三維雙楔面定常超聲速流動研究

楊 旸，滕宏輝，姜宗林

（中國科學院力學研究所高溫氣體動力學重點實驗室，北京 100190）

0 引言

三維雙楔面超聲速流動是一個具有廣泛應用背景的研究問題。對于超聲速／高超聲速飛行器，其翼身結合、垂尾／平尾夾角等處會形成復雜的三維激波／激波相互作用和激波／邊界層相互作用，影響飛行器的氣動性能。又如對于超燃沖壓發(fā)動機三面壓縮進氣道，雙楔面超聲速流動形成的三維激波結構會導致低總壓區(qū)的形成，降低進氣道的總體性能。過去的幾十年里，人們對于該問題給予了足夠的重視并開展了較多的研究［1－7］。Charwat等［1］對該問題做出了較早的研究，并依據實驗結果闡述了三維激波相互作用后形成的橋激波、透射激波等基本波系結構。Watson等［2］通過實驗發(fā)現透射激波與邊界層相互干擾形成的三維λ波及三維渦結構，并依此解釋了壁面熱流和壓力的變化。Marsilio［5］對該問題中渦的不穩(wěn)定性做出了數值研究，結果顯示隨著來流馬赫數的增加，截面上的滑移線逐漸卷起形成對稱結構的渦，并隨著馬赫數的進一步增加而失穩(wěn)并不再對稱。岳連捷等［6］從進氣道角度研究該問題，發(fā)現激波相互作用形成的橋波區(qū)總壓恢復系數較低，并研究了楔面角度變化對橋波區(qū)的影響。該雙楔面超聲速流動問題主要包括遠離邊界層近似無粘的激波／激波相互作用和粘性主導的激波／邊界層相互作用兩個方面，在具體研究過程中可以將其分別討論。圖1是該三維無粘流動的示意圖，其中來流馬赫數為M0，兩個楔面的傾角和激波角分別為θ和β，前緣后掠角及雙楔面間夾角分別為χ和ν。θn和βn分別為垂直于楔面前緣方向上的楔面角度和斜激波角，當后掠角χ趨于0時θn和βn分別趨于θ和β。超聲速流動使得兩個楔面上分別形成斜激波面i，其相互作用后在對稱面反射形成規(guī)則或馬赫反射。對于馬赫反射，在兩楔面夾角處形成橋激波m。圖2為Goonko等［7］的無粘數值模擬結果中垂直于來流方向的二維截面上的激波結構。可以看到，截面中的定常激波在對稱面上反射形成了過渡馬赫反射和雙馬赫反射結構，然而這兩種反射結構在二維定常激波反射中是無法形成的［8］。因此，三維雙楔面超聲速流動形成的激波／激波相互作用在二維截面上的定常激波反射結構無法用二維定常激波反射理論解釋。之前人們的研究大多是通過實驗和數值模擬得出結論，并沒有從理論上分析和解釋三維空間內形成這種激波結構的原因，也沒有給出形成各種不同馬赫反射結構的來流馬赫數和楔面傾角組合范圍。本文著眼于遠離邊界層的三維激波相互作用，通過理論分析將該三維定常激波相互作用與二維非定常激波反射建立聯系，解釋了二維截面上形成過渡馬赫反射和雙馬赫反射的原因。同時，通過二維簡化，利用非定常激波楔面反射理論求解得出截面上形成各種反射結構的馬赫數和楔面傾角組合范圍以及雙楔面間夾角、前緣后掠角的影響，并通過數值模擬加以驗證。

圖1 三維雙楔面超聲速流動示意圖Fig.1 Schematic of supersonic flow over 3－D intersecting wedges

圖2 二維橫截面上過渡馬赫反射和雙馬赫反射Fig.2 The transitional－Mach reflection and double－Mach reflection on 2－D cross section

1 理論分析方法

由于本文所探討的雙楔面是對稱結構，因此在兩楔面之間三維空間中存在有對稱面，理論分析時只需考慮對稱面的一側即可。由于目前為止還沒有三維激波相互作用的理論，因此該三維問題需要二維簡化后才能進行理論分析。將三維激波簡化到二維截面進行分析的前提是截面內的激波只具備二維特性，即在截面內二維激波前后垂直于截面的氣流速度分量不因激波的存在而改變，二維激波的存在只改變了截面內平行于截面的氣流速度分量。基于以上考慮，選取垂直于斜激波面i與對稱面的交線AB的截面作為二維特征截面簡化該三維問題，如圖3 所示。圖4是該特征截面的示意圖，截面內激波i′前后的氣流速度分別被分解為垂直于截面的速度分量和平行于截面的速度分量。若能證明激波前后垂直于截面的速度分量相等，即M0n＝M1n，則此二維簡化是可行的。以下對此進行證明：

對于來流馬赫數M0，前緣后掠角和雙楔面間夾角分別為χ和ν的流動，來流經過斜激波面i后的速度矢量為：

其中：

AB方向的矢量為：

圖3 理論分析方法示意圖Fig.3 The schematic of theoretical analysis

圖4 二維特征截面Fig.4 The 2－D characteristic cross section

又有：

因此，可以求得M1在AB方向的投影為：

同時，不難得出M0n＝M0cosγ，由此證明了二維特征截面上激波兩側垂直于截面的氣流速度分量相等，即將三維激波結構簡化到該二維特征截面進行分析是正確的。

在二維特征截面內，激波i′前平行于截面的氣流速度分量為：

該速度分量方向平行于二維特征截面與對稱面的交線s。DF為二維特征截面內垂直于激波i′的直線，通過幾何關系不難證明DF 垂直于斜激波面i。由點A、B、C的坐標可得斜激波面i及直線AB的解析式，即可通過點到平面和直線的距離公式求出EF 和DE，最終得出二維特征截面內激波i與對稱面s的夾角：

在二維特征截面內，定常激波i′靜止，激波前的空氣以馬赫數M0τ沿二維特征截面與對稱面的交線s朝著激波方向運動。通過伽利略變換，截面內激波i′前方的空氣變換為靜止狀態(tài)，激波i′以馬赫數M0τ沿著二維截面與對稱面的交線s方向運動并形成反射。至此，通過伽利略變換，二維特征截面內定常激波反射問題轉變?yōu)榱朔嵌ǔ＜げǖ男娣瓷鋯栴}，如圖5所示。由于在一定的激波馬赫數和楔面傾角組合下非定常激波楔面反射可以形成過渡馬赫反射和雙馬赫反射，因此二維截面內形成以上兩種馬赫反射結構的現象也得到了解釋。同時，激波馬赫數M0τ以及激波與對稱面夾角 都已求得，因此可以通過二維非定常激波楔面反射的結論求解該截面內激波反射構造，并得出三維空間內激波相互作用結構。

圖5 伽利略變換后運動激波反射示意圖Fig.5 Schematic of the pseudo－steady shock wave reflection after the Galilean transformation

2 數值模擬方法

本文研究三維空間內激波相互作用結構，粘性作用可以忽略，因此采用三維Euler方程作為控制方程。對于理想氣體，直角坐標系下的控制方程可以表達為：

上述表達式中，ρ、p和E分別代表氣體密度、壓力和單位質量總內能，u、v和w為氣體在x、y和z方向上的速度分量。單位質量總內能表達式為：

控制方程的離散為如下方程：

其中的對流項通量項F、G、H利用二階NND 格式［9］求解，采用minmod函數作為限制器。計算域網格采用正交化處理后的均勻結構網格。由于采用并行程序計算，網格數達千萬量級。計算域入口給定來流條件；出口邊界假定沿來流方向流場參數變化很小，邊界條件由外推法給出；上邊界和右邊界給定無反射邊界條件；固壁邊界采用無穿透邊界條件。

3 結果與討論

3.1 無后掠角垂直雙楔面

對于兩個楔面間夾角ν＝90°且后掠角χ＝0°的情況，在不同馬赫數和楔面傾角的組合下，入射斜激波在對稱面上反射形成各種不同的反射結構。圖6為本文通過數值模擬得出的在垂直于自由來流速度方向的截面上形成的規(guī)則反射（RR）、單馬赫反射（SMR）、過渡馬赫反射（TMR）以及雙馬赫反射（DMR）結構。由于二維非定常激波楔面反射理論中弱激波反射理論尚不完善，本文中暫不考慮弱激波反射問題。對于無后掠角垂直雙楔面，M0τ和η的表達式可簡化為：

圖6 截面上激波反射結構Fig.6 The shock reflection patterns on the cross section

這樣，對于不同的來流馬赫數以及楔面傾角所對應的激波角，M0τ和η就可以求得。通過伽利略變換，可以在二維特征截面內將定常的激波反射問題轉換為以M0τsinη的馬赫數運動的激波在傾角為90°－η的楔面上的反射，如圖5所示。由此通過二維非定常激波反射已有的結論就可以求得二維特征截面內激波反射構造。圖7為理論分析及數值驗證結果，圖中橫坐標為自由來流馬赫數，縱坐標為楔面傾角，曲線代表通過上述理論分析得出的各種激波反射結構的分界線，各圖標分別代表在各馬赫數和楔面傾角組合下的數值模擬結果，其中實心圓點表示在給定馬赫數下由于楔面傾角過大而形成了脫體激波。可以看到，理論分析結果與數值結果吻合良好，由此可以證明通過二維簡化分析該三維問題是正確的，以及通過二維非定常激波反射解釋該三維激波構造是可行的。

圖7 不同楔面傾角和馬赫數組合下截面上的激波反射結構（υ＝90°，χ＝0°）Fig.7 The shock reflection patterns on the cross section for different combinations of wedge angles and Mach numbers（υ＝90°，χ＝0°）

3.2 雙楔面間夾角及前緣后掠角的影響

當兩楔面間夾角ν≠90°或前緣后掠角χ≠0°時，二維截面上各種激波反射結構的形成范圍與無后掠角的垂直雙楔面的結果有所不同。以下分別討論兩楔面間夾角以及前緣后掠角的影響。對于ν≠90°，χ＝0°的情況，M0τ和η的表達式可簡化為：

圖8為通過上述理論分析所得出的兩楔面間夾角對截面上激波構造的影響及數值模擬對此結果的驗證。可以看到，隨著兩楔面間夾角的變化，二維截面上各種激波反射結構出現的范圍也有所變化，即隨著兩楔面間夾角的減小，單馬赫－過渡馬赫反射以及過渡馬赫－雙馬赫反射的分界線朝著來流小馬赫數方向移動，而馬赫－規(guī)則反射分界線朝大楔面傾角方向移動。注意到在圖8（d）中由理論分析得出的規(guī)則反射區(qū)中出現了馬赫反射的數值結果。值得注意的是，圖8中的規(guī)則－馬赫反射的實線分界線均是由聲速準則（θS）得出的。von Neumann準則要求來流馬赫數大于Mc0＝2.202，當兩楔面夾角為120°和105°時各種來流馬赫數和楔面傾角組合下二維截面內來流馬赫數均小于Mc0，而當ν＝60°及75°時部分組合下截面內來流馬赫數達到Mc0，可以得出該情況下的von Neumann準則（θN），即圖8（c）、（d）中的虛線。通過數值模擬可以得出，在該虛線上下，激波結構分別呈馬赫反射和規(guī)則反射結構，即此時二維定常激波反射所遵循的von Neumann準則代替聲速準則成為規(guī)則－馬赫反射轉變的分界線。

圖8 不同楔面傾角和馬赫數組合下截面上的激波反射結構（υ≠90°，χ＝0°）Fig.8 The shock reflection patterns on the cross sectionfor different combinations of wedge angles and Mach numbers（υ≠90°，χ＝0°）

對于ν＝90°，χ≠0°的情況，M0τ和η的表達式可簡化為：

圖9是通過上述理論分析所得出的前緣后掠角對截面上激波構造的影響以及數值模擬對此結果的驗證。隨著后掠角增大，單馬赫－過渡馬赫反射以及過渡馬赫－雙馬赫反射分界線向來流高馬赫數方向移動，而規(guī)則－馬赫反射分界線向小楔面傾角方向移動。注意到圖9的幾種情況下二維截面內的激波馬赫數均達不到Mc0，即不存在由von Neumann準則得出的規(guī)則－馬赫反射分界線。

圖9 不同楔面傾角和馬赫數組合下截面上的激波反射結構（υ＝90°，χ≠0°）Fig.9 The shock reflection patterns on the cross section for different combinations of wedge angles and Mach numbers（υ＝90°，χ≠0°）

4 結論

本文采用理論分析和數值模擬相結合的方法，對三維雙楔面超聲速流動無粘激波結構做出了研究，得出以下結論：

（1）三維雙楔面超聲速流動形成的定常激波結構可以通過二維簡化利用二維非定常激波反射理論分析得出。理論分析結果指出，入射斜激波會在對稱面上反射形成規(guī)則反射、單馬赫反射、過渡馬赫反射以及雙馬赫反射等多種激波反射結構，并通過數值模擬對此結果進行了驗證；

（2）通過理論分析探討了兩楔面間夾角和前緣后掠角對該激波反射結構的影響，得出了在不同雙楔面夾角和后掠角下各種激波反射構造的形成范圍，并分析了各種反射構造形成范圍的變化趨勢；

（3）在二維截面上兼有二維非定常激波和定常激波反射的特性，即形成了類似于二維非定常激波楔面反射的多種馬赫反射結構，同時其規(guī)則－馬赫反射轉變卻遵循二維定常激波反射所遵循的von Neumann準則。

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