2 Profiles of average wind and turbulence wind at different positions without considering the source terms

圖3 考慮源項時不同位置的平均速度剖面及湍流特征剖面Fig.3 Profiles of average wind and turbulence wind at different positions with considering the source terms

5 結論

實現平衡大氣邊界層是進行數值模擬的前提，滿足平衡大氣邊界層的流場能顯著提高數值計算結果的精度［7］。本文基于SSTk－ω湍流模型，提出通過在湍動能與比耗散率輸送方程中添加源項的方法使來流邊界條件與湍流模型相協調，從而實現CFD 分析中空流場大氣邊界層的平衡。CFD 數值算例表明在湍流模型輸送方程中考慮源項能較好地實現大氣邊界層的平衡，驗證了本文方法的有效性。本文提出的方法雖然僅針對SSTk－ω湍流模型，但從方法實現的過程來看，同樣適用于標準k－ω及k－ε系列等兩方程湍流模型，具有一定的普遍性。本研究為平衡大氣邊界層的研究提供了新的思路和研究方法，對結構風工程中CFD 數值模擬有一定的理論及應用價值。

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