基于Lame方程研究非線性Schr?dinger方程的行波解

相春環

(重慶文理學院數學與財經學院，重慶 永川 402160)

近年來探索非線性偏微分方程的解析解，即可積性問題的研究已成為非線性數學物理領域學者研究的一個熱點［1-3］．由于非線性偏微分方程可以較近似的描述很多非線性物理現象，從而被物理學、生物學、化學、工程建設等方向用作模型．本文研究的非線性Schr?dinger方程就是一個被應用在眾多方向(熱力學、非線性光學、非線性聲學、量子凝聚物質等)且被廣泛研究的非線性偏微分方程，特別是在玻色-愛因斯坦凝聚的研究中，該方程的應用就是被關注的重要見證之一［4-5］．另外，關于高溫超導和冷原子在光格子上實驗理論和應用研究這一競爭非常激烈的熱點問題也涉及該方程的應用［6］．數學工具的實際應用深刻地揭示了數學、物理學等領域中許多不同分支之間的一些相互聯系，更重要的是其中所涉及的新思想，特別是一些新的代數結構，為物理學相關問題的研究提供了更廣泛的基礎．本文從Lame方程［7］的角度，并借助橢圓方程研究了非線性Schr?dinger方程的行波解．

1 關于Lame方程

2 非線性Schr?dinger方程的行波解

非線性Schr?dinger方程是科學研究中一個重要的方程，其一般形式表示如下：

方程(2)中α和β是兩個常參數系數，其中α是色散頻率系數，β是朗道系數．在不失一般性的條件下可設非線性Schr?dinger方程的通解如下：

k和w分別為波數和頻率．將(3)式代入(2)式可得如下形式的方程：

由微擾展開法的知識可得方程(4)波函數的無窮項展開式：

上式中，pn(0 ＜ p＜1)，n=0，1，2…為相應項的系數，φ0、φ1和φ2分別對應方程(4)的零階解、一階解和二階解．

把方程(5)代入(4)式，經過整理可得形式

如下含有相應階數的方程：

方程(6)的解可用第三類橢圓函數的形式設為：

上式中，g0、g1和g2是待定系數．將(9)式代入方程(6)，并把各次方的系數合并等零可得：

故方程(4)的零階解在w，k，α，q滿足w-αk2=(q2-2)α的條件時可表示為：

把方程(10)代入方程(7)，可得如下方程：

如果設s=2和n=2，借助于方程(1)，我們可得方程(11)的本征值為：2-q2．參考文獻［9］可得方程(11)的本征函數：

其中，c是一個常數參數．將方程(10)和(12)代入方程(8)，關于方程(4)的二階解的方程可寫為：

基于上面的討論，這里假設方程(13)解的形式如下：

這里f1和f2為待定系數．把方程(14)代入方程(13)并合并dn各次方項的系數可得：

把方程(15)代入(14)可得方程(13)的最終解的形式：

將方程(10)、(12)和(16)代入方程(3)得到非線性Schr?dinger方程的最終行波解為：

當模數q→0時，橢圓函數作如下退化：

當模數q→1時，橢圓函數可化作雙曲函數表示：

將(18)式和(19)式分別代入非線性Schr?dinger方程的行波解(17)可得：

方程(17)、(20)和(21)分別為非線性Schr?dinger方程的橢圓函數解、三角函數解和雙曲函數解．

3 結論

本文借助Lame方程和橢圓函數方程得到了非線性Schr?dinger方程的行波解，并在橢圓函數的模數趨于兩種極限的情況下得到了由橢圓函數演變的行波解：三角函數解和雙曲函數解．通過對上述行波解的分析，我們可容易得到非線性Schr?dinger方程在某特殊點的解析解及其所描述現象的物理可觀測量．相因子是波函數的一個重要方面，通過測量相因子可以測得不同參數的相位，借助數值模擬探測模型對稱破缺的行為，進而印證解析的正確性．這3類精確行波解可提示并幫助研究應用該方程的學者對可以用非線性Schr?dinger方程描述的物質結構有更新的認識．同時，本文獲得非線性Schr?dinger方程行波解的簡捷過程是解相關非線性偏微分方程的得力工具．

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