一類非線性雙曲方程的整體解

嚴 勇

(四川民族學院數學系，四川 康定 626001)

本文研究如下一類非線性雙曲方程的初邊值問題：

其中：Ω?Rn(n≥1)是具有光滑邊界?Ω的有界區域，γ ≥0，δ≥0，β ＞ 0，α，β，γ 均為常數．方程(1)被稱為帶耗散項和強阻尼的Kirchhoff方程．一般我們作如下的假設：

(H1)m(s)∈C1(［0，+∞))，且存在常數m0，使得對任意的s≥0有m(s)≥m0≥1;

當γ=0，δ=0，β=0時，此方程解的存在性被許多作者研究過［1-2］．當 n=1，m(s)=a+bs(a，b ＞ 0) 時，Kirchhoff G［1］在1883 年研究弦的橫截運動時，提出如下的數學方程，即：

其中：L表示弦的長度．當γ=0，δ=0，β=1時，文獻［4］利用Galerkin方法和勢井理論得到了方程局部解的存在性與唯一性．當δ=0時，文獻［5］利用Galerkin方法和勢井理論，得到了在小初值條件下，局部解的存在性與唯一性．當m(s)=1時，其研究結果可見文獻［6-7］．陳冬貴［8］研究了具有Lipschitz連續系數的非齊次kirchhoff方程的Cauchy問題．

本文考慮的函數都是實函數，當不引起混淆時，我們略去 u(x，t)，ut(x，t) 中的 x，并分別記為u(t)，u'(t)．當2≤p≤∞ 時，記‖·‖p為Ω上Lp的范數．特別地，L2(Ω)上的范數和內積分別記為‖·‖2和(·，·)．由于方程(1)中含有常數 α，β，γ，文獻［4］和［6］構造的能量泛函不適合該問題(1)～(3)．我們將構造新的能量泛函，引進穩定集的概念，利用Galerkin方法和改進的勢井理論，得到問題(1)～(3)解的局部存在性．

1 預備知識

首先，定義如下的能量泛函：

這樣初始能量泛函為：

構造函數

［1］Kajitani K，Yamaguti K．On global real analytic solutions of the degenerate Kirchhoff equation［J］．Ann．Sc．Sup．Pisa，1994(4)：279-297．

［2］Hirosa F．Global solvability for the degenerate Kirchhoff equation with real-analytic data in Rn［J］．Tsukuba J．Math．，1997(21)：483-503．

［3］Kirchhoff G．Vorlesungen über mechnik［M］．Teubner，Leipzig，1883．

［4］李慶霞．一類非線性雙曲方程的局部解存在性［J］．數學研究，2002(2)：175-180．

［5］嚴勇，姚莉．一類非線性雙曲方程的局部解［J］．四川師范大學學報：自然科學版，2004，27(5)：497-500．

［6］Todorova G．Stable and unstable sets for the cauchy problem for a nonlinear wave equation damping and source terms［J］．J．Math．Anal．Appl．1999，239：213-226．

［7］Todorova G．Cauchy problem for a nonlinear wave equation with nonlinear damping and source terms［J］．Nonliear Anal．，2000，41：891-905．

［8］陳冬貴．具有Lipschitz連續系數的Kirrchhoff方程［J］．數學學報，1998，41(2)：337-346．