兩種空化模型計算二維水翼空化流動研究

劉 艷， 趙 鵬 飛， 王 曉 放

(1.大連理工大學 能源與動力學院，遼寧 大連 116024；2.大連理工大學 船舶工程學院，遼寧 大連 116024)

0 引 言

空化現(xiàn)象常發(fā)生在高速旋轉運行的水利機械中，如各種泵、螺旋槳及高速艇水翼.當流場內某處的局部壓力低于液體工作溫度所對應的汽化壓力時，該處液體就會汽化，接著生成氣泡，氣泡生長直至潰滅，這種現(xiàn)象稱為空化現(xiàn)象.該過程涉及相變、質量傳輸、可壓縮性以及流動非定常[1]，因此，空化是一種非常復雜的流動現(xiàn)象，對水利機械的工作性能會產生很大的影響.

傳統(tǒng)上研究空化的方法是模型試驗.模型試驗需要有空化水洞.該設施投資大，周期長.近年來，隨著計算流體力學的發(fā)展，數(shù)值研究空化現(xiàn)象因經濟性好、周期短和不受設備限制而受到了研究者們越來越多的關注.空化研究屬于多相流計算范疇.在多相流理論中，氣相或液相的質量分數(shù)或體積分數(shù)通過組分方程或代數(shù)方法獲得.如果使用組分方程，那么不同相之間的流體質量傳遞通過方程的源項加以考慮.絕大多數(shù)空化流動計算中都視工質為單一混合介質，這便是混合多相流模型中混合的含義.

空化流動計算的關鍵是確定汽(氣)、液相之間質量交換量的數(shù)學模型.Kubota等[2～4]及Zwart等[5]先后提出了不同的空化模型.這些模型都是基于氣泡動力學Rayleigh－Plesset方程推導而來且都獲得了不同程度的應用.商業(yè)軟件FLUENT 6.2中使用Singhal完全空化模型(FCM)，ANSYS CFX 11采用的是Zwart－Gerber－Belamri(Z－G－B)空化模型.Huang等[6]應用完全空化模型[4]對某 NACA66(MOD)水翼在不同攻角時的定常空化形態(tài)進行了研究.褚學森等[7]應用(完)全空化模型[4]研究了回轉體和圓盤空化器的自然空化流動，給出了不同氣核質量分數(shù)和湍流參數(shù)對空化流動的影響結果.郝宗瑞等[8]對8°攻角的NACA0015水翼進行了非定常二維空化流場的結構和流動特性研究.Kang等[9]數(shù)值模擬了直徑為200mm的四葉軸流泵的三維空化流動.劉登成等[10]對直徑為227mm的INSEAN E779A四葉模型槳的空化流動進行了研究.上述這些計算都是借助FLUENT完成的且獲得了令人滿意的結果.韓寶玉等[11]借助CFX，應用Z－G－B空化模型模擬了某NACA66水翼的定常和非定常空化流動，并對原Z－G－B空化模型中部分經驗系數(shù)進行了修改，修改系數(shù)后的Z－G－B空化模型的計算結果與試驗值吻合較好.

由以上可以看出，文獻中大多使用單一空化模型研究空化流動問題.為了比較Singhal等[4]的全空化模型和Z－G－B空化模型的可靠性和計算精度，本文選取二維NACA66翼型進行空化流動計算，并且在空化數(shù)較大的情況下進行驗證(此種情況下可認為流動為穩(wěn)定的空化流動)，其中全空化模型借助于 FLUENT 6.2軟件實現(xiàn)，Z－G－B空化模型借助于ANSYS CFX 11實現(xiàn).

1 數(shù)值模擬方法

1.1 控制方程

將水和汽(氣)的混合物視為不可壓流體.流動的控制方程包括質量守恒方程、動量守恒方程和組分方程.在不計及體積力時，直角坐標系下定常不可壓流體的雷諾時均的 Navier－Stokes(RANS)方程組可表示為如下形式:

式中:i，j＝1，2，1、2分別代表x和y方向(二維)；U、p分別代表時均速度和靜壓力；ρm和μm分別表示混合物的密度和動力黏度；τij表示雷諾應力，需要通過湍流模型近似求得.式(3)表示的是混合物中氣相的輸運方程，其中αv表示氣相體積分數(shù)，m·＋e和m·－c分別表示單位時間單位體積內氣體的產生項和凝結項.如果使用液相輸運方程，相應的體積分數(shù)和源項分別為液相的體積分數(shù)和凈質量變化值.

本文計算選用的湍流模型為標準k－ε模型(湍動能k及其擴散率ε的輸運方程可參閱文獻[12])及壁面函數(shù).雷諾應力τij的計算公式如下:

其中

式(5)中μt表示湍流黏度.混合物的密度ρm由下式計算:

式中:下標v、l和g分別表示氣相、液相和不凝結氣體，f代表質量分數(shù).如果忽略不凝結氣體的影響，式中的fg取為0.體積分數(shù)與質量分數(shù)間的關系為αv＝fvρm／ρv.如前所述，不同的空化模型，相間質量傳遞的計算方式不同.

1.2 空化模型

1.2.1 完全空化模型 Singhal等[4]提出的完全空化模型是基于氣泡動力學Rayleigh－Plesset方程，氣、液兩相質量守恒方程和相關物理假設推導而來的，同時考慮了湍流和不凝結氣體的影響.氣、液兩相的質量變化計算式表達如下:

其中

上述表達式中pv代表飽和蒸汽壓；k為湍動能；S為表面張力系數(shù)；Ce、Cc為模型常數(shù)，分別取為0.02和0.01(值得一提的是，當對方程(7)和(8)

進行量綱分析時，發(fā)現(xiàn)方程兩邊的量綱不匹配.文獻[1]中也指出了這個問題.將方程(7)和(8)中的用k表示可以滿足量綱條件.FLUENT中使用的仍然是原模型.此問題有待進一步研究).

1.2.2 Z－G－B空化模型 Z－G－B[5]空化模型是在忽略氣泡表面張力和二階導數(shù)項的情況下，由Rayleigh－Plesset方程得到如下的相間質量傳遞計算公式:

式中:Rb代表氣泡半徑；rnuc代表成核區(qū)的體積分數(shù)；Fvap和Fcond分別為Z－G－B空化模型的經驗蒸發(fā)系數(shù)和凝結系數(shù).各參數(shù)取值為Rb＝1μm，rnuc＝5×10－4，F(xiàn)vap＝50，F(xiàn)cond＝0.01.

相對于全空化模型，Z－G－B空化模型推導過程比較簡單，模型中也沒有考慮不凝結氣體的影響，但公式中經驗常數(shù)較多.這些經驗常數(shù)如果選取得不合適，可能會對結果產生影響.

1.3 數(shù)值方法

1.3.1 離散格式 FLUENT 6.2中，提供了不同精度的離散格式.本計算中，對流項選用二階迎風格式，壓力項選用二階中心差分，氣相輸運方程選用三階精度的QUICK格式.使用ANSYS CFX 11計算時，各控制方程均選用高精度的離散格式，即High Resolution格式，它采用一個混合因子來自動調節(jié)該區(qū)域中采用的差分格式，在變量梯度變化比較小的區(qū)域使用一階迎風格式，在變量梯度比較大的區(qū)域使用接近二階迎風格式.該格式可以較好地平衡計算的穩(wěn)定性和精度.

1.3.2 計算區(qū)域及邊界條件 本文算例取自文獻[13]中的NACA66水翼.翼型的弦長C為150 mm，攻角為6.5°，最大厚度比的位置距葉片前緣45%，其值為12%，最大拱度比的位置距葉片前緣50%，其值為2%.基于弦長和來流速度(5.33 m／s)的雷諾數(shù)為8×105.實驗段上下表面距離為192mm，翼展長為191mm.

計算采用二維區(qū)域.計算域大小為7C×192 mm2.邊界條件的設置如圖1所示.入口條件為均勻來流(5.33m／s)，出口給定靜壓.入口處距葉片前緣2C，出口處距葉片前緣5C.網格采用C型結構化網格.計算采用的介質為20℃的水(密度998.2kg／m3，動力黏度0.001 002kg／(m·s))和水蒸 氣 (密 度 0.017 31kg／m3，動 力 黏 度0.000 973kg／(m·s))，飽和水的表面張力系數(shù)為0.072 361N／m，飽和蒸汽壓pv為2 340Pa.

圖1 計算域及邊界條件示意圖Fig.1 Schematic of the computational domain and boundary conditions

2 計算結果與分析

計算中使用的初生空化數(shù)和翼型表面靜壓力系數(shù)分別定義如下:

其中U∞為無窮遠來流速度；p∞為無窮遠處壓強，這里取出口壓力；p代表翼型表面靜壓強.

2.1 網格無關性討論

研究與空化有關的文獻發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)空化流動計算中都使用高雷諾數(shù)湍流模型.作者的試算也發(fā)現(xiàn)高雷諾數(shù)模型比低雷諾數(shù)模型預報的結果要好.這可能是由于空化模型的驗證是在高雷諾數(shù)湍流模型條件下進行的.基于此，本文湍流模型選用標準的兩方程k－ε模型.對于標準的k－ε模型，壁面附近不需要求解ε，即不需要求解湍動能耗散率的輸運方程，使用基于壁面速度對數(shù)率導出的代數(shù)方程獲得.使用壁面函數(shù)時，要求壁面處第一層網格節(jié)點的量綱一壁面距離y＋大于30.FLUENT 6.2和ANSYS CFX 11中使用修正的壁面函數(shù)，使得第一層網格節(jié)點的量綱一壁面距離y＋大于11即可.

使用FLUENT對無空化流情況進行網格無關性研究.根據(jù)經驗公式，選取第一層網格高度為4×10－4m，網格伸展比為1.2，葉片周向網格節(jié)點數(shù)為220，網格節(jié)點總數(shù)為35 462，此網格作為初始網格.然后將此網格在各個方向上加密1倍，所得的網格作為加密網格(網格節(jié)點總數(shù)70 924).圖2給出了兩種網格下葉片表面第一層節(jié)點的y＋分布情況，圖3給出了吸力面壓力系數(shù)分布.

圖2 無空化流時兩種網格下葉片表面的y＋分布Fig.2 Distribution of y＋on the low sides of the hydrofoil for two kinds of grids for a noncavitating flow

圖3 無空化流時兩種網格得到的葉片吸力面上壓力系數(shù)分布Fig.3 Distribution of pressure coefficients on the suction side of the hydrofoil for two kinds of grids for a noncavitating flow

由圖2可以看出，粗、細網格下得到的第一層計算節(jié)點y＋的平均值分別為40左右和20左右，滿足使用壁面函數(shù)的要求.由圖3可看出，加密網格和初始網格下，吸力面壓力系數(shù)的計算結果差別不大，均與實驗值吻合較好.考慮到計算的經濟性，以下的計算采用初始網格即粗網格.

2.2 無空化流時葉剖面壓力分布比較

圖4比較了無空化流情況下，兩種軟件得到的NACA66翼型吸力面上的壓力系數(shù)分布情況.由圖4可知當x／C＜0.2，兩種軟件預報的Cp均小于實驗值；當x／C＞0.2后，計算值與實驗值均吻合較好.盡管兩種軟件使用的壁面函數(shù)和數(shù)值方法不同，但無空化流時計算結果基本一致.

圖4 NACA66翼型無空化流時吸力面壓力系數(shù)分布比較Fig.4 Comparison of the pressure coefficients on the suction side of NACA66hydrofoil at noncavitating flow

2.3 空化流動計算結果與分析

空化計算時，發(fā)現(xiàn)不同空化模型中經驗系數(shù)的大小對結果有一定影響.由于文獻[13]中沒有給出實驗條件下不凝結氣體質量分數(shù)等參數(shù)，計算中需要選取合適的經驗系數(shù).計算入口的湍流度取0.5%(通常水洞實驗時的來流湍流度為0.5%[14])，出口壓力值根據(jù)空化數(shù)確定.2.3.1 完全空化模型中不凝結氣體質量分數(shù)對計算結果的影響 在空化數(shù)為1.41情況下，考察3種不凝結氣體質量分數(shù)情況，即fg＝5×10－6、fg＝1×10－6和fg＝5×10－7，從中確定合適的fg.圖5給出了吸力面上的壓力系數(shù)分布情況.由圖5可以看到，隨著不凝結氣體質量分數(shù)的減小，空化區(qū)長度減小，這與文獻[15]的結論一致.從本文的計算結果看，當fg＝1×10－6或fg＝5×10－7時，壓力系數(shù)分布曲線與實驗值吻合較好.此外，從圖5中還可以看出，完全空化模型在空化區(qū)末端壓力梯度比較大，這和文獻[4]計算結果一致.表1給出了空化數(shù)為1.34和1.41時不同fg情況下，計算得到的升力系數(shù)和阻力系數(shù)結果.

圖5 3種不同fg時葉片吸力面上壓力系數(shù)分布情況比較(σ＝1.41)Fig.5 Comparison of the pressure coefficients on the suction side of the hydrofoil for three kinds of fgwithσ＝1.41

觀察表1可以看出隨著不凝結氣體質量分數(shù)的減小，升力系數(shù)減小，阻力系數(shù)也同時減小.這是空化區(qū)為低壓區(qū)造成的.隨著不凝結氣體質量分數(shù)的減小，空化區(qū)即低壓區(qū)長度減小，吸力面上非空化區(qū)即壓力恢復區(qū)長度增大，這樣翼型上下兩表面間的壓差減小，因而升、阻力系數(shù)減小.由此看出完全空化模型中不凝結氣體質量分數(shù)對結果有一定的影響.當fg＝1×10－6時計算誤差相對較小.這與FLUENT 6.2中默認值fg＝1.5×10－5不一致.fg＝1.5×10－5是常溫下水中氣體的質量分數(shù).空化水洞實驗時，因為要抽真空，所以水中氣體含量會小些.文獻[4]中取fg＝1×10－6，因此本文最終選取fg＝1×10－6.

表1 不同fg時升力系數(shù)和阻力系數(shù)計算結果和誤差Tab.1 Calculated lift and drag coefficients and relative errors for different fg

2.3.2 Z－G－B空化模型中不同系數(shù)對計算結果的影響 由式(10)和(11)可知 Z－G－B空化模型[5]中有4個經驗常數(shù).這些常數(shù)經過不同算例驗證過，具有一定的通用性，但是根據(jù)本文試算和文獻[11]結果發(fā)現(xiàn)，這些常數(shù)值不是最佳值，某些參數(shù)如蒸發(fā)系數(shù)和凝結系數(shù)需要調整.本文在計算中，初始氣泡半徑Rb和成核區(qū)的體積分數(shù)選用原模型中的值，即Rb＝1×10－6m，rnuc＝5×10－4，其他兩個系數(shù)進行驗證選取.

(1)Z－G－B空化模型中不同蒸發(fā)系數(shù)對計算結果的影響

以空化數(shù)為1.41的工況為例，蒸發(fā)系數(shù)分別選取50(模型中原始值)、100和200.3個不同蒸發(fā)系數(shù)時計算得到的吸力面上的壓力系數(shù)分布情況見圖6.由圖6可以看出，當Fvap＝50時，數(shù)值預報的空化消失過渡區(qū)與實驗結果有些偏離.隨著蒸發(fā)系數(shù)增大，結果有所改善.表2給出了不同蒸發(fā)系數(shù)時升力系數(shù)和阻力系數(shù)的計算結果和誤差.由表2可以看出，隨著蒸發(fā)系數(shù)增大，升、阻力系數(shù)的絕對值變化不是很大，但由于本身值很小，相對誤差變化很大.綜合壓力分布曲線和升、阻力系數(shù)值，以下計算選用Fvap＝100.

圖6 不同蒸發(fā)系數(shù)時葉片吸力面上壓力系數(shù)分布情況(σ＝1.41)Fig.6 Distribution of pressure coefficients on the suction side of the hydrofoil for differentFvapatσ＝1.41

表2 不同蒸發(fā)系數(shù)時升、阻力系數(shù)計算結果及誤差(σ＝1.41)Tab.2 Calculated lift and drag coefficients and relative errors for different Fvap(σ＝1.41)

(2)Z－G－B空化模型中不同凝結系數(shù)對計算結果的影響

同樣以空化數(shù)為1.41的工況為例，凝結系數(shù)分別選取0.010 0(Z－G－B空化模型中給定的原始值)、0.005 0和0.002 5進行計算.其他參數(shù)選原模型中的值.圖7顯示的是3種不同凝結系數(shù)時吸力面上壓力系數(shù)分布情況.由圖7可以看出，當Fcond＝0.010 0時，預報的過渡區(qū)與實驗結果有些偏離.隨著凝結系數(shù)的減小，完全空化區(qū)變短，空化過渡區(qū)變長，總的空化區(qū)長度增加，壓力梯度變小.表3給出了不同凝結系數(shù)時升力系數(shù)和阻力系數(shù)的計算結果和誤差.由表3可看出，F(xiàn)cond＝0.010 0和Fcond＝0.005 0 的 結 果 基 本 一致，F(xiàn)cond＝0.002 5時誤差較大.綜合壓力分布曲線和升、阻力系數(shù)值，以下計算選用Fcond＝0.005 0.

圖7 不同凝結系數(shù)時葉片吸力面上壓力系數(shù)分布情況(σ＝1.41)Fig.7 Distribution of pressure coefficients on the suction side of the hydrofoil for differentFcondatσ＝1.41

綜合以上結果，使用Z－G－B空化模型計算時，經驗系數(shù)選取如下:成核區(qū)的體積分數(shù)rnuc＝5×10－4，氣泡半徑Rb＝1×10－6m，蒸發(fā)系數(shù)Fvap＝100及凝結系數(shù)Fcond＝0.005 0.

2.3.3 兩種空化模型計算結果比較 圖8顯示了3種空化數(shù)，即σ＝1.41、1.34和1.30情況下，完全空化(fg＝1×10－6)和 Z－G－B(Fvap＝100，F(xiàn)cond＝0.005 0)空化模型得到的吸力面上的壓力系數(shù)分布情況.由圖8可以看出，空化數(shù)減小，壁面上空化區(qū)長度逐漸增大.每種空化數(shù)下，空化開始時流體壓力最小(小于汽化壓力)，之后一段距離內汽化壓力保持不變(此區(qū)域長度因空化數(shù)不同而不同)，然后壓力迅速增大至完全液態(tài)區(qū)，流體壓力再逐漸增大.與實驗結果相比，不同空化數(shù)時，完全空化模型得到的空化區(qū)長度偏大，而ZG－B空化模型得到的空化區(qū)長度偏小，但后者空化區(qū)末端的壓力變化趨勢與實驗結果更趨一致.兩種模型得到的吸力面上的壓力分布趨勢與實驗結果一致.結合流場分析可知，空化區(qū)末端的壓力變化是受水的回射流影響的.

表3 不同凝結系數(shù)時升、阻力系數(shù)的計算結果和誤差(σ＝1.41)Tab.3 Calculated lift and drag coefficients and relative errors for different Fcond(σ＝1.41)

圖8 不同空化數(shù)時葉片吸力面上的壓力系數(shù)分布Fig.8 Distribution of pressure coefficients on the suction side of the hydrofoil at different cavitation numbers

圖9 給出了不同空化數(shù)時兩種空化模型得到的水的體積分數(shù)分布云圖.由圖9可以看出，3種空化數(shù)下，兩種模型都預測出了吸力面前緣附近水的汽化區(qū)(水體積分數(shù)很小區(qū))即空化區(qū)，但兩個空化區(qū)大小和形狀不完全一致.完全空化模型得到的沿壁面空化區(qū)長度比Z－G－B空化模型長，與圖8壓力系數(shù)分布情況一致，而Z－G－B空化模型得到的壁面以外的空化區(qū)長度比全空化模型長.圖10比較了兩種模型得到的流線圖，可以發(fā)現(xiàn)每種空化數(shù)下兩種空化模型得到的流場中空化區(qū)末端都有一個回射流區(qū)，但回射流區(qū)的大小和形狀不一致.Z－G－B空化模型得到的回射流區(qū)更細長.由此不難理解圖9中Z－G－B空化模型得到的水體積分數(shù)分布圖上空化末端區(qū)較長的原因.

圖9 不同空化數(shù)時兩種空化模型得到的水的體積分數(shù)云圖Fig.9 Water volume fraction contours for two cavitation models at different cavitation numbers

圖10 不同空化數(shù)時兩種空化模型得到的流線Fig.10 Streamlines obtained from two cavitation models at different cavitation numbers

表4匯總了3種空化數(shù)情況下FCM和Z－GB空化模型得到的升力、阻力及各自分量的計算結果.可得兩種模型預報的升力的相對誤差均在5%以內.Z－G－B空化模型得到的升力的相對誤差比FCM小些，但阻力預報值偏低.阻力由兩部分組成.一部分是形狀阻力即壓力差引起的，另一部分是黏性摩擦力(簡稱黏性力).由表4可以看出，兩種模型預報的黏性力比較接近，但壓差引起的阻力有一定差別.說明兩種模型預報的壓力場不完全一致.觀察圖8和9可以看出Z－G－B空化模型得到的空化區(qū)長度偏小，導致翼型上、下表面間的壓力差減小，因而合壓力也偏小.

為了進一步比較本文所研究的兩種空化模型的表現(xiàn)，本文對文獻[5]中的NACA66(MOD)水翼(最大拱度比0.02，最大厚度比0.09)進行了空化流動計算.空化數(shù)為0.91.完全空化模型中使用的不凝結系數(shù)為1×10－6.Z－G－B模型中成核區(qū)的體積分數(shù)除了取原值rnuc＝5×10－4以外，還計算了rnuc＝5×10－3的情況.兩種情況下Z－G－B空化模型中的Rb、Fvap及Fcond與2.3.2節(jié)中相同，分別為1×10－6m、100和0.005 0.圖11給出了完全空化模型和Z－G－B空化模型預報的吸力面上壓力系數(shù)分布.由圖11可以看出，兩種模型的表現(xiàn)與前面NACA66的一致，即完全空化模型預報的空化區(qū)長度比Z－G－B空化模型的大，空化過渡區(qū)中Z－G－B模型預報的壓力變化比全空化模型小一些.為便于比較，圖11中也給出了由原始Z－G－B空化模型得到的結果(圖中以原始系數(shù)表示).由圖11還可以看出，對于Z－G－B空化模型，rnuc＝5×10－3預報的結果比原始值rnuc＝5×10－4的結果與實驗值吻合程度好.說明Z－G－B空化模型中的經驗系數(shù)不應該恒定不變，應該給出一個取值范圍，總體說來，完全空化模型和修正的ZG－B空化模型能夠給出正確的壓力系數(shù)分布.

表4 兩種空化模型得到的升力和阻力計算結果比較Tab.4 Comparison of lift and drag obtained from two cavitation models

圖11 NACA66(MOD)吸力面上壓力系數(shù)分布比較Fig.11 Comparison of pressure coefficients on the suction side of NACA66(MOD)

3 結 論

(1)FCM和Z－G－B空化模型中的經驗系數(shù)具有一定的通用性.但在事先無法獲得準確信息的情況下，為了得到更好的預報結果，模型中的系數(shù)需要調整.

(2)兩種空化模型計算空化流動的表現(xiàn)均較好.兩種模型得到的吸力面上的靜壓系數(shù)分布和升力系數(shù)均與實驗值吻合較好.關于阻力系數(shù)，ZG－B空化模型預報的空化區(qū)較小以及回射流區(qū)偏大，導致阻力系數(shù)偏小；完全空化模型預測的阻力系數(shù)與實驗值相差較小，但回射流區(qū)偏小.

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