關于三點式振蕩器關鍵問題的探討

2012-10-12 03:28:14于紅兵張金華

電氣電子教學學報 2012年6期

于紅兵，張金華

(成都信息工程學院通信工程系，四川成都610225)

三點式振蕩器作為常見的振蕩電路獲得了普遍的應用，但關于它的工作機制的描述，在現有“高頻電子線路”課程教材的理論分析中，仍然有一些值得商榷之處［1-5]。

本文從振蕩器的信號特點入手，結合反饋型振蕩器的結構特點，引出復頻域環路增益與相量形式的環路增益的概念，并對兩者的不同取值特點加以分析，得到環路增益的一般計算原則。為了方便地求出某些較為復雜的振蕩器的環路增益，本文提出了一種較為簡便的算法，并應用到三點式振蕩器的計算中，分析三點式振蕩器起振條件關鍵問題的細節。筆者還討論了這一計算過程及其計算結果與傳統認識的不同之處，并且用相應的實驗加以驗證。

1 環路增益概念

文獻［6，7] 提出了電路起振是零激勵線性電路的本征問題，信號模式為est。文獻指出有普適意義的電路起振條件判據是:存在復數s0，使復頻域中的環路增益T(s0)=1，而且Re(s0)＞0，Im(s0)≠0。s0正是微分方程通解所涉及的特征根，而T(s0)=1是特征方程，以上條件說明特征根在復平面的右半平面。所以，復頻域形式的環路增益與通常的相量形式的環路增益相比較，前者是更基本的概念。然而復頻域形式的環路增益到底從何而來呢?本文將闡釋如下。

起振時信號模式為est，說明所有電路變量均以est的形式變化，因而任意兩個電路變量之間將保持固定的比例系數(一般為復數)。

對于反饋型振蕩器而言，如果能進一步找到電路變量y1，y2，…，yn之間一一對應且各不相同的約束關系并構成閉合的約束鏈:y2=K1y1，y3=K2y2，…，yn=Kn－1yn－1，y1=Knyn。則有:y1=KnKn－1…K1y1。由于y1≠0，因此KnKn－1…K1=1。又由于電路中存在電抗元件，因而K1，K2，…，Kn中至少有一個與s有關。所以KnKn－1…K1=1是s的函數，可稱為復頻域形式的環路增益，記為T(s)。KnKn－1…K1=1即為T(s)=1，可由此解出特征根s=s0，因而這一關于特征根的方程正是特征方程。另一方面，T(s0)=1等價于T(s0)y1=y1，其物理意義在于:無論電路處于何種狀態(起振時或達到平衡后)，反饋量與原值一定相等。

以上分析既給出了復頻域形式環路增益的構造性定義，又闡述了它在實際電路中必然取值為1的理由，同時還引導出了它的一般計算方法。文獻［7] 中，對如圖1所示的共射變壓器耦合振蕩器環路增益的計算正是遵循了這種方法，從而得到了與仿真實驗結果相吻合的起振條件。其約束關系為

上式中，rbe是晶體管的共射交流輸入電阻，β是晶體管的共射交流電流放大倍數，n是變壓器的匝數比

圖1 共射變壓器耦合振蕩器

因而復頻域形式的環路增益為

文獻［6] 肯定了用相量法同樣可以表達起振條件。通常，一個振蕩器能夠在某個ω1處滿足T(jω1)＞1，且T(ω)/ω|ω=ω1＜0，該振蕩器便可以起振。T(ω)是T(jω)的幅角。這里這一相量形式環路增益T(jω1)＞1的要求與起振時復頻域形式環路增益T(s0)=1的要求并不矛盾。其要點在于，jω1并不是起振時的特征根，分析相量形式的環路增益T(jω)即是討論復頻域形式的環路增益T(s)在虛軸上的取值特點，而這有助于判斷特征根到底是在右半平面還是在左半平面。如此一來，就可以不用求解特征方程(它常常轉化為難解的高次方程)，從而可以簡化計算。

2 常見振蕩器的環路增益計算

常見振蕩器的結構都可以用圖2的形式表示。它由一個三端口網絡和一條反饋線構成，其中三端口網絡內部的反饋可忽略。以圖1所示的共射變壓器耦合振蕩器為例，去掉反饋線后，A點、B點和地之間的電路構成三端口網絡，這個三端口網內部的反饋可忽略。

圖2 振蕩器結構圖

首先，對三端口網絡可應用雙口網絡的Z參數等效，其伏安關系為

由于三端口網絡內部的反饋可忽略，故Z12=0。用Z參數等效電路取代三端口網絡，得到圖3所示的與原振蕩器等價的電路。

圖3 圖2所示振蕩器的等效

此電路中，在電路變量i1與vs之間存在著由兩個不同的約束關系構成的閉合約束鏈為?

根據環路增益的構造性定義，有

以共射變壓器耦合振蕩器為例，有

Z11=rbe，Z22=1/［Cs+以及Z21=β/n［Cs+] ，由此得到的環路增益與前面直接在原振蕩器中討論的結果相同。

式(2)中需要計算的量都是三端口網絡的Z參數，因此這種計算環路增益的方法可稱為環路增益的Z參數算法。類似地也可以推導出環路增益的g參數算法和h參數算法等。這些算法在計算時考慮的對象已經不是含有反饋線的原振蕩器，而是去掉了反饋線的三端口網絡。這將切斷原電路中的反饋聯系，在不少情況下，電路對象的結構復雜性將大大降低，環路增益的計算也就成為可能。

3 三點式振蕩器的完整分析

三點式振蕩器其交流通路如圖4所示。該電路所需元件不多，但其結構的復雜性并不低。對此，不少教材中認為三個電抗元件X1，X2和X3構成諧振回路［2-5]，因此令X1+X2+X3=0作為諧振條件，以此為邏輯起點用于推導其他關系。筆者認為，這是值得商榷的。因為諧振這個概念在其一般意義上指的是在某個頻率下端口特性為純電阻(包括零和無窮大)，不可能針對某個電路再給出一個不同的定義。對于三點式振蕩器中的三個純電抗元件，這是不會出現的現象(阻抗不可能成為實數或無窮大)。

圖4 三點式振蕩器的交流通路

如果采用環路增益的Z參數算法，X1+X2+X3=0將成為以下推導的一個成果，從而可以重新理出一條分析的線索。圖4已經將三點式振蕩器畫為由一個三端口網絡和一條反饋線構成。去掉反饋線，考慮剩下的三端口網絡。當三極管內部的反饋可忽略時，有

將上式代入式(2)中，得到

如果求特征根，則將面臨求解至少三次方程的問題，所以需要轉而以相量法進行分析。這時X1，X2和X3都是虛數，如果要求T(jω1)＞1，為保證T(jω1)為實數，考慮到式(4)分子項和分母第二項都是實數，則必有

因此，X1+X2+X3=0并不是由于存在諧振而引出的結論。而T(jω1)=β·X1/X2＞1，即

這就是三點式振蕩器的定性要求(即:“X1，X2的電抗符號應相同，X3與X1，X2的電抗符號應相反”)的理論依據。根據文獻［6] ，起振時還要求T(ω)/ω|ω=ω1＜0。現證明如下。

所要解決的問題是:如果在ω1處使X1+X2+X3=0，要證明在β＞X2/X1(即T(jω1)＞1)的情況下r(ω)/ω|ω=ω1＜0。為此在很接近于ω1的ω2=ω1+Δω(ω1＞＞Δω＞0)處，考察T(jω1)的取值情況。根據式(4)有

當ω=ω1時，分子和分母第二項為正實數，分母第一項為零，T(ω=ω1)=0;當ω=ω2=ω1+Δω時，由于Δω很小，分子和分母第二項仍將保持為正實數，記X1=jx1，X2=jx2，X3=jx3。若有x1+x2+x3＞0，則T(ω=ω2)＜0，使T(ω)/ω|ω=ω1＜0。于是問題轉化為求證(x1+x2+x3)/ω＞0。考慮到X1，X2和X3原則上分別都是電抗元件的混聯。如果將這種混聯后的電抗值統一地記為x，則需一般性地證明x/ω＞0。

我們采用數學歸納法:首先，對于單電感或單電容，其電抗值分別為ωL和－1/ωC，得到(ωL)/ω和(－1/ωC)/ω都是大于零的;其次，設XA和XB分別是兩個由電抗元件混聯而得的單口網絡的電抗值，若xA/ω＞0，xB/ω＞0，則串聯后的電抗值(xA+xB)，及并聯后的電抗值，可統一地記為x，都滿足x/ω＞0。根據以上兩點可以推論，任意電抗元件混聯后的電抗值都滿足x/ω＞0。因而T(ω)/ω|ω=ω1＜0得證。

對于本文分析與傳統分析的不同之處，還可以設計以下兩方面的仿真實驗加以驗證:

(1)可以驗證β大于X2/X1即可起振，β小于X2/X1時不能起振;

(2)電路中電路變量存在以下關聯關系為