中國航空網絡魯棒性的牽制控制研究＊

姚紅光 李智忠

（同濟大學交通運輸工程學院1） 上海 201804） （上海工程技術大學航空運輸學院2） 上海 201620）

0 引 言

航空運輸易受外部干擾，因此魯棒性的研究對于從整體上提高航空網絡的可靠性，保證航空運輸安全高效運營有重要意義［1］.姚紅光、朱麗萍提出“最大連通子圖的相對大小”可以作為航空網絡魯棒性的度量的基本指標［2］.張雯雯采用仿真方法分析航空網絡魯棒性，得出航空網絡針對隨機攻擊有較高的魯棒性而對蓄意攻擊則比較脆弱［3］.鄧貴仕等人通過建立基于總費用最低的網絡優化數學模型提出了航線魯棒性的測定方法，并進行了實證研究［4］.何春泉系統地論述了復雜網絡結構對魯棒性的影響［5］.目前，國內對與復雜網絡的魯棒性研究主要以對魯棒性進行定量分析為主，但復雜網絡魯棒性的牽制控制最近也激起了研究者的廣泛興趣.譬如，Wang等提出了一個有效的方法使網絡上所有節點都牽制控制到它的平衡點［6－7］；Chen等利用一個節點來牽制控制整個網絡［8］；Zhou等利用自適應的方法來牽制整個網絡［9］.趙軍產等提出了通過建立代價函數達到它的最小值，以實現受控節點數與反饋增益相均衡的一種算法［10］.

本文以通過提出了“最大連通子圖的相對大小”作為航線網絡魯棒性的度量標準；建立中國航空網絡節點的線性耦合常微分方程；求出了最優的受控節點與反饋增益的組合，并據此確定了進行牽制控制的45座通航城市；最后通過對比，驗證了牽制控制方法在提升航線網絡魯棒性中的效果.

1 中國航空網絡的魯棒性分析

1.1 數據的采集

中國航空網絡的數據采集自《攜程旅游網－航班時刻表》.截止到2011年5月16日，共采集到通航城市163座，國內航線2 198條，航班9 611個.以163座通航城市作為矩陣的行和列，以2城市間航班數量作為數值，形成一個163×163的中國航空網絡鄰接矩陣C.

1.2 航空網絡魯棒性的內涵

在航空網絡中，如果某個通航城市受到突發事件影響陷入癱瘓，也就意味著同時取消了與該通航城市相連的所有的航線，從而有可能使得航空網絡中其他通航城市之間的一些運輸路徑中斷.如果在移走部分通航城市后航空網絡中絕大部分節點仍是連通的，那么就稱該航空網絡對該通航城市的故障具有魯棒性.

1.3 航空網絡魯棒性的度量標準

一般用“最大連通子圖的相對大小s”為度量航空網絡魯棒性的指標.其計算方法如公式（1）.

“最大連通子圖”包含的節點數越大表示網絡連通性越好，當其與網絡節點數相等時，表明所有節點間都可互聯.隨著陷入癱瘓的節點數f值增加，s值將不斷變小.在f值一定時，s值越大，表明對網絡連通魯棒性越好.

1.4 牽制控制對提高航空網絡魯棒性的意義分析

提高航空網絡的魯棒性，有助于發現航空網絡中的重要節點并進行有效保護，避免其遭受外界干擾造成延誤甚至導致網絡癱瘓，保證航空運輸安全高效的運營.提高航空網絡魯棒性，不僅需要提高節點城市的天氣應急能力、機場管理水平；更需避免因節點的耦合關系導致的網絡故障的疊加與擴散.因此，提高航空網絡的魯棒性，往往需要針對網絡中大量的節點進行控制與管理，代價和成本都比較高.

牽制控制，近年來被廣泛應用到復雜網絡的動力學控制領域，其基本思想是通過僅對網絡中的一部分節點直接施加常數輸入控制，而達到有效抑制整個網絡的時空混沌行為的目的.對航空網絡進行牽制控制可以在實現網絡魯棒性提升目標的同時，極大地減少受控節點數量，對于降低控制代價具有重要意義.

2 中國航空網絡的牽制控制研究

2.1 網絡節點的線性耦合常微分方程

線性耦合常微分方程是用來描述連續動力系統的重要工具.一般可以描述成下列形式：

式中：N＞1，為網絡中節數；f為一個連續的函數；xi為第i個節點的狀態變量；c＞0是網絡的耦合強度；C＝（cij）N×N為耦合矩陣，反應網絡的拓撲結構其中如果節點i與節點j（i≠j）存在一個連接，那么cij＝1，否則cij＝0，C不必是對稱的，但是要求其滿足式（3）條件，其中ki為節點i的度.

2.2 受控節點的網絡描述

將實現網絡同步時的x值作為控制的平衡點：

為了將航空網絡控制到上述平衡點，需要對占網絡節點總數的比例為σ（0＜σ＜1）的小部分節點實施牽扯控制.假設選擇節點i1，i2，…，ir作為被牽扯控制的節點，r表示受牽扯控制的節點數量.在線性反饋作用下，節點的牽制網絡可以被描述如式（4）.

式中：eik為受控的節點在實現正常機場功能情況下的代價，即機場硬件設施的總投資及運營費用；d＞0為反饋控制增益系數；de ik為反饋增益.在航空網絡中，反饋控制增益的現實意義是：各節點機場為在“氣象因素”、“流量突增”、“設施故障”等突發影響發生時，仍能保持機場的正常功能而做的額外準備所付出的代價.這種額外準備不僅包括機場在硬件條件、基礎設施上的升級、改進和儲備，也包括管理手段、運作流程的優化，由于機場的硬件投入及運營成本巨大，因此這種額外準備代價巨大.

2.3 受控節點數r與反饋控制增益系數的均衡

在傳統的牽制控制研究中，為了使動力網絡穩定到事先確定的平衡點上，通常將反饋控制增益系數d設為足夠大；然而，要求d值足夠大在現實情況下是不可行的；當d＝1時，則為預防突發影響儲備的運力與機場現有運力相等，即意味著額外運力儲備的成本與整個機場建設的總投資相同，在現實中是不行的；只有將d值控制在一個足夠小的水平上，對航空網絡的牽制控制才有現實意義.

若對于某個ε0＞0，存在一個自然數r∈［1，N－1］，和一個反饋增益系數d滿足式（5），則受牽制網絡（式4）可以穩定到均衡點上.

式中：λi為矩陣＋）／2的Mi最大特征值；Mi為同時去除矩陣（＾C＋＾CT）／2的第1，2，…，N－1行和列得到的矩陣，并且是矩陣C的主對角元素cii被［λmin（p）／λmax（p）］cii取代后 得到的 矩陣.D，D＝diag（d，…，d），是一個正定11n的對角矩陣.

假設＾λi是矩陣（＋）／2－D／λmax（P）的最大特征值，如果令＾λ1＝λr＋1，則反饋增益d值不得不達到足夠大，這是不切合實際的；因此，引入一個松弛因子ε0，使得對于一個適當的d，＾λ1≤λr＋1＋ε0成立.牽制節點越多，滿足上述不等式所需的反饋增益d就越小.對于一個確定的牽制節點數目r，反饋增益系數d存在著一個臨界值，當d大于這個臨界值時，航空網絡中受控節點的牽制網絡就能達到穩定的平衡點.同樣，對于一個給定的反饋增益d，牽制節點的數目也存在著一個臨界值，達不到這個值，受控節點的牽制網絡是不能到達指數穩定的狀態.因此，可以得到一系列可行的組合（r，d），它定義了一個穩定的區域，用它可以劃分牽制節點數目r和反饋增益d的穩定的參數空間.

建立代價函數Q（r，d）＝rαd1－α，可以得到是函數值取得最小值的（r，d）的可行組合，從而兼顧二者的取值.

2.4 中國航空網絡牽制控制的實證分析

從航空網絡魯棒性分析的角度上看，節點機場包括“正常”與“癱瘓”2種狀態.以各航班在機場內平均等待服務時間為標準，運用排隊論原理，可以得出中國航空網絡節點的線性耦合常微分方程為

將實現節點機場的正常功能為控制均衡點，按式（4）建立中國航空網絡節點的牽制網絡方程.并利用趙軍產等在文獻［10］中提出的算法：先確定網絡的最小耦合強度與最少牽制節點后，然后不斷增加牽制節點，最終選擇一個合適的α，使代價函數Q（r，d）達到它的最小值，進而得到最優的（r，d）組合，計算出中國航空網絡的受控點數量與反饋增益系數的可行組合情況（r，d），見表1.

表1 部分可行組合表

當α在［0，1］之間取不同值時，對于上述可行組合Q（r，d）＝rαd1－α值，變化情況如圖1所示.

圖1 α＝0，0.1，0.2，…，1時可行組合對應的Q值

通過計算可知，當α＝0.5時同時兼顧了r，d的取值，此時當r＝45時，Q 有最小值min（Qα＝0.5，R＝45）＝20.784 61.即對于中國航空網絡，只要有選擇的控制45個關鍵節點，就能夠以儲備受控節點9.6%的服務能力為代價，實現對整個網絡的有效控制.

3 牽制控制對中國航空網絡魯棒性的影響分析

3.1 45個受控節點分析

由于在中國航空網絡節點的線性耦合常微分方程中，以“度”的平均值來反映航空網絡的耦合強度，因此從對航空網絡魯棒性影響的角度考慮，應選擇度排序在前45位的城市作為牽制控制的對象.

在網絡中，節點i的度ki定義為與節點i相接的邊的總數.在航空網絡，一個通航城市的度越大就意味著與其相連的城市數越多，其擁有的航線數也就越多.應用大型網絡分析軟件Ucinet，以及采集到的163×163的中國航空網絡鄰接矩陣C，計算出中國163個通航城市的度，排名前45位的通航城市如表2所列.這45座節點城市共擁有航線1 767條，占全部航線數量的80.39%，形成了中國航空網絡的核心.

表3 前45位通航城市度值表

3.2 航空網絡牽制控制與隨機控制的魯棒性對比分析

牽制控制可以以較低的代價保證航空網絡的服務功能，相比隨機控制可以大幅度提高航空網絡的魯棒性.選擇表2所列的45個城市作為受控對象進行牽制控制，與隨機選擇的45座城市進行航空網絡受攻擊狀態下的魯棒性對比分析.其研究步驟是：（1）確定受控城市及其數量，使其免于陷入癱瘓狀態，即保證其擁有航線的有效性；（2）對航空網絡中的非受控城市進行模擬攻擊，中斷其所有航線，即令航空網絡鄰接矩陣C中其對應的行與列中所有元素值為零，并形成新的航空網絡鄰接矩陣R；（3）通過計算新矩陣R的魯棒性s值；（4）在新的航空網絡鄰接矩陣R上重復上述步驟，不斷增加被攻擊的城市數量，分析其變化 的變化趨勢，直到除受控城市外地所有城市都受到攻擊.

按上述步驟，牽制控制與4次隨機控制的s值對比如圖2所示.

圖2 受攻擊下的牽制控制與4次隨機控制的s值對比圖

從圖2可以看出，在受攻擊節點在由1向最大值118變化時，牽制控制的s值始終大于隨機控制的s值；在s值相同時，牽制控制的受攻擊節點數始終大于隨機控制.表明，相比隨機控制，牽制控制可以有效的提高航空網絡的魯棒性.

4 結 論

1）提高航空網絡的魯棒性，對于保證安全高效的航空運輸有重要意義.牽制控制相比于其他控制方式可以在代價相同的條件下，保證航空網絡較高的魯棒性.

2）針對中國現有的航空網絡，以9.6%的反饋增益，對北京、廣州、上海等45座城市進行牽制控制，是兼顧了受控節點數與反饋增益的較為合理的方案.

后續研究應在“考慮通暢、擁堵、癱瘓等多種網絡狀態”基礎上完善模型參數及場微分方程.

［1］劉宏鯤.中國航空網絡的結構及其影響因素分析［D］.成都：西南交通大學，2007.

［2］姚紅光，朱麗萍.基于仿真分析的中國航空網絡魯棒性研究［J］.武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2012，36（1）：42－46.

［3］鄧貴仕，武佩劍，田 煒.全球航運網絡魯棒性和脆弱性研究［J］.大連理工大學學報，2008，48（5）：765－768.

［4］張雯雯.復雜網絡理論在航空網絡中的應用研究［D］.北京：中國民航大學，2009.

［5］何春泉.關于復雜網絡演化過程中魯棒性的研究［D］.上海：上海交通大學，2009.

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