彈簧振子經(jīng)驗公式擬合的可信賴度分析

彭厚德

(長江師范學院物理學與電子工程學院，重慶 涪陵 408100)

在對彈簧振子的研究中，人們的研究主要集中在：1)彈簧質(zhì)量對振動系統(tǒng)的影響問題［1-2］;2)從不同角度定量分析彈簧質(zhì)量對振動系統(tǒng)的周期和振幅的影響［3］;3)質(zhì)量、摩擦阻力等因數(shù)對彈簧振子系統(tǒng)運動性質(zhì)的影響［4］;4)彈簧等效質(zhì)量對彈簧振子的運動狀況的影響［5-8］．在實驗中獲得彈簧振子運動方程所采取的方法大都是利用最小二乘法擬合得到．

最小二乘法對經(jīng)驗公式有著重要的作用［9］．從各種文獻來看，很少涉及到對最小二乘法所得結果的可信賴度分析，而是停留在對結果的簡單誤差分析，或與理論公式對照來確定經(jīng)驗公式擬合的好壞．對于利用最小二乘法獲得的彈簧振子的經(jīng)驗公式進行可信賴度分析，可以清楚地判斷結果的正確性以及可信賴程度．本文闡明對彈簧振子經(jīng)驗公式擬合的可信賴度分析方法．

1 回歸分析原理

回歸分析被廣泛用于尋求兩個或多個變量之間的內(nèi)在關系，以求獲得比較符合事物內(nèi)部規(guī)律的最佳數(shù)學表達式．回歸分析應解決變量之間的數(shù)學關系(回歸方程)的獲得、回歸方程的可信賴度的統(tǒng)計檢驗以及因素分析等問題［10-13］．

1．1 回歸方程的獲得

設因變量y與另外M個自變量xi的某種內(nèi)在聯(lián)系是線性的，通過實驗得到N組數(shù)據(jù)xti(t=1，2，…，N)，且其關系為

根據(jù)最小二乘法原理，b0，b1，…，bM應使得全部觀察值yt與回歸值^y的殘差平方和為最小：

1．2 回歸分析可信賴度的統(tǒng)計檢驗

獲得回歸方程后，并不一定能說明該回歸方程正確表明了各變量之間的內(nèi)在關系．這必須通過對該回歸方程的統(tǒng)計檢驗才能說明其正確性．

對于回歸方程的統(tǒng)計檢驗，首先應將各觀測值 yt(t=1，2，3，…，N) 差異分為兩部分，即由自變量x取值的不同與除此之外的其他因素的影響．由于此差異來自于各觀測值與觀測值的算術平均值之差，稱為總變差：

將(3)式展開，同時考慮到交叉項為零，則有：

其中，U稱為回歸平方和，反映了在y的總變差中由于x和y的線性關系引起y的變化部分，其自由度為1;Q稱為殘余平方和，反映了除x和y的線性關系之外的一切因素對y的變差的作用，其自由度為N-1，且

判斷回歸方程是否顯著，取決于U和Q的大小比較，如果前者大大地大于后者，說明所得到的方程中各個變量之間的內(nèi)在聯(lián)系已經(jīng)被準確地反映出來，而其他干擾因素的影響很小，結果可信賴度很高．這個比較可利用F檢驗來完成．根據(jù)F檢驗規(guī)則有：

在給定顯著水平時，根據(jù)U和Q的自由度由F分布表查出Fα，將其與(6)式計算結果比較．若F＞Fα，則認為在該顯著水平α上回歸顯著，即因變量與自變量之間的關系應該是線性的，且非線性的其他因素影響很小．

對于多元線性回歸分析，可按照表1所示方法計算．

表1 多元線性回歸分析計算方法

回歸方程顯著性的檢驗可使用殘余平方和對回歸平方和的F檢驗進行，表1中F為F檢驗的數(shù)學統(tǒng)計量：

和一元回歸一樣，當F≥Fa(M，N-M-1)時，認為回歸方程在a水平上顯著．

多元回歸方程的預報精度由殘余標準差給定：

2 彈簧振子經(jīng)驗公式的獲得及可信賴度分析

利用焦利氏秤測量彈簧振子的相關參數(shù)．實驗中，取4種不同的彈簧組成4個彈簧振子，對其振動周期、質(zhì)量進行測量，測量數(shù)據(jù)如表2～表5所示．

表2 彈簧振子質(zhì)量測量數(shù)據(jù)

表3 彈簧振子勁度系數(shù)

表4 彈簧振子周期

表5 彈簧振子質(zhì)量

2．1 彈簧振子經(jīng)驗公式的獲得

由力學可知，彈簧振子的周期T與下列因素有關：1)彈簧的勁度系數(shù)k;2)彈簧振子的質(zhì)量m．可假設彈簧振子的函數(shù)關系式為

上式中，A、α、β為3個待定系數(shù)．這是一個非線性關系．為了方便進行最小二乘法處理，對(9)式做線性化處理得

令

則(10)式可寫成

根據(jù)多元線性回歸的最小二乘法原理，計算結果如表6所示．

表6 回歸計算

按照多元回歸分析法可得回歸方程為

因為 b0=lgA，b1= α，b2= β，故 A，α，β 的值為

則彈簧振子的周期公式為

2．2 顯著性和精度分析

根據(jù)上述數(shù)據(jù)和計算結果，根據(jù)表1，顯著度分析計算結果如表7所示．

表7 計算數(shù)據(jù)

由于 F=92．39 ＞ F0．01(2，9)=8．02 ，因此回歸方程是0．01水平上顯著．由(8)式可得，標準差為

F檢驗表明：在0．01顯著水平上，回歸平方和遠大于殘余平方和，回歸高度顯著;而除彈簧振子各變量之間的關系以外的其他因素的影響可以忽略不計．這意味著(12)式中給出的彈簧振子各變量之間的關系是準確的．

3 結論

綜上所述，可以得到如下結論：

1)對彈簧振子公式的實驗擬合，雖然實驗方案并不復雜，實驗器材要求不高，但獲得的結果精度卻非常高，并且利用科學的方法進行了檢驗，充分證明了所得表達式的正確性．這說明，可以利用簡單的實驗得到物理規(guī)律．但是，對得到結果只有經(jīng)過科學、客觀的檢驗后才能表明其正確性．

2)對彈簧振子經(jīng)驗公式的獲得與可信賴度檢驗，可得到可信賴度分析的一般方法：

A．分析影響變量的主要因素;

B．利用最小二乘法獲得經(jīng)驗公式;

C．分解總變差，得到回歸平方和與參差平方和;

D．構建F變量，做F檢驗;

E．根據(jù)F檢驗判斷經(jīng)驗公式的正確性與可信賴度．

［1］蘇啟錄，陳金恩．彈簧振子問題探討［J］．福州師專學報，1999(6)：26-28．

［2］程光明，石代蓉，陳希明．線性對稱三彈簧振子振動的數(shù)值研究［J］．重慶文理學院學報：自然科學版，2012，31(2)：40-44．

［3］張忠厚．實際彈簧振子的振動問題［J］．遼寧工程技術大學學報，2010(29)：173-175．

［4］謝利民．彈簧振子運動的實際動力學分析［J］．上海師范大學學報，2002(2)：91-95．

［5］陳希明，潘娜娜，潘宇．無阻力任意擺角下配重復擺振動的數(shù)值研究［J］．重慶文理學院學報：自然科學版，2012，31(1)：45-49．

［6］詹士昌，徐婕．關于彈簧振子實驗中實驗條件的討論［J］．杭州師范學院學報，2006(2)：114-117．

［7］鄢玉霞，呂建偉，宦強，等．彈簧振子實驗方法的運用和改進［J］．物理實驗，2006(6)：36-38．

［8］何曉明．利用數(shù)據(jù)處理總結經(jīng)驗公式［J］．青海師范大學學報，2008(2)：32-36．

［9］余長青．淺談最小二乘法及其在科學實驗中的應用［J］．黔南民族師范學院學報，2005(6)：53-56．

［10］鄒樂強．最小二乘法原理及其簡單應用［J］．科技信息，2010(23)：282-283．

［11］黨興菊，吳文良．最小二乘法擬合直線公式的初等推導［J］．重慶科技學院學報，2010(4)：185-187．

［12］王曉光，玉萍，王菊．最小二乘估值的計算方法［J］．吉林建筑工程學院學報，2004(3)：51-54．

［13］費業(yè)泰．誤差理論與數(shù)據(jù)處理［M］．合肥：機械工業(yè)出版社，2010：94-155．