“電路理論”課程中耦合電路的諧振問題討論

趙艾萍，張 峰

(上海交通大學電子信息與電氣工程學院，上海200240)

“電路理論”課程教學中，對于耦合電感和串并聯諧振的介紹通常是按知識點單獨進行的［1-3]。例如，討論線性耦合電感元件時，除了推導其端口電壓—電流關系之外，還會介紹一些去耦等效的方式，尤其是T型去耦的應用;而在諧振電路的分析討論中，往往會強調諧振網絡的端口特性、品質因數［4]或能量問題［5]。部分學生對這些概念的理解不夠精準，反映在解題過程中會出現各種問題。本文針對考生在一道電路考研試題的求解中所出現的問題，分析其成因，并提出了相應的解決辦法。這個典型例題有助于學生正確理解諧振和耦合的概念并掌握其分析方法，也可為“電路理論”教學工作中重要知識點和難點內容的融合交叉及其分析提供借鑒。

1 問題提出

［例1] 圖1所示的正弦穩態電路中，已知I=I1=I2，電感之間存在耦合關系。當R2=100Ω，ωM=100Ω時，虛線框內組成的并聯電路達到諧振，試求此時電路中的R1和X1。

圖1 例1電路

不少學生出現了以如下錯誤求解思路。

(1)將T型去耦等效電路代之原電路，如圖2所示。

圖2 例1電路的T型去耦等效電路一

(2)根據主電路電流和兩支路電流大小相等且此時并聯諧振，得出:“并聯的兩條支路阻抗實部相等、虛部相反”的結論。從而求得R1=R2，進而再根據其它已知條件求得X1。

乍看之下，該解題思路非常巧妙，但卻是錯誤的。這是什么原因呢?究其原因是對去耦之后的電路諧振的理解不正確。即上面帶引號的結論有誤。

根據電路理論知識，諧振的外在表現是端口電壓和端口電流同相，即圖1中同相.然而去耦之后的圖2電路中，所以去耦之后的虛線框電路并非發生了并聯諧振，也就不能按照上面的解題思路求解阻抗參數。

2 問題分析

為了進一步討論，可以把圖2重新改畫成圖3所示的電路。

3例1電路的T型去耦等效電路二

圖3中的虛線框內部是耦合電感去耦等效電路，注意由題意可知原電路并聯諧振的表現是與同相，以電壓為參考相量畫出此題的電路相量圖如圖4所示。

圖4 例1電路的相量圖

12有60o，容性支路電流超前有60o，所以在圖1中兩條并聯支路的阻抗模相等|Z|=UAB/I1=UAB/I2，阻抗角(即端電壓超前對應支路電流的角度)互為相反φ1=60o=－φ2。再根據圖3中感性阻抗jωM上的電壓超前電流有90o。由于U·，所以利用相量圖可以得出:超前，它與支路電流和的夾角不再相等。也就是說，圖3中去耦之后的A-A'之間的兩條并聯支路的阻抗角并非相反。

可見，正確地畫出電路中各電量的相量圖，有助于正確理解題意，從而可以得出正確的判斷。

3 問題求解

遇到諧振問題，最有效最直觀的方法還是畫出電路的相量圖以幫助理解。原題電路去耦之后的等效電路如圖3所示，求解過程如下。

對于容性支路，有Z2=R2－jX2=|Z2|∠-60o=，則R2=|Z2|cos(-60o)，于是可得|Z2|=100/cos(-60o)=20Ω。

解得:R1=13.4Ω，X1=223.2Ω。

當然，也可以根據相量圖直接求解，特別是習題中某些相量之間構成直角三角形的情況。下面的例題將介紹這一內容。

4 同類討論

上述例題由于融合了諧振和耦合這兩個較難的知識點，所以求解過程中對基本概念的正確把握顯得至關重要。使用相量圖輔助分析和計算將是非常直觀有效的方法。

為了進一步加深對諧振和耦合這兩個知識點融合交叉題型的理解和掌握，并學習掌握如何運用相量圖輔助直接解題的方法。筆者給出了另一例題及其簡要分析，以供教學參考。

［例2] 圖5所示正弦穩態電路的ω=104rad/s。已知電壓表V的讀數為100 V，主路電流表A的讀數為2A，且電路發生并聯諧振。求電容C的值和各支路電流表的讀數。

為了便于討論，添加端點標識和各支路電流變量，并將耦合電感去耦等效如圖6所示。

圖5 例2電路

圖6 例2電路的去耦等效電路

已知UAB=100V，I=2A，故I3=1A，I'=I－I3=1A。且超前為90°，也即超前為90°。

根據相量圖可知，有

7例2電路的相量圖

此例中，相量圖不僅可以幫助學生正確理解題意，還可以簡化電路計算，輔助直接求解。

特別需要強調的是，在此類融合了耦合電感的諧振習題中，要仔細觀察諧振發生的部位。在去耦之前一定要明確哪兩個電量(即諧振支路的端口電壓與端口電流)同相，去耦之后的電路中，這兩個同相的電量有可能依然是同一端口的電壓和電流(如圖6中的與)。也有可能不再是同一端口的電量(如圖3中的與)。

所以結合去耦電路和電路相量圖，可以較為直觀地理解和分析各電量之間的關系，從而得出正確的結果。

5 結語

諧振和耦合一直是“電路理論”教學中兩個重要的知識點，在教學中不僅要求學生掌握每個知識點的基本概念，還要通過一定的例題讓學生充分理解并掌握。本文針對學生求解融合了諧振和電感耦合兩個重要知識點的題目時易出現的錯誤及其原因進行了分析，闡述了此類問題的求解方法，強調了應用相量圖可以使此類問題的分析求解更加直觀和易于理解，甚至方便直接計算。

［1] 陳洪亮，張峰，田社平.電路基礎［M] .北京:高等教育出版社，2007

［2] 邱關源，羅先覺.電路［M] .北京:高等教育出版社，2006

［3] 李瀚蓀.簡明電路分析基礎［M] .北京:高等教育出版社，2002

［4] 田社平，陳洪亮，張峰.電路品質因數的計算［J] .南京:電氣電子教學學報，2010，4

［5] 汪小娜，周永紅，單潮龍，王向軍.關于諧振電路中能量問題的討論［J] .南京:電氣電子教學學報，2011