基于復雜網絡理論的裝備保障網絡模型研究

張 勇， 楊宏偉， 楊學強， 黃 俊

（裝甲兵工程學院 技術保障工程系，北京 100072）

裝備保障網絡是以裝備保障設施為依托，將各種保障資源按照一定的要求和原則合理部署而最終形成的一個網絡化布局的保障體系，是各級保障部門完成保障任務的物質基礎［1］.新的歷史條件下，隨著綜合保障、一體化保障模式和模塊化編組形式的出現以及信息化技術的推動，可以看作裝備保障網絡節點的裝備保障實體數量眾多、級別不同、分布各異，如何準確刻畫和描述其組織形式并發現其中蘊含的特點規律，是新時期認識網絡化裝備保障體系復雜性的基礎性工作.

本文從整體角度出發，運用復雜網絡相關理論［2－3］來構建裝備保障網絡的組織結構，將其表示為具有復雜拓撲結構和動力學行為、由大量的節點通過相互之間的作用關系連接而成的網絡圖，為信息化條件下研究網絡化裝備保障系統的結構和行為提供一種行之有效的方法和途徑.本文主要從兩個方面進行研究：一是有別于傳統軍隊編制體制條件下具有嚴格層次關系的樹狀網絡和文獻［4］提出的具有“越級指揮”特征的確定性網絡模型，構建與現實更加符合的裝備保障網絡演化模型；二是對網絡結構參數進行靈敏度分析，對實際裝備保障網絡的拓撲結構和網絡特性提供更加精確和細致的描述.

1 裝備保障網絡模型

1.1 概念模型

按照復雜網絡和裝備保障體系建設的相關觀點［5－7］，構建裝備保障網絡拓撲模型過程中有以下幾點假設和前提：

a.節點指在一定的時間、空間范圍內，具有發出或接收裝備保障資源功能的保障實體.本文中定義為某一戰區范圍內所有的維修機構、器材保障機構等.

b.邊代表節點（對象）之間的相互作用、相互關聯［8］.原則上，裝備保障網絡各節點之間可通過公路、鐵路、水路、航線及管道等實體進行支援、協同及資源交換等保障行動，一般認為2個節點之間最多可能有1條邊，由于實體之間的聯系不考慮邊的方向性問題（雙向連接），所有節點之間的連接為無向邊.

另外，為了區別于公交網絡中站點?？?、換乘方式［9］，本文考慮各保障實體之間的業務關系，即部隊之間嚴格的層次結構、上下級支援關系及同級協同關系等，設定以下不同的連接方式：

a.樹狀結構.嚴格的層級關系，即傳統的裝備保障體系基本按照“軍區－軍－師－團”的力量配置，呈樹狀延伸，橫向之間聯系少，表現為長的平均路徑和低的聚合度，產生的結果是信息傳遞層級多，溝通連接復雜，易被分割破壞，整體保障效率低下.好處是結構簡單，易于管理控制，如圖1（a）和1（b）所示.

b.全連通結構.參照層次結構特征，近似于完全連通網絡，上級保障實體對所屬范圍內的保障實體實行完全支援連接，同級之間存在協同關系，其好處是系統魯棒性強，抗毀性突出，信息傳遞層級少，體系效率較高.缺點是結構復雜，不利于管理控制，如圖1（d）所示.

c.混合結構.介于上述兩種結構之間，具體表現為，上下級別保障實體之間根據隸屬關系的不同存在不同概率的支援保障關系，同一級別保障實體根據地域關系的不同存在不同的協同保障概率，不同級別之間存在一定的“越級支援”的保障模式（見圖1（c））.該方式一定程度反映了信息化條件下指揮控制的靈活性，又不失軍隊層次結構特征，能較為真實地反映實際裝備保障網絡的連接和形成情況.

圖1 裝備保障網絡示意圖Fig.1 Equipment support network

1.2 生成機制建模

通過上述分析，借鑒樹狀網絡結構和文獻［4］所論述的確定性模型的思想，并對其適當進行改進，確定裝備保障網絡生成機制如下：

a.從迭代步數s＝0開始，即從一個節點出發；

b.當s＝1時，在第一個節點下方的兩邊對稱地分布n個節點，且使這n個節點與第一個節點相連；

c.當s＝2時，按照相同的方法，在新生長出來的n個節點的下方分別再對稱生長出來n個節點，以一定概率p實現不同等級（同級或上下級）節點之間的連接.

依照這種方法不斷生長，直到生成預期的網絡模型，如圖2所示.

圖2 生成機制演示圖Fig.2 Mechanism of evolving model

p代表網絡隨機連接概率，文中指裝備保障網絡中沒有直接邊相連的節點對（vi，vj）生成連接邊的概率.在此，結合無標度網絡的生成機制和裝備保障網絡的現實背景，從節點和邊這2個方面給出連接規則影響因子.

a.節點層面影響因子pn.節點層面，包括結構屬性pns和物理屬性pnp，公式為

式中，ki，kj分別表示節點vi，vj的 度；si，sj分別表示節點vi，vj的強度（負荷）；［k］，［s］為相對應的網絡平均值.

b.邊層面影響因子pe.邊層面主要表征該節點對之間的距離，與節點類似，包括結構屬性pes和物理屬性pep，公式為

式中，li，lj分別表示節點對（vi，vj）之 間的結構距離；di，dj分別表示節點對（vi，vj）之間的現實距離；［l］，［d］為相對應的網絡平均值.

定義隨機連接概率

式中，α為隨機連接因子.

特別地，當α＝0時，本文所提出的模型就演化為樹狀網絡結構模型.另外，當α增大到一定程度時，裝備保障網絡也可以形成全連通網絡.

綜上，通過引入隨機連接概率p可以實現裝備保障網絡在樹狀層次結構的基礎上根據地域、隸屬關系及資源擁有量等屬性進行擇優連接，從而構造出與現實情況更加符合的裝備保障演化網絡.該模型很好地刻畫了真實網絡的“擇優連接”和“就地就近”的保障原則，即無論從結構層面還是物理屬性層面，裝備保障網絡更加傾向于網絡中的“富者”（度、強度大）、距離近（結構距離、實際距離）的節點對相連接，在式（3）中設定連接概率p與節點重要度pn成正比，而與節點距離pe成反比關系，為了修正兩者之間的關系，引入修正系數α，也稱隨機連接因子，可表征裝備保障網絡中不同節點對邊之間的隨機連接程度.

1.3 算法實現

具體算法實現如下：

a.輸入迭代步數s和子節點數目n，生成對應的樹狀結構網絡Gt；

b.根據不同的規則對網絡節點和邊相應賦權，如依據統計數據或隨機賦權，形成加權初始裝備保障網絡Gw；

c.計算Gt中所有沒有邊連接的節點對（vi，vj）集合，根據式（1）～（3）計算連接概率p，并依此隨機生成連接邊，直至生成最終加權裝備保障網絡G；

文中圖3（見下頁）即是作者根據典型的部隊編制體制，分戰區（ZQ）－集團軍（J）－師（S）－團（T）這4級保障實體節點，上下級別之間采取3∶3編制，即戰區內轄3個集團軍，1個集團軍又轄3個編制師，依次類推.取s＝3，n＝3，α＝0.2時，基于 Matlab 7.0和Netdraw等相關分析軟件生成的裝備保障網絡拓撲圖.

2 模型特征參數分析

2.1 度分布P（k）

度分布表示網絡的節點度恰好為k的概率.網絡中節點i的度ki定義為與該節點連接的其它節點的數目，也可視為與這一節點連接的邊的數量.節點的度分布反映了網絡的整體性質，根據復雜網絡無標度特性［3］：少部分節點的度遠遠高于絕大部分的節點的度；度分布概率在雙對數坐標下顯示出了較明顯的冪律特征.

調節文中模型的各個影響參數，得到裝備保障網絡模型度分布變化圖，如圖4所示.其中，圖4（a）分析了迭代步數s不同條件下裝備保障網絡雙對數度分布曲線，不難發現，在子節點數目n＝3和隨機連接因子α＝0.02的前提下，裝備保障網絡P（k）曲線呈現出較為明顯的無標度特征，P（k）～k－γ，γ≈1.5.與之對應，如果改變子節點數目，當n比較小的時候（文中為n≤5），裝備保障網絡尚具有一定的無標度特性，隨著子節點數目的進一步增加，無標度特性逐漸減弱，在這種情況下，整體裝備保障網絡傾向于隨機連接，而不是擇優連接.另外，這一特性，在圖4（c）中表現得更加明顯，即隨著隨機連接因子α的增大，裝備保障網絡無標度特性逐步消失而隨機網絡特性逐步凸顯，這也可以從圖4（d）得到更為直觀清晰的認識.

值得一提的是，無尺度網絡的典型特征是面對隨機攻擊時具有很高的承受能力（魯棒性），而對關鍵節點進行攻擊則表現出極大的脆弱性，與之對應的全連通網絡具備較高的抗毀性.

2.2 平均聚集系數C

聚集系數是專門用來衡量網絡節點集聚程度的一個重要參數，屬局部特征量［10］.一般地，聚集系數越大，表示個體間的聯系愈緊密.節點i的聚集系數Ci定義為節點i的鄰接點之間實際存在的邊數與所有可能的邊數的比值.一般地，假設網絡中1個節點i有ki條邊將它與其它節點連接，這ki個節點之間最多可能有ki（ki－1）／2條邊.而這ki個節點之間實際存在的邊數Ei和總的可能邊數ki（ki－1）／2之比就定義為節點的聚類系數Ci，即

網絡的平均聚集系數C指所有節點的聚集系數Ci的均值，反映了網絡整體的內聚性.

很明顯，0≤C≤1.C＝0當且僅當所有的節點為孤立節點；C＝1當且僅當網絡是全局耦合的.

圖3 裝備保障網絡拓撲結構圖Fig.3 Topology of equipment support network

圖4 裝備保障網絡的度分布圖Fig.4 Degree distribution of equipment support network

圖5 裝備保障網絡的聚集系數分布Fig.5 Clustering coefficient of equipment support network

如圖5所示，裝備保障網絡的聚集系數隨著迭代步數、子節點數目和隨機連接因子的增大而增大，意即隨著網絡中元素（節點和邊）的增加，節點之間的聯系更加趨于緊密，這符合典型的小世界特征［2］.特別地，在迭代到第3步時，聚集系數曲線出現了較為明顯的拐點（見圖5（a）），而當子節點數目小于4之前，聚集系數表現出較強的增長趨勢，隨后趨于平緩（見圖5（b））.另外，根據本文中所賦予的權值，當隨機連接因子小于0.2時（見圖5（c）），聚集系數增長迅速，之后呈現波動式增長.經測算，當α≈13，C≈1，即此時形成全連通圖.

2.3 平均路徑長度L

平均路徑長度指所有節點之間的最短路徑的均值.一般定義節點i和j之間的距離dij為連接兩者所要經歷的邊的最小數目，網絡的平均路徑長度是所有節點對之間距離的平均值.從路長的分布可以看出節點間的遠近程度，其中任意兩點間的最大距離定義為網絡的直徑D.

D描述的是網絡節點間的分離程度，也就是說網絡有多小，文中裝備保障網絡的直徑為3.

網絡的平均路徑長度L定義為任意2個節點之間的距離的平均值，即

式中，N為網絡節點數.

平均路徑長度可以衡量裝備保障網絡中各節點之間的傳輸特性和連通性，一般當L比較小時，信息、物質或能量交換的速度較快.如對器材保障而言，降低網絡的網絡直徑，即降低器材的最大周轉次數；降低網絡的平均最短距離，即降低整個網絡中器材的平均周轉次數.通過計算得出，文中圖3所示裝備保障網絡的平均路徑長度為1.895，即在該網絡中任意2個保障節點之間傳輸物資的話，平均經過不到2次周轉就可到達.圖6即為裝備保障網絡在迭代步數、子節點數目和隨機連接因子變化時平均路徑長度變化情況.

圖6 裝備保障網絡平均最短距離Fig.6 Aver path length of equipment support network

通過圖6可以發現，裝備保障網絡平均路徑長度隨著影響因子的增加逐步減小，特別地，當迭代步數為3～4，子節點數目為3時，L均出現下降的趨勢，這與圖5中的仿真結果基本是一致的，筆者認為出現這種現象主要是節點數目偏少，以及文中節點權值效應不明顯所導致.不過整體而言，按照相關定義［11－12］，裝備保障網絡仍具有一定的小世界特性.

3 結束語

基于本文所提出裝備保障網絡演化模型及相關分析，得到以下幾點結論和認識：

a.本文所構建模型可以更加真實地描述具有層級結構和隨機連接特性的裝備保障網絡，引入的3個影響因子可以較為精確地控制生成網絡規模和節點連接的緊密程度，可以有效地說明所構建網絡的層次、跨度及隨機連接程度等具有一定現實意義的衡量指標.

b.通過仿真分析可知，該裝備保障網絡演化模型反映出一定的無標度和小世界特性，可以作為分析裝備保障網絡或類似網絡結構和動力學研究的基礎.

c.基于復雜網絡理論研究裝備保障網絡具有很強的應用背景，如裝備保障網絡中戰役支撐點的確定、樞紐點的確定、道路基礎設施的構建、保障效益與連通規模的關系、樞紐節點的堵塞所導致的保障網絡穩定性問題等可以而且有待于進一步分析和研究.

值得說明的是，由于現實數據來源的有限性和保密性要求，本文在研究過程中對裝備保障網絡節點和邊的權重均作了一定假設和限制，這有待于在今后的研究過程中進行驗證和修改.

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