分形理論在吉林省交通網絡研究中的應用

李秀玲，李誠固

（1.吉林財經大學應用數學學院，吉林長春130117；2.東北師范大學城市與環境科學學院，吉林長春130024）

分形理論在吉林省交通網絡研究中的應用

李秀玲1，李誠固2

（1.吉林財經大學應用數學學院，吉林長春130117；2.東北師范大學城市與環境科學學院，吉林長春130024）

運用分形理論，對吉林省的交通網絡進行了定量分析.通過計算盒子維數和空間關聯維數，分析了其網絡覆蓋形態及空間分布特征.結果表明：吉林省交通網絡具有明顯的分形特征，發育較為成熟，整體通達性較好，應充分利用發達的交通網絡帶動經濟的發展.

交通網絡；覆蓋形態；空間分布；分形

交通作為聯系地理空間中社會經濟活動的紐帶，是社會化分工成立的根本保證.交通網絡作為城市地理空間系統的一個子系統，實現著城市人流、物流的有效流動和運轉，是城市繁榮有序的根源和發展能力的象征，因此城市的發展離不開交通網絡的發展和完善.交通網絡的建設與區域經濟的發展是互相融合、相輔相成的.一個區域的交通發展，常伴隨而來的是經濟發展的提速［1］.

交通便捷程度主要取決于交通網絡的完善程度，交通網絡的完善程度可以用密度和結構來表述.在其他條件不變的情況下，交通網絡密度越大，交通越便利.但是，并不是交通網絡密度大的地方交通就一定便利.Braess佯謬指出，有時增加了交通道路反而降低了通達能力，甚至引起城市與區域的交通阻塞［2］.衡量交通便捷程度還要考慮到交通網絡的結構，即要綜合考慮聯結度和通達度指標［3］.通常情況下，交通網絡密度大，聯接度高、通達度好的網絡是完善的交通網絡.

交通網絡的完善程度通常直接影響到一個區域的地理可進入性.區域的絕對地理位置是固定不變的，但是隨著交通條件的變化，其相對地理位置會發生變化，可達性也會隨之發生巨大的變化.交通便利性的提高意味著對外交往可能性的提高，無論是針對原料產地、生產地還是消費地而言，都會促進經濟活動的發展，從而成為吸引經濟活動布局的重要因素［3］.交通網絡發展的研究對區域發展具有重要的實踐與指導意義，研究區域范圍越大，越能反映出交通網絡發展的全面性.

分形理論［4］是由美籍法國數學家B.B.Mandelbrot創建的，1977年他發表的專著《分形：形狀、機遇和維數》標志著分形幾何學的誕生.B.B.Mandelbrot將分形定義為其組成部分和整體存在某種自相似性的幾何體，它破碎而復雜，是不規則和不可微的，因此不能用傳統的歐幾里得幾何來研究.分形體的自相似性，指的是統計意義上的自相似，而不是數學意義上的自相似.

對分形體進行定量研究，需要對分形維數進行分析.分形維數，簡稱為分維或分數維，它既可以是整數也可以是分數.維數分析是分形理論的精華所在，通過對分維的分析來反映局部對整體的填充能力，揭示系統的演化機理.本文通過計算交通網絡覆蓋度和空間關聯維數對吉林省交通網絡結構進行了研究，以揭示其交通網絡分形特征.這些分形維數能夠反映交通網絡的適應性、通達性、可達性，體現交通網絡的空間形態分布特征，在區域問題研究中能夠有效開展空間研究.

1 城市交通網絡的分形研究

1.1 交通網絡覆蓋形態

將邊長為R的網格覆蓋研究區域，用N（R）表示有交通線路通過的網格數.當R變化時，N（R）也隨著變化.若交通網絡空間分布是分形的，則有

式中：D表示交通網絡覆蓋度，反映網絡覆蓋形態.為了說明其實際意義，我們將（1）式變為

采用差分代替微分，得到

式中：Ri表示第i次細分網絡后的網格邊長；N（Ri）表示第i次細分網絡后有交通線路通過的網格數.現在取單個小正方形來說明，假設此正方形中有交通線路通過，當它被劃分為4個小的正方形時，容易算得：當4個小正方形中均有交通線路通過時，D＝2；當其中3個小正方形有交通線路通過時，D＝1.585；當其中有2個小正方形有交通線路通過時，D＝1；而只有1個小正方形有交通線路通過時，D＝0.由此可知，分維數在是否有交通線路通過的意義上反映出新網絡與原網絡的相似程度.當D＝2時，具有完全的自我相似性.分維數越大，網絡中有線路通過的網格數越多，網絡的覆蓋形態就越好［5］.通常為了使道路覆蓋率較高，讓全區域基本都有道路通過，在路網規劃中取值為1.585≤D≤2.當分維值在1.585與2之間取值時，交通網絡具有基本覆蓋的相似特性.

由（2）式計算分維數D（Ri），（Ri，D（Ri））將形成一條曲線，這條曲線用來描述覆蓋度隨網格邊長變化的關系，稱其為覆蓋度曲線.在這條曲線上，相對于D（R＊）≥1.585的臨界值R＊稱為交通網絡的覆蓋深度.它表示，當網絡中平均有約3/4的區域內有線路通過時的最小網格邊長.覆蓋深度越小，說明相距較小的距離就有一條線路，因此交通狀況就越好［5］.

1.2 交通網絡空間相關性

定義空間關聯函數為：

式中：r為碼尺；dij為i，j兩城市的距離；H為Heaviside函數

在具體計算過程中，為了計算方便，通常將（3）式改為：

如果研究對象的空間分布是分形的，則應具有標度不變性，即

由（5）式易知

若dij為i，j兩城市的歐氏距離，即烏鴉距離，則D為城市體系的空間關聯維數；若dij為i，j兩城市的實際交通距離，即乳牛距離，則D為交通網絡的關聯維數.為了區分這兩個維數，我們將交通網絡的關聯維數記為D′.通常D′越接近于D，意味著城市間的連通性就越好.空間關聯維數能夠有效地反映城市體系中城市之間交通網絡的通達性和城市之間的關聯程度.劉繼生等進一步定義牛鴉維數比為

牛鴉維數比是衡量城市體系交通網絡通達性的定量指標，當ρ＞1時，意味著交通網絡的通達性較差；而ρ越接近于1，說明城市體系中城市間越接近于直線式連通，交通網絡的通達性越好，城市之間的關聯程度也就越高；當ρ＝1時，意味著交通不受任何限制，但是這種極端理想的狀況在現實社會中一般是不存在的［6］.

2 吉林省交通網絡的分形特征

2.1 研究區域情況

吉林省位于我國東北地區的中部，地處北溫帶，地理位置為東經121°38′～131°19′、北緯40°52′～46°18′.全境東西最長約750km，南北最寬約600km，總面積18.74萬km2，約占全國總面積的2%，居全國第14位.吉林省現有8個地級市、1個自治州、20個縣級市、17個縣、3個自治縣［7］.吉林省的交通以鐵路為主、公路為輔.鐵路以長春為中心，以吉林、四平、梅河口為主要樞紐，有京哈、長圖、長白、四齊、沈吉、四梅、梅集等鐵路干線，形成了連接市州及城鄉的鐵路網絡.公路建設發展較快，有長春至吉林、營城子，延吉至圖們江，長春繞城和途經長春的京哈高速公路，吉林至延吉和圖們江至琿春高速公路.

2.2 吉林省交通網絡覆蓋形態分維測算

用邊長為R的網格覆蓋吉林省交通地圖，計算有交通線路通過的網格數N（R）.改變網格邊長R，得到點對（R，N（R）），首先我們在坐標系中將（R，N（R））作雙對數坐標圖（見圖1），然后利用SPSS進行模擬計算，得到

圖1 交通網絡覆蓋形態分形維數雙對數坐標圖

相關系數R＝0.999，即覆蓋度D＝1.598.再利用式（2）計算D（Ri），（Ri，D（Ri））形成一條曲線，該曲線近似地呈線性形狀（見圖2），利用線性回歸分析法進行模擬計算，可得

圖2 覆蓋度擬合直線圖

相關系數R＝0.976.在α＝0.005下，Rα＝0.974，R＞Rα，故兩變量間線性相關關系顯著.統計量F＝60.955，在顯著性水平α＝0.005下，Fα＝55.55，F＞Fα，故該回歸方程的回歸效果顯著.令D＝1.585，代入式（8）可得覆蓋深度

吉林省交通網絡覆蓋度D＝1.598＞1.585，網絡覆蓋形態較好.相距約4.26km的距離就有一條交通線路.

2.3 吉林省交通網絡空間關聯維數測算

下面分析吉林省交通網絡的空間分布情況.借助于吉林省交通地圖得到表1和表2，表1為吉林省9個主要城市之間的直線距離，表2為交通距離，這兩個表中的空白處可以由右上方的數據對應得到.用步長Δr＝50km作為距離標度r，得到點對（r，C（r）），然后在坐標系中我們將（r，C（r））作雙對數圖（見圖3），再利用SPSS進行模擬計算，分別得到

圖3 吉林省城市和交通網絡空間分布的雙對數坐標圖

表1 吉林省兩兩城鎮間直線距離－烏鴉距離陣km

表2 吉林省兩兩城鎮間交通距離－乳牛距離陣km

相關系數分別為R＝0.982和R＝0.991，即城市體系空間關聯維數D＝0.874，交通網絡的關聯維數D′＝0.862，由此可以得到吉林省交通網絡的牛鴉維數比為ρ＝0.9863.ρ低于并接近于1，說明吉林省的交通網絡整體通達性比較好，發育比較成熟.

3 結論

（1）分維測算的相關系數高達0.999和0.991，說明吉林省交通網絡具有非常明顯的分形特征，分形理論適合于吉林省交通網絡的測算分析.

（2）在東北地區，吉林省位于黑龍江省和遼寧省之間，是東北地區的主要交通樞紐，吉林省的鐵路、公路、管道運輸在全國也占有重要的地位.吉林省交通網絡發育比較成熟，通達性比較好，從而為東北地區鄉村與城市、生產與消費、產品與市場之間架起了橋梁，為工業原料及商品運輸提供了快捷的服務，也為鄉村人口向城市遷移提供了條件，同時強化了產業的城市選擇以及城市的產業吸引.

（3）長春市和吉林市是吉林省中部地區的兩個特大城市，長吉高速公路建成后，這兩個城市之間僅相距112km，因此在發揮這兩個城市之間距離優勢的基礎之上，在產業、基礎設施建設、生態環境整治方面力爭資源共享，避免資源浪費，兩個城市爭取在資源開發和產品結構上形成自己的特色，避免同類項目低水平重復建設，通過長吉一體化發展，對我省的經濟發展起到更加突出和明顯的輻射及帶動作用.

（4）長白山、北大湖、松花湖、查干湖、凈月潭、向海草原等是吉林省著名的旅游勝地，在未來的城市旅游業發展中要充分利用發達的交通運輸網絡，進一步發揮這些旅游區的生態環境優勢，提高它們的對外旅游吸引力，從而提高我省的經濟收入，帶動我省經濟的發展.

（5）交通網絡建設引起的生態環境問題日益嚴重，因此在交通網絡規劃中必須重視減少污染、保護環境與提高土地利用等問題.

［1］ 杜德斌，黃吉喬.長江三角洲城市帶一體化的交通網絡模式構［J］.經濟地理，1999，19（3）：91－95.

［2］ BRAESS D.A paradox on traffic networks［EB/OL］.http：//homepage.ruhr－uni－bochum.de/.2004.

［3］ 李小建.經濟地理學［M］.高等教育出版社，2006.

［4］ MANDELBERT B B.Fractal：from，chance and dimensions［M］.New York：W H Freeman，1977.

［5］ 丁以中，樓勇.分形理論在交通運輸網絡評價中的應用［J］.上海海運學院學報，1998，19（4）：7－12.

［6］ 劉繼生，陳彥光.城鎮體系空間結構的分形維數及其測算方法［J］.地理研究，1999，18（2）；171－178.

［7］ 李秀玲，李誠固.基于分形理論的吉林省城市體系空間結構特征研究［J］.東北師大學報：自然科學版，2009，41（4）：145－148.

Abstract：The spatial structure of Jilin Province was quantitatively analysed using the fractal theory.The box－counting dimension and the spatial correlation dimension was put forward to analyzes the covering formation of transportation network and spatial distribution characteristics.And it also shows that transportation network of Jilin Province has the fractal characteristics，it developed maturely，the whole system of transportation network is much better.It should use develops transportation network to improve economic development.

Keywords：transportation network；covering formation；spatial distribution；fractal theory

（責任編輯：方 林）

The application of the fractal theory on study of the transportation network in Jilin Province

LI Xiu－ling1，LI Cheng－gu2
（1.School of Applied Mathematics，Jilin University of Finance and Economics，Changchun 130117，China；2.College of Urban and Environmental Sciences，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

K901；F 503［學科代碼］170·4520

A

2012－01－23

國家自然科學基金資助項目（40471014）；吉林省自然科學基金資助項目（201115183）.

李秀玲（1973—），女，博士，副教授，主要從事應用數學和區域經濟學研究；李誠固（1960—），男，博士，教授，博士研究生導師，主要從事城市規劃和區域經濟學研究.

1000－1832（2012）02－0138－05