確定電力系統臨界出口點方法的研究

岳 穎，林 楠

(1．東北電力大學，吉林 吉林132012;2．通遼電業局，內蒙古 通遼028000)

0 引言

目前，在電力系統暫態穩定的分析中，求解穩定平衡點與不穩定平衡點非常重要。特別是應用直接法與Normal Form變換進行暫態穩定分析均是以主導不穩定平衡點(CUEP)為基礎的。對于受擾系統，我們一般只研究與故障軌跡相關的那部分穩定域邊界(包含CUEP)，而求出CUEP上的穩定流形就確定了系統的穩定域邊界［1］。求解CUEP的問題首先就是求解系統的不穩定平衡點，也就是求解非線性微分方程組。對于電力系統這個非線性系統，不論是從理論還是計算量方面考慮，直接求解非線性微分方程組很困難，所以主要求出不穩定平衡點附近的近似解便可。

Normal Form變換［2］是一種基于非線性動力學理論的有效的數學工具，這種方法將原始非線性系統的表達式在主導不穩定平衡點處進行泰勒展開后，再經過線性變換和非線性變換，將系統映射到一個線性系統中。原系統的穩定邊界在主導不穩定平衡點處經過映射后在線性空間中是一個超平面，當持續故障軌線與穩定邊界相交時，對應的交點就是系統臨界出口點，進而可以得到臨界切除時間。

本文提出的方法是首先將求解主導不穩定平衡點的問題轉化為非線性最小二乘問題［3］，并采用結構p步牛頓法，在計算的過程中自動調節，保證收斂到正確的CUEP，而后在主導不穩定平衡點處對系統表達式做泰勒展開，并應用Normal Form理論對其進行線性和非線性變換，最后求出臨界切除時間。

1 結構p步牛頓法求主導不穩定平衡點

求解主導不穩定平衡點的問題就是求解下列非線性方程組

將其轉化為求非線性最小二乘問題，即

其中 θ=(θ1，θ2，…，θn)T∈Rn。

F(θ)的二階導數(海森矩陣)為

式中，A(θ)為 F(θ)的雅格比矩陣，C(θ)與 S(θ)分別為H(θ)的線性與非線性部分。S(θ)就是求解最小二乘問題中的殘量部分，在計算的過程中將會隨著主導不穩定平衡點求解過程的變化而變化。因此，在計算的過程中選用合適的算法比較有利于加快收斂速度。

本文選擇文獻［4］中提出的結構p步牛頓法進行求解。此方法對零殘量問題具有二階收斂速率，而對于大殘量問題具有p步p+1階收斂速率。應用結構p步牛頓法求解CUEP的計算步驟為

1) 給定初始點 q0，令整數 p≥1，k=0。

2)令

其中，i=1，2，…，p －1，參數 p 表示迭代次數，當在θk，0點時，采用牛頓步;當 0 ＜ i＜ p 時，在 θk，i點采用簡化結構牛頓步。

3) 若滿足‖F(θk)‖ =0，則輸出 θk，得到不穩定平衡點的點列{θk};否則，令k=k+1，轉步驟b。

4)用切平面篩選法［5］確定主導不穩定平衡點。

從θk到θk+1的p步中，只需要計算一次就得到S(θk)。其中構造 Bk，i進行求解，大大減少了計算量，并且具有較高的收斂性。

2 三階Normal Form變換

現有的部分文獻為了研究方便，一般省略高階項，只研究到二階解析解，使得計算的結果存在不容忽視的截斷誤差。文獻［6－7］將系統的解析解推導到三階，并驗證了三階解析解比二階的更加精確。下面結合文獻對系統進行三階Normal Form變換的推導步驟進行介紹。

設非線性系統的微分方程為

式中，X=(x1，x2，…，xn)T∈Rn。將式(2)在主導不穩定平衡點X0處做泰勒展開并保留至三階項，得

式中，A=［?Fi/?X］x0為系統的雅克比矩陣為系統的二階矩陣的第 i個子矩陣，

求取原非線性系統線性部分X˙=AX的特征值λ1，…，λn。

令線性變換為

式中，U為矩陣A的右特征向量矩陣，V為矩陣A的左特征向量矩陣，且UV=1。將式(4)代入式(3)，變換后的Y系統表達式為其中，Vi，j是矩陣 V 的第 i行 j列的元素。

選取非線性變換形式為

其中，非線性變換矩陣為

將式(6)代入式(5)并略去四階以上項，可得到線性空間的表達式

其中，J是由矩陣A的特征值構成的對角陣，即J=diag(λ1，…，λn)。

3 Normal Form理論在暫態穩定中的應用［8-9］

經過上面Normal Form變換后的系統持續故障軌跡在空間的表達式為

Z空間中的持續故障軌跡與穩定邊界的交點就是穩定邊界上的出口點，即為臨界切除點。穩定邊界在Z空間映射為z1=0(設λ1＞0)，于是，當正實部特征根對應的表達式過零或變號時對應的時間就是臨界切除時間。求臨界切除時間的具體步驟如下:

表1 新英格蘭39節點系統主導不穩定平衡點

1)計算故障前系統的潮流。

2)將系統微分方程寫成式(1)的形式，并應用結構p步牛頓法求出故障后主導不穩定平衡點。

3)在主導不穩定平衡點處將系統方程進行泰勒展開，略去四階以上項，計算矩陣

5)求出持續故障軌線表達式，并將其經過線性變換與非線性變換映射到Z空間，找到正實部特征根對應的軌跡，判斷它何時變號，此時對應的時間即為臨界切除時間。

4 實例分析

新英格蘭39節點系統如圖1所示，對其進行仿真驗證，線路和發電機數據見文獻［10］;其發電機采用二階經典模型，均勻阻尼系數為λ0=－0．2，負荷采用恒阻抗負荷。設系統在表1中所示發生三相接地故障，并切除該線路。

先用結構p步牛頓法求出CUEP，再應用Normal Form變換進行仿真。分別對靠近機端的線路及輸電線路中發生故障兩種情況進行分析，并與BCU法［11］和 PEBS 法［12］進行比較，結果如表1、表2 所示。根據結果可以看出，當靠近機端線路發生故障時，利用本文的方法所獲得的臨界切除時間tcr有時產生的誤差會較大，但與BCU和PEBS法相比，還是可以接受的;當輸電線路上發生故障時，利用本文方法所得的tcr與時域仿真法的結果誤差不大，基本上在10%以內，滿足工程要求;而基于BCU法和PEBS法所得的結果產生的誤差有時候較大。因此，對于輸電線路上發生的故障，應用本文方法可以有效估計臨界切除時間。

圖1 新英格蘭39節點系統

5 結論

本文將結構p步牛頓法與Normal Form變換相結合對暫態穩定出口點進行估計。將求CUEP的問題轉化為非線性最小二乘問題避免了建立能量函數，同時采用結構p步牛頓法保證了快速收斂到CUEP;應用三階Normal Form變換保證了臨界切除時間計算的快速性和準確性。通過對新英格蘭10機39節點系統進行仿真，驗證了本文方法的有效性。

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