“數字信號處理”中循環卷積的簡單計算方法

李昌利

(河海大學計算機與信息學院，江蘇南京211100)

“信號與系統”課程中有一個非常重要的結論:離散線性時不變系統的響應為系統脈沖響應序列與輸入序列的卷積(線性卷積)。“數字信號處理”課程中又定義了兩個有限長序列的循環卷積運算?？梢岳秒x散傅里葉變換的時域循環卷積性質來計算兩個序列的線性卷積，而離散傅里葉變換可以通過快速傅里葉變換完成。通常的《數字信號處理》教材中討論循環卷積時，給出了計算公式和計算實例，但都是從定義出發，計算過程復雜。本文從線性卷積的簡單計算方法入手，利用線性卷積與循環卷積的關系，提出一個非常簡便的計算循環卷積方法。

1 線性卷積和循環卷積及其關系

首先定義模運算。對任意整數m，m對N取模的運算符為:＜m＞N=m+lN，模運算定義為找一個整數l，使得0m+lNN－1。例如，＜23＞7=2，只要l=－3即可，又例如，＜-13＞7=1，只要l=2即可。

式中，N點循環卷積yC，N(n)定義域為0nN－1，長度為N。

對上述定義域內的x(n)和h(n)，在“信號與系統”課程中定義了兩者的線性卷積為

式中，yL(n)的定義域為0nM1+M2－2，有效長度為M1+M2－1。

［1] 指出循環卷積與線性卷積存在以下關系式:

由此可知，當N≥M1+M2－1時，循環卷積與線性卷積相等;而當max(M1+M2)N＜M1+M2－1時，循環卷積與線性卷積不等。參考文獻［2] 和［3] 詳細證明了以上結論。

2 簡單的循環卷積計算方法

我們首先簡單介紹計算序列x(n)和序列h(n)線性卷積的序號和匹配法［4]，該法采用如下步驟。

(1)按序把x(n)和h(n)的序列值從左至右排列成兩行。兩個序列的第一個序列值排列時對齊，每個序列值占據一格;

(2)把x(n)的第一個序列值與h(n)的各個序列值依次相乘，把乘積結果按序從左至右排列，每個乘積結果占據一格;

(3)把x(n)的第二個序列值與h(n)的各個序列值依次相乘，把乘積結果按序從左至右排列，排列的起始位置較(2)右移一格;

(4)依據同樣的方法，把x(n)的其它序列值與h(n)的各個序列值依次相乘，之后把所得的乘積結果依次排列，排列的起始位置依次右移一格;

(5)把同一列的乘積結果相加就是線性卷積結果，對應的序號n從左至右依次遞增。

現在先計算5點循環卷積yC，4(n)。式(3)右邊第二項yL(n+N)是由yL(n)左移5個單位形成的，得到如圖1所示的中間結果yL(n+5)。因為循環卷積的定義域為0n4，所以只需考慮式(3)右邊兩項在0n4的部分，兩項在0n4內的部分相加的最終結果如圖2所示。

同理可得，6點循環卷積的最終結果如圖3所示，7點循環卷積的中間結果如圖4所示。

圖1 計算5點循環卷積的中間結果

2計算5點循環卷積的最終結果

圖3 計算6點循環卷積的最終結果

圖4 計算7點循環卷積的最終結果

很容易驗證，以上按列得到的各項恰與按式(1)計算得到的各項一致。事實上，也能以前述方法先計算兩個序列的線性卷積yL(n)，再取(3)的右邊，然后取兩項相加結果在主值區間0nN－1的部分，此即序列的N點循環卷積yC，N(n)。

3 計算實例

設x(n)={2，1，0，1}和h(n)={2，3，0，1，2}，計算兩者的6點循環卷積yC，6(n)。

先計算兩個序列的線性卷積，得到的結果如圖5所示。為了計算序列的6點循環卷積，將圖5的結果整體左移6個單位，得到式(3)計算循環卷積的兩項，中間結果如圖6所示，圖的底部標出了對應列的序號n。將前述結果在0n5的部分相加，得到的結果如圖7所示，該圖還給出了按列相加的結果，這就是最后的6點循環卷積結果yC，6(n)={5，10，3，4，8，2}，最后一行標示了對應的序號n。

圖5 線性卷積的計算

圖6 循環卷積的中間結果

圖7循環卷積的最終結果

4 結語

直接依據定義計算兩個序列的循環卷積很繁瑣。多數《數字信號處理》教材直接利用定義式計算循環卷積，由于定義式涉及到取模運算，所以計算過程很容易出錯。分析表明。兩個序列的循環卷積與線性卷積存在一個非常簡單的關系式，而兩個有限長序列的線性卷積很容易通過序號和匹配法計算，這樣就得到本文提出的用于計算循環卷積的簡單方法。文章涉及到的概念及公式是自包含的，本文通過具體分析和計算實例，詳細地介紹了所提出的方法，便于讀者閱讀和參考。

參考文獻:

［1] Vinay K.Ingle等著，劉樹棠譯.數字信號處理(MATLAB版)［M] .西安:西安交通大學出版社，2008

［2] 李昌利，霍冠英?！皵底中盘柼幚怼敝兄丿B保留法的證明［J] 。南京:電氣電子教學學報.2011，33(6):31－32

［3] 于鳳芹，張志剛，李昌利。數字信號處理簡明教程［M] .北京:科學出版社，2011

［4] 李昌利。有限長序列卷積和求解法［M] 。南京:電氣電子教學學報.2008，30(1):63－65