二維歐氏空間中混雜構形的M?bius函數

江 娟，裴東河，陳志明

（東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024）

二維歐氏空間中混雜構形的M?bius函數

江 娟，裴東河，陳志明

（東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024）

研究了二維歐氏空間中一類新的混雜構形，即由直線構形和若干個圓組成的混雜構形，這是以往所研究的混雜構形的推廣形式.并且利用Hasse圖得到了此類混雜構形的相交偏序集的M?bius函數值公式.作為公式的應用，給出了兩個具體的例子.

超平面構形；直線構形；混雜構形；M?bius函數

0 引言

超平面構形，一般簡稱為構形，是l維向量空間中余維數為1的子空間的有限集合.超平面構形這一與奇點理論有關的對象是20世紀70年代新興的學科.Arnold，Brieskorn和Deligne三位大師都做過奠基性的工作.超平面構形不僅具有很好的代數、組合、拓撲性質，還在奇點理論、凸集幾何、離散幾何等數學分支上有著廣泛的應用［1］.近年來，以Hiroaki Terao，Peter Orlik和Louis Solomon等人為代表的學者們在超平面構形領域取得了巨大的成果［2－9］.國內姜廣峰、余建明等人在超平面構形的可約性及仿射Zariski對等方面也取得了重要的成果［10－12］.我們可以從多角度研究超平面構形，例如，文獻［13-14］定義了類自由構形和球構形，給出了一類特殊的類自由構形和球構形的組合性質.文獻［15］把構形和擬陣的關系具體化，討論了一類特殊構形的超可解性.

胡毅第一次給出了混雜構形的概念，并研究了混雜構形的補空間的同調群［16］.根據胡毅的定義，蘇丹和張敦穆構造了一類具體的混雜構形，給出了其特征多項式及房的個數公式［17］.吳棟研究了一類范圍更廣的混雜構形，得到了其M?bius函數值公式等組合與代數性質［18］.特征多項式是構形的一個重要的幾何不變量，而構形的特征多項式與M?bius函數有著直接的關系.因此，構形的M?bius函數的研究是很必要的.

本文研究了R2中由直線構形和若干個圓構成的混雜構形，運用不同于文獻［17-18］的方法，得到其M?bius函數值的計算公式.這為進一步研究Rn（n≥3）中的混雜構形提供了一種方法.

圖1 混雜構形的類型

我們以二維歐氏空間為例，給出三個不同的混雜構形的例子，具體說明本文研究的混雜構形的特點.作為例子，圖1中的（a），（b）分別為文獻［17-18］中所研究的混雜構形，（c）則為本文所研究的混雜構形.文獻［17-18］研究含有一個球面的混雜構形，本文所研究的混雜構形含有多個圓，是在二維情形下，對文獻［17-18］所研究結果的部分補充.

本文中沒有給出的定義及相關結論可參考文獻［1，18］.

1 基本定義及定理

圖2 相交偏序集L（~A）的Hasse圖

注1.2 文獻［18］中，作者借助超平面構形的M?bius函數，得到了混雜構形的M?bius函數.本文定理1.1的證明中我們主要是應用Hasse圖，獲得了混雜構形的M?bius函數.在R2情況下，文獻［18］中定理2.3.1是本定理的一個推論.

2 應用舉例

下面我們給出定理1.1的具體應用.

例2.1 求圖3中混雜構形的相交偏序集中點的M?bius函數值.

圖3 單圓混雜構形

圖4 多圓混雜構形

例2.2 求圖4中混雜構形的相交偏序集中非橫截相交點的M?bius函數值.

解 由圖4可知，相交偏序集中有且僅有X＝l1∩l2∩l3∩S1∩S2一個非橫截相交的交點.由定理1.1，μ（X）＝3＋2－1＝4.

事實上，我們可以繼續研究Rn（n≥3）中的由超平面構形和若干個球面構成的混雜構形的M?bius函數，進而可以研究混雜構形的特征多項式，這為研究混雜構形的組合及其性質提供了一種方法.

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M?bius function of the mixed arrangement in two-dimensional Euclidean space

JIANG Juan，PEI Dong-he，CHEN Zhi-ming
（School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

Study on a new kind of mixed arrangements in two-dimensional Euclidean space，that is，the mixed arrangement which is composed of a line arrangement and several circles.These mixed arrangements are the generalizations of the former ones.By making use of Hasse diagram，the M?bius function value formula of the intersection poset of a mixed arrangement is obtained.As an application of this formula，two concrete examples are given.

hyperplane arrangement；line arrangement；mixed arrangement；M?bius function

O 157.3

110·77

A

1000-1832（2012）02-0001-04

2011-05-12

國家自然科學基金資助項目（10871035）.

江娟（1986—），女，碩士，主要從事超平面構形的組合性質研究；通訊作者：裴東河（1964—），男，博士，教授，博士研究生導師，主要從事奇點理論和超平面構形研究.

陶 理）