大鍛件統(tǒng)計學t檢驗法的研究和應用

呂亞臣 齊作玉 于中海 任運來

(1.上海重型機器廠有限公司，上海 200245；2.上海電機學院， 上海 200240)

為了穩(wěn)定控制和不斷提升大鍛件的產(chǎn)品質(zhì)量，我們提出在大鍛件生產(chǎn)領域中應用統(tǒng)計學理論，分析了以單件小批量生產(chǎn)為特征的大鍛件生產(chǎn)領域里應用統(tǒng)計學的現(xiàn)狀和困難[1、2]。同時，針對大鍛件的單件小批量生產(chǎn)特點，給出了大鍛件統(tǒng)計學Chi-square test的研究和應用實例[3]。至此，我們在難度極高的大鍛件小樣本統(tǒng)計學的研究應用上已經(jīng)取得了一定的突破。

然而，Chi-square test所用的統(tǒng)計資料只是計數(shù)資料，其所對應的概率論中的變量也只是離散型的隨機變量。我們在實際統(tǒng)計應用中遇到的變量通常是兩大類，即離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量，它們所對應的統(tǒng)計學資料也是兩個大類：即計數(shù)資料和計量資料。到目前為止，在大鍛件小樣本統(tǒng)計學的應用研究上，對離散型隨機變量或計數(shù)資料的研究應用僅僅是起步，仍需要針對連續(xù)型隨機變量或計量資料展開深入研究。

離散型隨機變量或計數(shù)資料在實際應用中占據(jù)很大比重，它們是對每個觀察單位用定量的方法測定某項指標所得的資料。這類資料大都是用測量工具或儀器測得的，帶有度、量或其它單位，所以叫測量或計量資料，如抗拉強度、屈服強度、伸長率、收縮率、沖擊功和硬度等。因此針對連續(xù)型隨機變量或計量資料來研究大鍛件小樣本統(tǒng)計學是十分必要的。

根據(jù)大鍛件的單件小批量生產(chǎn)特點和統(tǒng)計學的基本理論方法，本文論述了大鍛件的小樣本Student test，即t檢驗，并給出了具體應用示例。該方法可用于大鍛件工藝參數(shù)的科學分析和生產(chǎn)驗證，也可用于大鍛件質(zhì)量分析和判斷，還可用于構(gòu)建新一代大鍛件工藝與產(chǎn)品質(zhì)量控制系統(tǒng)，幫助實現(xiàn)穩(wěn)定和提升大鍛件工藝和產(chǎn)品質(zhì)量的目的。

1 t檢驗法理論基礎

1.1 可信區(qū)間

在統(tǒng)計抽樣研究中進行數(shù)量分析和比較時，如果以樣本均數(shù)來估計總體的均數(shù)則叫點估計值。點估計值屬于就數(shù)論數(shù)。從科學的角度，我們不能對就數(shù)論數(shù)下結(jié)論，而應該對數(shù)量加以必要的統(tǒng)計處理再下結(jié)論。在科學研究中，通常用區(qū)間估計，即估計總體均數(shù)落在什么范圍，我們把這種范圍叫做均數(shù)的可信區(qū)間。

1.2 顯著性檢驗

不可能將總體的全部個體都進行觀察，只能從中抽取部分進行試驗研究。用部分的研究結(jié)果說明總體規(guī)律性，這種方法叫做抽樣調(diào)查。抽樣調(diào)查的結(jié)果受到偶然現(xiàn)象的影響，所得結(jié)果與總體之間存在一定的差異叫作抽樣誤差。抽樣誤差總是存在于抽樣調(diào)查之中，統(tǒng)計處理就是研究各數(shù)之差是不是由抽樣誤差引起的一種方法(所以也叫誤差檢驗)。如果樣本之間的差異是由抽樣誤差引起的，那么這些樣本可能來自規(guī)律相同的總體，就其總體規(guī)律來說沒有差異。如果各數(shù)間的差異不是由抽樣誤差引起的，那么這些樣本可能不是來自一個總體，而是來自規(guī)律不同的兩個或幾個總體。也就是說，這些有差別的樣本可能代表著幾個不同的總體，所以差異顯著。

統(tǒng)計上用概率P來表示由抽樣誤差引起的可能性有多大。習慣上將P≤0.05 或P≤0.01稱為小概率事件，表示事件發(fā)生的可能性很小。統(tǒng)計學上習慣規(guī)定P>0.05為差異不顯著，0.05≥P>0.01為差異顯著，P≤0.01為差異非常顯著。

1.3 t檢驗

t檢驗是根據(jù)t分布(標準正態(tài)分布)原理建立起來的顯著性檢驗方法。

自由度為n的t分布的概率密度為[4]：

(1)

式中，-∞

根據(jù)f(t)的圖形，它關于t=0是對稱的，并且形狀類似于正態(tài)變量概率密度的圖形。該圖形適合于用小的自由度n或者小的樣本量來表示。在t分布表格中，n通常也是比較小的數(shù)值，有些t表格只表示了最大為45的n值。n越大，t值的變化越小。

統(tǒng)計學研究的結(jié)果表明，我們應該根據(jù)所抽取樣本量的大小來選擇不同的顯著性檢驗方法。通過對統(tǒng)計學方法的分析歸納，可以得出以下觀點：

對于計量資料的顯著性檢驗，當樣本含量較小，比如200例以下，應該選用t(Student)檢驗；當樣本含量大于200，則采用n→∞的標準正態(tài)分布的檢驗。

關于最小樣本量，目前沒有確切的要求，但原則是應該滿足統(tǒng)計要求。比如，正態(tài)性檢驗，它適用于7～2 000的樣本量。而根據(jù)t值和t分布的特征和各種統(tǒng)計學應用實例，樣本量應該在6～200之間。

2 t檢驗方法和實例

2.1 長軸類鍛件不合格原因分析

長軸類鍛件軸端的力學性能在拔長比達到一定條件后容易出現(xiàn)各向異性，它們之間的比值稱為異性系數(shù)。

20世紀80年代，上海重型機器廠為上海電機廠生產(chǎn)45鋼電機軸時常常會碰到電機軸切向性能不能滿足技術要求的問題。在對1987年的電機軸統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)，全年有39個鍛件在試驗檢查中出現(xiàn)了切向力學性能不合格的問題。進一步的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，39個不合格鍛件中，軸端鍛比大于10的占95%，切向斷面收縮率不合格的占97%，延伸率不合格的占3%。

這是典型的各向異性問題，表現(xiàn)是軸端部拔長比過大。但是，鋼錠必須經(jīng)過鐓粗拔長的變形過程，最后的成品必須是有細的軸頸。因此，鍛造上根本不能回避大拔長比的問題。

為此，有研究者提出改善電機軸切向力學性能的根本性措施是：改進冶煉工藝，研究鋼錠缺陷，發(fā)展冶煉鑄錠技術，提高冶金質(zhì)量[5]。

國內(nèi)其它重機廠也同樣碰到過類似的問題。到底靠冶煉能否解決長軸類鍛件的軸端各向異性呢？

為了解決40A船用電機軸的各向異性問題，文獻[6]統(tǒng)計計算了堿性電爐鋼和電渣熔煉鋼的各向異性系數(shù)，包括延伸率、斷面收縮率和沖擊值的各向異性系數(shù)。該文獻最后只是對數(shù)據(jù)進行了經(jīng)驗性直觀判斷，并沒有給出科學的分析判斷。

1987年統(tǒng)計電機軸的數(shù)據(jù)時發(fā)現(xiàn)，通常只出現(xiàn)軸向斷面收縮率不合格與延伸率不合格的情況，故本文只討論延伸率和斷面收縮率的t檢驗應用。

2.2 延伸率t檢驗應用

電爐鋼與電渣鋼的延伸率異向系數(shù)見表1。

采用兩樣本均數(shù)比較的t檢驗方法進行分析，給出分析結(jié)果。

延伸率統(tǒng)計數(shù)據(jù)經(jīng)處理后得到表2。

延伸率各向異性系數(shù)的檢驗步驟如下：

(1)建立假設和確定檢驗水準

H0: 電爐鋼延伸率異性系數(shù)的總體均數(shù)μ1與電渣鋼延伸率異性系數(shù)μ2相同，即μ1=μ2。

H1:μ1≠μ2。

表1 電爐鋼與電渣鋼的延伸率異向系數(shù)Table 1 Elongation anisotropy coefficients of electric furnace steel and electric slag steel

表2 電爐鋼與電渣鋼延伸率的各向異性系數(shù)Table 2 Elongation anisotropy coefficients of electric furnace steel and electric slag steel

(2)計算t值

1)合并方差

s02=[∑X12-(∑X1)2/n1+∑X22-

(∑X2)2/n2]/(n1+n2-2)=0.013 7

2)均數(shù)之差的標準誤

S(m1-m2) = [s02(1/n1+1/n2)]1/2= 0.053 8

3)計算均數(shù)

m1=∑X1/n1=1.237

m2=∑X2/n2=1.091 4

4)計算t值

t=(m1-m2)/S(m1-m2)=4.047 7

(3)確定P值

自由度n′=n1+n2-2=17

按n′和t界值表，所以P<0.001。

(4)判定結(jié)果

按α=0.05準則，拒絕原假設，可以認為電爐鋼延伸率異性系數(shù)的總體均數(shù)μ1與電渣鋼延伸率異性系數(shù)μ2差異顯著。

2.3 斷面收縮率t檢驗應用電爐鋼與電渣鋼的斷面

電爐鋼與電渣鋼的斷面收縮率異向系數(shù)見表3。

斷面收縮率統(tǒng)計數(shù)據(jù)經(jīng)處理后得到表4。

收縮率各向異性系數(shù)的檢驗步驟如下：

(1)建立假設和確定檢驗水準

H0: 電爐鋼收縮率異性系數(shù)的總體均數(shù)μ1與電渣鋼收縮率異性系數(shù)μ2相同，即μ1=μ2。

H1:μ1≠μ2。

(2)計算t值

1)合并方差

s02=0.034 0

2)均數(shù)之差的標準誤

S(m1-m2) = 0.084 8

3)計算均數(shù)

m1=∑X1/n1=1.396

m2=∑X2/n2=0.972 2

4)計算t值

t=(m1-m2)/S(m1-m2)=5.000 5

(3)確定P值

自由度n′=n1+n2-2=17

表3 電爐鋼與電渣鋼的斷面收縮率異向系數(shù)Table 3 Area reduction anisotropy coefficients of electric furnace steel and electric slag steel

表4 電爐鋼與電渣鋼斷面收縮率的各向異性系數(shù)Table 4 Area reduction anisotropy coefficients of electric furnace steel and electric slag steel

t=5.000 5

按n′和t界值表，所以P<0.001。

(4)判定結(jié)果

按α=0.05準則，拒絕原假設，可以認為電爐鋼收縮率異性系數(shù)的總體均數(shù)μ1與電渣鋼收縮率異性系數(shù)μ2差異顯著。

根據(jù)以上統(tǒng)計學方法的檢驗計算可得出結(jié)論，采用電渣鋼可解決長軸類鍛件的各向異性問題。

3 結(jié)束語

大鍛件小樣本統(tǒng)計學的研究還有許多內(nèi)容值得繼續(xù)展開。大鍛件小樣本統(tǒng)計學是大鍛件生產(chǎn)行業(yè)的一項關鍵共性技術，它的成果將廣泛應用于整個大鍛件行業(yè)或領域中。關鍵共性技術研發(fā)是一項長期的基礎性工作。由于關鍵共性技術的研究難度大、周期長，效果也是多年后才能顯現(xiàn)，較難受到企業(yè)的高度重視，已經(jīng)成為制約我國大鍛件產(chǎn)業(yè)持續(xù)健康發(fā)展的核心問題。加快大鍛件生產(chǎn)行業(yè)關鍵共性技術的研究和發(fā)展，尚需國家、行業(yè)和國有大型企業(yè)的共同努力。

[1] 齊作玉.大鍛件生產(chǎn)統(tǒng)計學方法與概念的探討.大型鑄鍛件，2010,(5):38-41.

[2] 呂亞臣，任運來，齊作玉.構(gòu)建新一代大鍛件工藝與質(zhì)量控制系統(tǒng). 大型鑄鍛件，2010,(6):42-45.

[3] 齊作玉，呂亞臣，任運來.大鍛件統(tǒng)計學Chi-square test的研究和應用.大型鑄鍛件，2011,(1):9-25.

[4] 浙江大學數(shù)學系高等數(shù)學教研組編. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計.第1版.北京:高等教育出版社，1979， 208-226.

[5] 《大型鍛件的生產(chǎn)》編寫組編. 大型鍛件的生產(chǎn).第1版.北京:機械工業(yè)出版社，1978，30-41.

[6] 李兆勁.電渣重熔對鋼的各向異性的改善.大型鑄鍛件，1995,(2):28-32.