中國航空網(wǎng)絡(luò)魯棒性的牽制控制研究＊

姚紅光 李智忠

（同濟(jì)大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院1） 上海 201804） （上海工程技術(shù)大學(xué)航空運(yùn)輸學(xué)院2） 上海 201620）

0 引 言

航空運(yùn)輸易受外部干擾，因此魯棒性的研究對(duì)于從整體上提高航空網(wǎng)絡(luò)的可靠性，保證航空運(yùn)輸安全高效運(yùn)營有重要意義［1］.姚紅光、朱麗萍提出“最大連通子圖的相對(duì)大小”可以作為航空網(wǎng)絡(luò)魯棒性的度量的基本指標(biāo)［2］.張?chǎng)┎捎梅抡娣椒ǚ治龊娇站W(wǎng)絡(luò)魯棒性，得出航空網(wǎng)絡(luò)針對(duì)隨機(jī)攻擊有較高的魯棒性而對(duì)蓄意攻擊則比較脆弱［3］.鄧貴仕等人通過建立基于總費(fèi)用最低的網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型提出了航線魯棒性的測(cè)定方法，并進(jìn)行了實(shí)證研究［4］.何春泉系統(tǒng)地論述了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)魯棒性的影響［5］.目前，國內(nèi)對(duì)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒性研究主要以對(duì)魯棒性進(jìn)行定量分析為主，但復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)魯棒性的牽制控制最近也激起了研究者的廣泛興趣.譬如，Wang等提出了一個(gè)有效的方法使網(wǎng)絡(luò)上所有節(jié)點(diǎn)都牽制控制到它的平衡點(diǎn)［6－7］；Chen等利用一個(gè)節(jié)點(diǎn)來牽制控制整個(gè)網(wǎng)絡(luò)［8］；Zhou等利用自適應(yīng)的方法來牽制整個(gè)網(wǎng)絡(luò)［9］.趙軍產(chǎn)等提出了通過建立代價(jià)函數(shù)達(dá)到它的最小值，以實(shí)現(xiàn)受控節(jié)點(diǎn)數(shù)與反饋增益相均衡的一種算法［10］.

本文以通過提出了“最大連通子圖的相對(duì)大小”作為航線網(wǎng)絡(luò)魯棒性的度量標(biāo)準(zhǔn)；建立中國航空網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的線性耦合常微分方程；求出了最優(yōu)的受控節(jié)點(diǎn)與反饋增益的組合，并據(jù)此確定了進(jìn)行牽制控制的45座通航城市；最后通過對(duì)比，驗(yàn)證了牽制控制方法在提升航線網(wǎng)絡(luò)魯棒性中的效果.

1 中國航空網(wǎng)絡(luò)的魯棒性分析

1.1 數(shù)據(jù)的采集

中國航空網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)采集自《攜程旅游網(wǎng)－航班時(shí)刻表》.截止到2011年5月16日，共采集到通航城市163座，國內(nèi)航線2 198條，航班9 611個(gè).以163座通航城市作為矩陣的行和列，以2城市間航班數(shù)量作為數(shù)值，形成一個(gè)163×163的中國航空網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣C.

1.2 航空網(wǎng)絡(luò)魯棒性的內(nèi)涵

在航空網(wǎng)絡(luò)中，如果某個(gè)通航城市受到突發(fā)事件影響陷入癱瘓，也就意味著同時(shí)取消了與該通航城市相連的所有的航線，從而有可能使得航空網(wǎng)絡(luò)中其他通航城市之間的一些運(yùn)輸路徑中斷.如果在移走部分通航城市后航空網(wǎng)絡(luò)中絕大部分節(jié)點(diǎn)仍是連通的，那么就稱該航空網(wǎng)絡(luò)對(duì)該通航城市的故障具有魯棒性.

1.3 航空網(wǎng)絡(luò)魯棒性的度量標(biāo)準(zhǔn)

一般用“最大連通子圖的相對(duì)大小s”為度量航空網(wǎng)絡(luò)魯棒性的指標(biāo).其計(jì)算方法如公式（1）.

“最大連通子圖”包含的節(jié)點(diǎn)數(shù)越大表示網(wǎng)絡(luò)連通性越好，當(dāng)其與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)相等時(shí)，表明所有節(jié)點(diǎn)間都可互聯(lián).隨著陷入癱瘓的節(jié)點(diǎn)數(shù)f值增加，s值將不斷變小.在f值一定時(shí)，s值越大，表明對(duì)網(wǎng)絡(luò)連通魯棒性越好.

1.4 牽制控制對(duì)提高航空網(wǎng)絡(luò)魯棒性的意義分析

提高航空網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，有助于發(fā)現(xiàn)航空網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點(diǎn)并進(jìn)行有效保護(hù)，避免其遭受外界干擾造成延誤甚至導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)癱瘓，保證航空運(yùn)輸安全高效的運(yùn)營.提高航空網(wǎng)絡(luò)魯棒性，不僅需要提高節(jié)點(diǎn)城市的天氣應(yīng)急能力、機(jī)場(chǎng)管理水平；更需避免因節(jié)點(diǎn)的耦合關(guān)系導(dǎo)致的網(wǎng)絡(luò)故障的疊加與擴(kuò)散.因此，提高航空網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，往往需要針對(duì)網(wǎng)絡(luò)中大量的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行控制與管理，代價(jià)和成本都比較高.

牽制控制，近年來被廣泛應(yīng)用到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)控制領(lǐng)域，其基本思想是通過僅對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的一部分節(jié)點(diǎn)直接施加常數(shù)輸入控制，而達(dá)到有效抑制整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)空混沌行為的目的.對(duì)航空網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行牽制控制可以在實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)魯棒性提升目標(biāo)的同時(shí)，極大地減少受控節(jié)點(diǎn)數(shù)量，對(duì)于降低控制代價(jià)具有重要意義.

2 中國航空網(wǎng)絡(luò)的牽制控制研究

2.1 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的線性耦合常微分方程

線性耦合常微分方程是用來描述連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的重要工具.一般可以描述成下列形式：

式中：N＞1，為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)數(shù)；f為一個(gè)連續(xù)的函數(shù)；xi為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量；c＞0是網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度；C＝（cij）N×N為耦合矩陣，反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)其中如果節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j（i≠j）存在一個(gè)連接，那么cij＝1，否則cij＝0，C不必是對(duì)稱的，但是要求其滿足式（3）條件，其中ki為節(jié)點(diǎn)i的度.

2.2 受控節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)描述

將實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步時(shí)的x值作為控制的平衡點(diǎn)：

為了將航空網(wǎng)絡(luò)控制到上述平衡點(diǎn)，需要對(duì)占網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)的比例為σ（0＜σ＜1）的小部分節(jié)點(diǎn)實(shí)施牽扯控制.假設(shè)選擇節(jié)點(diǎn)i1，i2，…，ir作為被牽扯控制的節(jié)點(diǎn)，r表示受牽扯控制的節(jié)點(diǎn)數(shù)量.在線性反饋?zhàn)饔孟?，?jié)點(diǎn)的牽制網(wǎng)絡(luò)可以被描述如式（4）.

式中：eik為受控的節(jié)點(diǎn)在實(shí)現(xiàn)正常機(jī)場(chǎng)功能情況下的代價(jià)，即機(jī)場(chǎng)硬件設(shè)施的總投資及運(yùn)營費(fèi)用；d＞0為反饋控制增益系數(shù)；de ik為反饋增益.在航空網(wǎng)絡(luò)中，反饋控制增益的現(xiàn)實(shí)意義是：各節(jié)點(diǎn)機(jī)場(chǎng)為在“氣象因素”、“流量突增”、“設(shè)施故障”等突發(fā)影響發(fā)生時(shí)，仍能保持機(jī)場(chǎng)的正常功能而做的額外準(zhǔn)備所付出的代價(jià).這種額外準(zhǔn)備不僅包括機(jī)場(chǎng)在硬件條件、基礎(chǔ)設(shè)施上的升級(jí)、改進(jìn)和儲(chǔ)備，也包括管理手段、運(yùn)作流程的優(yōu)化，由于機(jī)場(chǎng)的硬件投入及運(yùn)營成本巨大，因此這種額外準(zhǔn)備代價(jià)巨大.

2.3 受控節(jié)點(diǎn)數(shù)r與反饋控制增益系數(shù)的均衡

在傳統(tǒng)的牽制控制研究中，為了使動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定到事先確定的平衡點(diǎn)上，通常將反饋控制增益系數(shù)d設(shè)為足夠大；然而，要求d值足夠大在現(xiàn)實(shí)情況下是不可行的；當(dāng)d＝1時(shí)，則為預(yù)防突發(fā)影響儲(chǔ)備的運(yùn)力與機(jī)場(chǎng)現(xiàn)有運(yùn)力相等，即意味著額外運(yùn)力儲(chǔ)備的成本與整個(gè)機(jī)場(chǎng)建設(shè)的總投資相同，在現(xiàn)實(shí)中是不行的；只有將d值控制在一個(gè)足夠小的水平上，對(duì)航空網(wǎng)絡(luò)的牽制控制才有現(xiàn)實(shí)意義.

若對(duì)于某個(gè)ε0＞0，存在一個(gè)自然數(shù)r∈［1，N－1］，和一個(gè)反饋增益系數(shù)d滿足式（5），則受牽制網(wǎng)絡(luò)（式4）可以穩(wěn)定到均衡點(diǎn)上.

式中：λi為矩陣＋）／2的Mi最大特征值；Mi為同時(shí)去除矩陣（＾C＋＾CT）／2的第1，2，…，N－1行和列得到的矩陣，并且是矩陣C的主對(duì)角元素cii被［λmin（p）／λmax（p）］cii取代后 得到的 矩陣.D，D＝diag（d，…，d），是一個(gè)正定11n的對(duì)角矩陣.

假設(shè)＾λi是矩陣（＋）／2－D／λmax（P）的最大特征值，如果令＾λ1＝λr＋1，則反饋增益d值不得不達(dá)到足夠大，這是不切合實(shí)際的；因此，引入一個(gè)松弛因子ε0，使得對(duì)于一個(gè)適當(dāng)?shù)膁，＾λ1≤λr＋1＋ε0成立.牽制節(jié)點(diǎn)越多，滿足上述不等式所需的反饋增益d就越小.對(duì)于一個(gè)確定的牽制節(jié)點(diǎn)數(shù)目r，反饋增益系數(shù)d存在著一個(gè)臨界值，當(dāng)d大于這個(gè)臨界值時(shí)，航空網(wǎng)絡(luò)中受控節(jié)點(diǎn)的牽制網(wǎng)絡(luò)就能達(dá)到穩(wěn)定的平衡點(diǎn).同樣，對(duì)于一個(gè)給定的反饋增益d，牽制節(jié)點(diǎn)的數(shù)目也存在著一個(gè)臨界值，達(dá)不到這個(gè)值，受控節(jié)點(diǎn)的牽制網(wǎng)絡(luò)是不能到達(dá)指數(shù)穩(wěn)定的狀態(tài).因此，可以得到一系列可行的組合（r，d），它定義了一個(gè)穩(wěn)定的區(qū)域，用它可以劃分牽制節(jié)點(diǎn)數(shù)目r和反饋增益d的穩(wěn)定的參數(shù)空間.

建立代價(jià)函數(shù)Q（r，d）＝rαd1－α，可以得到是函數(shù)值取得最小值的（r，d）的可行組合，從而兼顧二者的取值.

2.4 中國航空網(wǎng)絡(luò)牽制控制的實(shí)證分析

從航空網(wǎng)絡(luò)魯棒性分析的角度上看，節(jié)點(diǎn)機(jī)場(chǎng)包括“正?！迸c“癱瘓”2種狀態(tài).以各航班在機(jī)場(chǎng)內(nèi)平均等待服務(wù)時(shí)間為標(biāo)準(zhǔn)，運(yùn)用排隊(duì)論原理，可以得出中國航空網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的線性耦合常微分方程為

將實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)機(jī)場(chǎng)的正常功能為控制均衡點(diǎn)，按式（4）建立中國航空網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的牽制網(wǎng)絡(luò)方程.并利用趙軍產(chǎn)等在文獻(xiàn)［10］中提出的算法：先確定網(wǎng)絡(luò)的最小耦合強(qiáng)度與最少牽制節(jié)點(diǎn)后，然后不斷增加牽制節(jié)點(diǎn)，最終選擇一個(gè)合適的α，使代價(jià)函數(shù)Q（r，d）達(dá)到它的最小值，進(jìn)而得到最優(yōu)的（r，d）組合，計(jì)算出中國航空網(wǎng)絡(luò)的受控點(diǎn)數(shù)量與反饋增益系數(shù)的可行組合情況（r，d），見表1.

表1 部分可行組合表

當(dāng)α在［0，1］之間取不同值時(shí)，對(duì)于上述可行組合Q（r，d）＝rαd1－α值，變化情況如圖1所示.

圖1 α＝0，0.1，0.2，…，1時(shí)可行組合對(duì)應(yīng)的Q值

通過計(jì)算可知，當(dāng)α＝0.5時(shí)同時(shí)兼顧了r，d的取值，此時(shí)當(dāng)r＝45時(shí)，Q 有最小值min（Qα＝0.5，R＝45）＝20.784 61.即對(duì)于中國航空網(wǎng)絡(luò)，只要有選擇的控制45個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，就能夠以儲(chǔ)備受控節(jié)點(diǎn)9.6%的服務(wù)能力為代價(jià)，實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的有效控制.

3 牽制控制對(duì)中國航空網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響分析

3.1 45個(gè)受控節(jié)點(diǎn)分析

由于在中國航空網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的線性耦合常微分方程中，以“度”的平均值來反映航空網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度，因此從對(duì)航空網(wǎng)絡(luò)魯棒性影響的角度考慮，應(yīng)選擇度排序在前45位的城市作為牽制控制的對(duì)象.

在網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)i的度ki定義為與節(jié)點(diǎn)i相接的邊的總數(shù).在航空網(wǎng)絡(luò)，一個(gè)通航城市的度越大就意味著與其相連的城市數(shù)越多，其擁有的航線數(shù)也就越多.應(yīng)用大型網(wǎng)絡(luò)分析軟件Ucinet，以及采集到的163×163的中國航空網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣C，計(jì)算出中國163個(gè)通航城市的度，排名前45位的通航城市如表2所列.這45座節(jié)點(diǎn)城市共擁有航線1 767條，占全部航線數(shù)量的80.39%，形成了中國航空網(wǎng)絡(luò)的核心.

表3 前45位通航城市度值表

3.2 航空網(wǎng)絡(luò)牽制控制與隨機(jī)控制的魯棒性對(duì)比分析

牽制控制可以以較低的代價(jià)保證航空網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)功能，相比隨機(jī)控制可以大幅度提高航空網(wǎng)絡(luò)的魯棒性.選擇表2所列的45個(gè)城市作為受控對(duì)象進(jìn)行牽制控制，與隨機(jī)選擇的45座城市進(jìn)行航空網(wǎng)絡(luò)受攻擊狀態(tài)下的魯棒性對(duì)比分析.其研究步驟是：（1）確定受控城市及其數(shù)量，使其免于陷入癱瘓狀態(tài)，即保證其擁有航線的有效性；（2）對(duì)航空網(wǎng)絡(luò)中的非受控城市進(jìn)行模擬攻擊，中斷其所有航線，即令航空網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣C中其對(duì)應(yīng)的行與列中所有元素值為零，并形成新的航空網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣R；（3）通過計(jì)算新矩陣R的魯棒性s值；（4）在新的航空網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣R上重復(fù)上述步驟，不斷增加被攻擊的城市數(shù)量，分析其變化 的變化趨勢(shì)，直到除受控城市外地所有城市都受到攻擊.

按上述步驟，牽制控制與4次隨機(jī)控制的s值對(duì)比如圖2所示.

圖2 受攻擊下的牽制控制與4次隨機(jī)控制的s值對(duì)比圖

從圖2可以看出，在受攻擊節(jié)點(diǎn)在由1向最大值118變化時(shí)，牽制控制的s值始終大于隨機(jī)控制的s值；在s值相同時(shí)，牽制控制的受攻擊節(jié)點(diǎn)數(shù)始終大于隨機(jī)控制.表明，相比隨機(jī)控制，牽制控制可以有效的提高航空網(wǎng)絡(luò)的魯棒性.

4 結(jié) 論

1）提高航空網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，對(duì)于保證安全高效的航空運(yùn)輸有重要意義.牽制控制相比于其他控制方式可以在代價(jià)相同的條件下，保證航空網(wǎng)絡(luò)較高的魯棒性.

2）針對(duì)中國現(xiàn)有的航空網(wǎng)絡(luò)，以9.6%的反饋增益，對(duì)北京、廣州、上海等45座城市進(jìn)行牽制控制，是兼顧了受控節(jié)點(diǎn)數(shù)與反饋增益的較為合理的方案.

后續(xù)研究應(yīng)在“考慮通暢、擁堵、癱瘓等多種網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)”基礎(chǔ)上完善模型參數(shù)及場(chǎng)微分方程.

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