小波時間序列在廣州地鐵沉降監測數據處理中的應用

李鵬，高波

(1.北京城建勘測設計研究院有限責任公司，北京 100101; 2.深圳地鐵三號線投資有限公司，廣東深圳 518000)

1 引言

城市地鐵建設工程的基坑開挖必然會對附近的建筑設施產生一定的影響，一般需要對附近的建筑體進行沉降監測，建立合適的數學模型，對這些沉降數據進行分析。預測沉降發展趨勢，掌握其動態變化規律，及時發現建筑體的不安全因素，合理安排和調整施工流程，排除危險因素的影響，以便能夠達到地鐵工程安全施工和減少經濟損失的目的。

針對常規時間序列模型缺少對數據的可靠性檢驗的缺陷，本文嘗試將小波分析與時間序列理論結合，提出了小波時間序列模型。并以廣州市地鐵沉降監測的實際工程為應用實例。通過對建筑體沉降數據進行分析，預測建筑體沉降趨勢。同時對小波時間序列模型與常規時間序列模型進行對比分析，得出了具有應用價值的有益結論。

2 小波分析

2.1 小波分析理論

若 ψ(x)∈L2(R)，且滿足條件［1］:

則ψ(x)為一個基本小波。將其伸縮和平移后得到一組小波序列

式中，a為伸縮因子;b為平移因子。

對于任意函數f(t)∈L2(R)，其離散小波變換為:

2.2 小波分解與重構

(1)分解:由多分辨率分析可以將被處理的信號用正交變換在不同的分辨級上進行分解。設以Vj表示分解中的低頻部分，Wj表示分解中的高頻部分，則Wj是 Vj在 Vj－1中的正交補，即 VJ⊕Wj=VJ－1。

(2)重構:多分辨率分析的子空間V0可以用有限個子空間來逼近:若令fj∈VJ代表分辨率為2J的函數f∈L2(R)的逼近(即函數f的低頻部分)，而dj∈WJ代表逼近的誤差(即函數f的高頻部分)，則式(4)意味著:

這表明，任何函數f∈L2(R)都可以根據分辨率為2N時f的低頻部分和分辨率2j(1≤j≤N)時f的高頻部分完全重構［2］。

3 小波時間序列模型

3.1 小波分析與時序分析結合的形式

小波分析具有很強的多分辨分析，可以對變形監測數據的可靠性進行檢驗，故小波分析與時序分析的結合有兩種形式:

(1)用小波變換對數據可靠性進行分析，進而消除數據中的異常值，然后將可靠數據進行時間序列預測。

(2)先使用小波對數據進行分解，將得到的低頻數據直接使用時間序列處理;而將高頻數據經過閾值處理之后，再用時間序列進行處理，最后有低頻預測值與高頻預測值經過小波重構得到變形監測的預測值。

3.2 小波時間序列模型

(1)高頻部分重構信號的建模預測

由高頻部分單支重構后的信號可以看做是平穩序列，可以直接構建時間序列模型，對 Dj:{dj1，dj2，…，djk}，(1≤j≤J)分別構建 AR 模型［3］:

其中 t=1，2，…，k。對每組信號 dj，k+i進行預測，得到預測值 ^dj，k+i。

(2)低頻部分重構信號的建模預測

由低頻部分單支重構得到的信號與樣本序列具有相同的趨向，為非平穩序列，這樣的信號不能直接建模，需要進行差分消去趨勢項，才可以應用于時間序列中進行建模。建模及預測方法與細節系數單支重構信號相同。本文將逼近信號CJ的預測值記為 ^CJ，k+i。

(3)原樣本序列預測結果

由式(5)可知原序列f(t)在k時刻的i步預測為:

其中J表示小波分解層數，i表示預測步長，k表示期數。

單支重構可以將經小波分解后的各層系數恢復到原樣本序列的長度，保證模型的預測效果不因分解后系數點數的減少而降低。將各層分解系數單支重構的信號相加就可以得到原樣本序列，即

其中J為小波分解層數，D1(t)、D2(t)、…、DJ(t)、CJ(t)為各層分解系數的單支重構。

4 應用實例

以廣州市地鐵站監測點的多期沉降監測數據為例，說明小波時間序列模型的預測效果及有效性，以某監測點的66期沉降監測數據為研究對象進行分析，該監測點的各期監測數據如表1所示。

某監測點各期的沉降監測數據成果表 表1

11 27.182 9 44 27.116 7 12 27.183 2 45 27.115 3 13 27.180 8 46 27.115 1 14 27.178 4 47 27.113 4 15 27.177 5 48 27.111 3 16 27.178 9 49 27.110 2 17 27.178 7 50 27.109 0 18 27.175 4 51 27.108 1 19 27.178 9 52 27.107 1 20 27.178 5 53 27.104 7 21 27.178 4 54 27.104 6 22 27.178 9 55 27.103 9 23 27.179 2 56 27.104 3 24 27.178 5 57 27.104 4 25 27.178 4 58 27.101 6 26 27.176 5 59 27.102 6 27 27.176 1 60 27.101 3 28 27.174 4 61 27.101 8 29 27.173 3 62 27.100 8 30 27.172 9 62 27.101 8 31 27.174 5 64 27.101 8 32 27.173 7 65 27.101 9 33 27.173 7 66 27.101 3

其沉降曲線如圖1所示。

圖1 沉降監測過程線圖

4.1 沉降預測方法

用三種方法建立時間序列模型，并將預測結果進行比較，驗證模型和方法的適用性及可靠性。

(1)沉降序列數據平穩化后［4］，構建AR模型進行預測。

(2)考慮樣本序列可能存在粗差，使用小波分析對監測序列進行可靠性檢驗，將得到消噪后的序列進行時間序列預測，圖2為經過小波消噪后的監測序列。

圖2 小波消噪后的樣本序列

(3)先把沉降序列數據用bior 2.8小波2層分解，得到低頻有效數據和高頻噪聲數據，如圖3所示。

圖3 小波分解后的低頻和高頻信息

先對高頻數據進行閾值消噪，然后對低頻信號及各層高頻信號分別構建時間序列模型進行預測分析。將各層信號預測值進行重構就得到對應于原始數據預測值。

4.2 預測成果比較分析

將三種方法得到的預測成果及比較結果如表2、表3所示。

三種模型預測成果 表2

三種方法比較結果 表3

由表2，表3可知:小波時間序列模型預測的最大誤差為 0.4 mm，平均誤差為 0.3 mm，模型精度為0.2 mm，優于其他兩種模型。將三種方法預測結果繪成圖4，可以更直觀的看出三種模型的預測效果。

圖4 三種預測方法比較圖

5 結語

通過對安全監測數據實驗結果進行對比分析，可以得出以下幾點結論:

(1)小波對監測信號消噪可以得到有用信息，能夠提高模型穩定性和可靠性。其效果比直接用帶有粗差的數據序列構建模型效果要好得多。

(2)小波時間序列模型對建筑物安全監測數據進行預測，精度能夠滿足安全監測要求，可以應用在建筑物安全監測方面。所得到的預測結果精度要高于直接使用原始數據構造的時間序列模型的預測結果。

［1］袁娣.基于小波突變信號檢測方法研究［J］.電子科學，2009(4):28～126

［2］文鴻雁.基于小波理論的變形分析模型研究［D］.博士學位論文，武漢大學，2004

［3］朱永全.時間序列分析在隧道施工監測中的應用［J］.巖石力學與工程學報，1996(15)

［4］石雙忠.時序分析在變形監測數據處理中的應用［J］.工程勘察，2004(3)

［5］程正興.小波分析算法與應用［M］.西安:西安交通大學出版社，1998

［6］冉啟文.小波分析與分數傅立葉變換及應用［M］.北京:國防工業出版社，2002