基于p-Laplace算子的非線性邊值問題研究

汪志鋒

(安徽工業職業技術學院基礎部，安徽 銅陵 244000)

非線性問題具有廣泛的代表意義，各領域對非線性問題的研究都具有迫切的需求，在探索解決這些非線性問題的進程中，培育并形成了非線性泛函分析這一重要現代分析學分支，為解決非線性問題提供了有力支持．非線性算子具有連續、有界、全連續、可微等一般性質，在非線性邊值條件的應用十分廣泛，一類帶p-Laplace算子的非線性邊值問題在物理學等領域具有廣泛應用［1-2］．

考慮如下帶p-Laplace算子的微分方程邊值問題：

當p=2時，則方程組(1)可化為帶非線性邊值條件的二階微分方程組;當p≠2時，則方程組(1)變得更為復雜和多變，也成為各類問題研究的熱點之一．文獻［3-4］討論了運用全連續算子的不動點指數定理獲得正解的條件;文獻［5-6］提出利用臨界點理論探討有非線性邊界條件常帶p-Laplace算子的微分方程在強制條件下解的存在情況等．筆者分析p-Laplace算子邊值問題多個正解的存在性．

1 問題的提出

則稱β0為邊值問題(1)的上解．

根據上述所討論的問題，對邊值問題(1)改進如下：

其中，r，r*∈R．

2 主要結果

這里，我們假設(A1)0≤r＜1，0≤r*＜1，f∈ C(［0，T］，R+)，g*≥0 ．

假設條件(H1)～(H3)均滿足，則有如下結論：

引理 1 如果 0≤ a ＜ 1，f∈ C(［0，T］，R+)，那么邊值問題

有唯一解 u(t) ，且 u(t) ≥0，t∈［0，T］．

推論 1 如果 0≤ a ＜ 1，f∈ C(［0，T］，R+)，則邊值問題：

有唯一解 u(t) ，且 u(t) ≥0，t∈［0，T］．

設 α0，β0∈C ，若對于任意的 t∈［0，1］，都有α0(t)≤β0(t) ，則記為α0≤β0．下面，我們通過證明來給出(1)式的主要結果．

定理1 我們假設條件(H1)～(H3)均滿足，且 (A4)α0，β0分別為 BVP(1)的上下解，滿足：α0(t) ≤ β0(t)，［0，T］，則存在單調序列{αn(t)}(非減序列)，{βn(t)}(非增序列)，分別一致收斂于BVP(1)在序區間{α0，β0}上的極值解．

證明

設A：X→2x為給定的映射，稱A是有界逆緊的．

下面分4步來證明定理1．

第1步 證明 α0≤A(α0) ，且A(β0)≤ β0．根據C的定義及相關引理，則可以直接得出這一結論．

第2步 證明若α0≤η1≤η2≤β0，則Aη1

第4步 證明y*，y*是BVP(1)的極值解．

設y(t)是BVP(1)的任意一個解，且滿足：α0(t)≤y(t)≤β0(t)，t∈［0，T］，下面證明如果對于某個 n，n=0，1，2… 有 αn(t) ≤ y(t) ≤βn(t)，則必有αn+1(t)≤y(t)≤βn+1(t)成立．

則

由推論1及相關引理，可得對于所有的t∈［0，T］，存在 u(t) ≥0，i．e．αn+1≤y(t) ，同時進行相關推理，同理可證：y(t) ≤βn+1，t∈［0，T］．因此，可以斷定對于任意的t∈［0，T］，恒有αn+1≤y(t)≤βn+1，故y*(t)≤y(t)≤y*(t)．

3 結語

近年來，邊值問題的理論和實際應用都得到廣泛的關注和發展，非線性邊值條件的應用較廣泛，越來越多的人開始并繼續著這方面的研究，但相關的研究并不十分深入與系統，并且對于帶p-Laplace算子的非線性邊值問題探討比較匱乏．筆者將單調迭代法與上下解方法結合，對一類帶p-Laplace算子的非線性邊值問題進行研究，分析p-Laplace算子邊值問題多個正解的存在性．該方法對于證明極值解的存在性是一個比較實用的方法．

［1］工瓊，邢業朋．二階反周期邊值問題Nagumo型存在性定理［J］．上海師范大學學報，2010，39：13-32．

［2］魏利．關于含有p-拉普拉斯算子方程解的存在性的注［J］．應用泛函分析學報，2007(3)：1-10．

［3］Su Hua，Wang Baohe，Wei Zhongli．Positive solutions of fourth-order four-point boundary value problems with p-Laplacian operator［J］．J．Math．Anal．Appli．，2006(7)：1-10．

［4］胡茂林．p-拉普拉斯方程正解和多解的存在性［J］．安徽大學學報：自然科學版，2003(2)：12-13．

［5］師夏陽，丁宣浩，蔣英春．p(x)拉普拉斯方程Dirichlet條件多解性問題研究［J］．云南民族大學學報：自然科學版，2008(4)：21-23 ．

［6］孔祥山，范進軍，李海濤．時間測度鏈上p-Laplace算子型三點邊值問題兩個正解的存在性［J］．科學技術與工程，2010(6)：32-35．