近世代數教學的探索與實踐

龍述德

(重慶文理學院數學與財經學院，重慶 永川 402160)

近世代數是以研究代數系統的性質與構造為中心的一門學科，它不僅是現代數學的重要基礎，也是許多其他現代科學的基礎，已成為數學專業本科生的重要基礎課之一．掌握近世代數的基本概念、理論和方法也是每一位數學工作者所必需的基本數學素養之一．

近世代數又名抽象代數，其內容具有高度的抽象性和概括性，這使得它不同于其他數學學科．許多學生感到這門課程非常抽象、生澀難懂、不直觀，因此他們很難具備用近世代數的基本思想和理論來解決具體問題的能力，從而直接影響后續課程的學習熱情．筆者根據多年的教學經驗，認為應該注意幾個方面．

1 上好第一節課，激發學生的學習熱情

俗話說，好的開始等于成功的一半．因此，上好第一節課對學生學好近世代數是很重要的．教師在第一節課不要急于上新課，在講述課程的研究對象之后，接下來可以介紹近世代數產生的數學背景［1-2］．從一般一元 n次方程 anxn+an-1xn-1+… +a0(an≠0)的求根問題，引出法國青年數學家伽羅華(Galois)及其著名的伽羅華理論、挪威青年數學家阿貝爾(Abel)等，并介紹他們一生的一些典型的故事和他們對近世代數課程的發展所做出的杰出貢獻，這樣會讓學生對數學天才伽羅華和阿貝爾產生景仰，從而激發他們的學習熱情．緊接著，可以講近世代數研究的意義，并用具體的例子來說明研究其意義所在．近世代數是現代物理學、化學、生物學、密碼學等不可缺少的工具，例如：晶體結構分類，對稱性匹配的分子軌道，DNA序列的對稱性，編碼理論(尤其是糾錯碼)等，都要用到近世代數的理論和方法．還可進一步告訴學生，有志于在現代科學技術方面有所貢獻的年輕人，懂得近世代數的知識是非常必要的．這樣，可使學生明白近世代數確實是有用和具體的，進而引起他們學習的興趣．最后，為了保證學生把這門課程學好，還需告訴他們一些正確的學習方法及注意事項．

2 重視基本概念教學，提高學生的思維能力

概念是濃縮的知識點，是思維的細胞．教師在近世代數概念教學中重視培養學生分清實質的能力及培養學生思維的深刻性，是非常重要的．這種能力表現為能洞察所研究事物的本質及其相互聯系;能從所研究的材料中揭示被掩蓋的特殊情況，并且能組合各種具體模式等．教師在概念教學實踐中，應力求通過對比、聯想概念之間的異同，找出每個概念的特點并挖掘出其關鍵所在．例如，元素的階和群的階［3-4］．元素的階是指對群G中元素a來說，使得am=e的最小正整數m．若這樣的m不存在，則a的階是無限的;而群的階是指群所含元素的個數，從定義來看，它們有本質區別，但在學習中學生又很容易混肴．因此，在講解過程中應讓學生仔細觀察后教師再指出前者的關鍵所在是“am=e的最小正整數m”，而后者的關鍵是“元素的個數”．這樣就抓住這兩個概念的本質，培養了學生洞察事物本質的能力．還可以舉模6的剩余類加群Z6來加以說明并指出它們的聯系，從而為講后面的指標定理打下基礎．

3 加強直觀性教學，力促學生實現由形象思維到抽象思維的轉化

數學的基本屬性之一是抽象．然而，數學教學又要求把抽象的東西形象化，通過直觀的形象來深化抽象的內容［5］．這種抽象中的形象，正是數學教學的真締．教師在教學中應多舉實例，注重與高等代數知識及中學數學知識相聯系［2］，為近世代數教學建立起形象的數學模型．這是幫助學生轉變思維方式的關鍵一步．學生經過初等數學及高等代數等數學專業課程的學習，他們頭腦中形象的東西比較多，基本功也比較扎實，并且也具有一定的抽象思維基礎．這為他們理解近世代數中的高度抽象概念和一般性的理論提供了形象的實例．這不僅有利于高度抽象概念的理解，而且也能從較高的層次對初等數學和高等代數所學的知識內容給予科學的解釋．例如，等價關系是一個比較抽象的內容，可以中學實數集合中的等于關系及高等代數中的矩陣合同關系為例來說明它們都是等價關系．這樣就顯得比較直觀，并把不同的數學對象統一起來，進而加深學生對等價關系的理解．另外，在高等代數的學習中，學生遇到過矩陣方程AX=B的求解，若是在可逆矩陣集合中求解，方程只有唯一的解，而在一般方陣集合中，方程卻可以只有一個解、無數個解甚至無解的情況，當時不知其所以然．在學習近世代數群論概念后適時提出該問題，讓學生嘗試用群論知識進行解釋，這會讓學生心中豁然開朗，促進他們從形象思維到抽象思維的轉化．

4 講究課堂提問技巧，激發學生的思維

5 結語

近世代數是一門高度抽象的數學學科，對數學專業的本科生而言是比較難學的．雖然筆者結合多年教學經驗，提出了近世代數課程教學的一些做法，但仍然不夠成熟，在實際教學中也還會有新的問題不斷涌現．這需要我們根據具體情況，適時進行教學方法的調整和改進．

［1］劉紹學．談談“近世代數”這門課［J］．高等數學研究，2000，3(3)：8-9．

［2］趙靜，周衛，劉振海．近世代數課程教學的幾點建議［J］．廣西民族大學學報：自然科學版，2010，16(3)：94-96．

［3］張禾瑞．近世代數基礎［M］．北京：高等教育出版社，1978：34-37．

［4］吳品三．近世代數［M］．北京：高等教育出版社，1979：61-63．

［5］馮克勤．高校代數課教學的一些做法和看法［J］．大學數學，2004，20(5)：5-7．