分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程的反周期邊值問題

楊 柳，高正暉

（衡陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南 衡陽 421002）

0 引 言

反周期邊值問題是重要一類的邊值問題，它的研究得到了廣泛關(guān)注。反周期邊值問題產(chǎn)生于一些物理過程的數(shù)學(xué)模型當(dāng)中，見文獻(xiàn)［1－2］。最近對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程反周期邊值問題的研究可見文獻(xiàn)［3－4］。對(duì)于帶脈沖的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題，已有文獻(xiàn)多是討論階數(shù) 和2＜q的情形。

本文將研究如下分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程的反周期邊值問題

1 預(yù)備知識(shí)

令

定義1.1 一個(gè)函數(shù)u∈c，并且它的q階Caputo導(dǎo)數(shù)j1在上存在，且滿足 （1），那么它叫做問題 （1）的解。

為了處理問題 （1.1），首先考慮相聯(lián)的線性問題和它的解。

引理1.1 假設(shè)

對(duì)于給定的，如下邊值問題的解

按下式給出

1.在轉(zhuǎn)換師生角色上,積極探索和構(gòu)建和諧民主的新型師生關(guān)系。“親其師,才能信其道。”課堂是一個(gè)情感場(chǎng),學(xué)生們會(huì)帶著各種各樣的感情上每一節(jié)課。教師要在平等的前提下,嚴(yán)愛有度,走進(jìn)學(xué)生的心靈,給學(xué)生信心,給學(xué)生溫暖,給學(xué)生希望,給學(xué)生可以觸摸到的未來,才可以建立良好的師生關(guān)系,學(xué)生才會(huì)因?yàn)橄矚g這位教師而喜歡上這位教師的課。

證明 方程 （2）可以寫作

這里b0∈?

對(duì)于t∈J1，則有

這里b1∈?。這樣，有

考慮到△u（t1）＝Q1（u（t1）），可得

歸納可得

由u（0）＝－u（1）可得

化簡可得引理。

2 主要結(jié)果及證明

證明 首先證明算子T：PC（J，?）→PC（J，?）是全連續(xù)的。考慮到f，Qk的連續(xù)性，可知T是連續(xù)的。

令Ω?PC（J，?）是有界的。則存在常數(shù)K1＞0，K2＞0使得對(duì)于任意的u∈Ω，

這樣，對(duì)于任意的u∈Ω，有

這意味著

另一方面，對(duì)任意的u∈Ωτ1，τ2∈Ji，τ1＜τ2，i＝0，1，…，p，可得

根據(jù)tq在J上是一致連續(xù)的，可知T在Ω?PC（J，?）上是等度連續(xù)的。根據(jù)文獻(xiàn)［5］的引理5.4.1，可得T是相對(duì)緊的。這樣T：PC（J，?）→PC（J，?），是全連續(xù)的。

定義Ω＝｛u∈PC（J，?）｜‖u‖≤r｝，根據(jù)條件可得

對(duì)于u∈?Ω，可得

因?yàn)?/p>

所以，有‖Tu‖≤‖u‖，u∈?Ω。這樣，根據(jù)引理2.2，可得算子T至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，它就是邊值問題 （1）的解。

例2.1 考慮邊值問題

很明顯，它滿足推論2.1的條件，根據(jù)推論2.1可得此邊值問題至少具有一個(gè)解。

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