短期聚合理賠總量的平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布的近似計(jì)算

辛士波

（北京工商大學(xué)，北京 100048）

0 引言

記隨機(jī)變量Ci為某類保單第i次個(gè)別理賠額，隨機(jī)變量N為某個(gè)時(shí)段（例如一個(gè)會(huì)計(jì)年度）這類保單發(fā)生理賠的次數(shù)，則短期聚合理賠總量S為:

式中C1,C2,…同分布，N與C1,C2,…獨(dú)立，當(dāng)N服從參數(shù)為 λ的 Poission分布 P(λ)時(shí)稱 S服從復(fù)合Poission分布。S的數(shù)學(xué)期望、方差和偏斜度為:

式中 pj(j=1,2,3)是Ci的 j階原點(diǎn)矩[1]。

關(guān)于S的近似，當(dāng)Ci有偏斜時(shí)，文獻(xiàn)[2]給出了應(yīng)用密度函數(shù)為g(x-x0;α,β)的平移伽瑪分布做近似的方法，式中的α和β是伽瑪分布的參數(shù)，x0是平移量。x0、α和β與λ和 pj(j=1,2,3)的關(guān)系為:

本文選取另一個(gè)有偏分布——平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布研究S的近似，并對(duì)兩種近似方法做出比較。

1 平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布

1.1 可行性分析

關(guān)于S的近似，當(dāng)Ci有偏斜時(shí)，文獻(xiàn)[2]給出了應(yīng)用密度函數(shù)為g(x-x0;α,β)的平移伽瑪分布做近似的方法，g(x-x0;α,β)中的α和β是伽瑪分布的參數(shù)，x0是平移量。使用平移伽瑪分布近似短期聚合理賠總量的原因在于平移伽瑪分布具備右偏特征，且依據(jù)近似原理得到的參數(shù)估計(jì)式簡單易算，并沒有相關(guān)理論研究說明平移伽瑪分布近似的效果是最好的，故有理由認(rèn)為其它具備右偏特征的分布也可以作為S的近似分布。

平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布是將對(duì)數(shù)分布平移后得到的分布，具備了對(duì)數(shù)正態(tài)分布右偏的特征。對(duì)數(shù)正態(tài)分布是非壽險(xiǎn)精算中常用的分布，其地位不亞于伽瑪分布，其取自然對(duì)數(shù)變化之后服從正態(tài)分布的特征使其地位在某些情況下更優(yōu)于其它右偏分布，只是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的數(shù)字特征較伽瑪分布復(fù)雜，但隨著計(jì)算機(jī)高度發(fā)展的今天，使原本復(fù)雜的計(jì)算變得越來越簡單，精度也更加精確。

綜述所述，使用平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布作為短期聚合理賠總量的近似分布是可行的。

1.2 概率統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布是將對(duì)數(shù)分布平移后得到的分布，令隨機(jī)變量X服從平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布，若對(duì)數(shù)正態(tài)分布logN(μ,σ2)的密度函數(shù)為 f(x;μ,σ2)[3]，參考平移伽瑪分布的記法，記平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布為logN(x-x1;μ,σ2)，密度函數(shù)為 f(x-x1;μ,σ2)，且其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

（4）式中，f(·)為平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)，μ、σ2為參數(shù)，x1是平移量。

平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布logN(x-x1;μ,σ2)的期望、方差及偏斜度見（5）式。

根據(jù)平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)，服從平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布logN(x-x1;μ,σ2)的隨機(jī)變量X取自然對(duì)數(shù)之后的lnX應(yīng)服從平移正態(tài)分布，且平移量x1轉(zhuǎn)化為lnx1，而平移正態(tài)分布是正態(tài)分布平移之后得到，故在logN(x-x1;μ,σ2)平移量x1已知的前提下，可根據(jù)轉(zhuǎn)換后的平移正態(tài)分布數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)μ和σ2的參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。

2 近似公式

將（5）式用于S的近似，可得：

（8）式是以λ和 pj(j=1,2,3)為已知，x1、r和t為未知的方程組，在求解t的過程中需要解一元六次方程，注意到因?yàn)棣遥?，所以取t＞1。求解（8）式得到 x1、r和t后可依（7）式求得μ和σ2，從而求得LogN(x1,μ,σ2)的全部參數(shù)。

3 近似效果對(duì)比

設(shè)個(gè)別理賠額Ci服從指數(shù)分布Exp(θ)，所以：

將（9）式代入方程組（8）式的左端，經(jīng)化簡，t（t＞1）由方程：

可求得 x1和r，再依（7）式求得 μ和 σ2。

為對(duì)比平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布和平移伽瑪分布對(duì)于S的近似效果，將（9）式代入（3）式，求得平移伽瑪分布的參數(shù)值為

現(xiàn)取θ=1,2,3,4,5，λ=6，依（10）式計(jì)算平移伽瑪分布的參數(shù) x0、α和β，依（7）式和（8）式計(jì)算平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)x1、μ和σ2，計(jì)算結(jié)果見表1。

依表1的參數(shù)值，應(yīng)用Matlab6.5軟件[4]，計(jì)算λ=6時(shí)不同θ和θ=6時(shí)不同λ對(duì)應(yīng)的平移伽瑪分布和平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)值見表2，表2中①表示平移伽瑪分布，②表示平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

表1 λ=6時(shí)不同θ對(duì)應(yīng)的平移伽瑪分布參數(shù)和平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布參數(shù)

表2 λ=6時(shí)不同θ對(duì)應(yīng)的平移伽瑪分布和平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)值

表2的計(jì)算結(jié)果說明，短期聚合理賠總量S的平移伽瑪分布近似和平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布近似的分布函數(shù)值差異較小，特別是對(duì)于給定的θ，這兩個(gè)分布的分布函數(shù)隨著x的增大，越來越接近，表明將對(duì)數(shù)正態(tài)分布用于近似短期聚合理賠總量S具有良好的右尾部近似性質(zhì)，而且短期聚合理賠總量模型中，右尾部對(duì)應(yīng)的是大額賠付。

4 結(jié)論

對(duì)于短期聚合理賠總量S的近似，原有的研究結(jié)果表明，平移伽瑪分布近似是一種有效的近似方法。本文說明，在一定范圍內(nèi)短期聚合理賠總量的平移對(duì)數(shù)正態(tài)分布近似是可行的，進(jìn)而指出短期聚合理賠總量的平移伽瑪分布近似的不唯一。

[1]王曉軍,江星,劉文卿.保險(xiǎn)精算學(xué)[M].北京:人民大學(xué)出版社，1995.

[2]謝志剛,韓天雄.風(fēng)險(xiǎn)理論與非壽險(xiǎn)精算[M].天津:南開大學(xué)出版社，2000.

[3]茆詩松.統(tǒng)計(jì)手冊(cè)[M].北京:科學(xué)出版社，2003.

[4]張志涌,徐顏琴.Matlab教程－基于6.x版本[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2002.